TALLER # 4 DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA SEMEJANZAS Y RELACIONES MÉTRICAS. Universidad de Antioquia

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1 TALLER # 4 DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA SEMEJANZAS Y RELACIONES MÉTRICAS Universidad de Antioquia Profesor: Manuel J. Salazar J. 1. El producto de las medidas de las diagonales de un cuadrilátero inscrito es igual a la suma de los productos de las medidas de los lados opuestos. 2. El radio del círculo inscrito en un triángulo equilátero es un tercio de la altura. 3. El perímetro de un triángulo rectángulo es 48, y dos lados adyacentes están en la relación de 5 a 7. Hállense los lados. 4. Dos circunferencias son tangentes en P. Por P se trazan rectas que encuentran a una de las circunferencias en A, B, C y a la otra circunferencia en A, B, C. Demostrar que los triángulos ABC y A B C son semejantes. 5. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 y la relación entre uno de los lados iguales y la base es de 5 a 3. Hállense los tres lados. 6. Por un punto A exterior a una circunferencia se traza una secante y una tangente. Demostrar que.

2 7. Sea un triángulo cualquiera, por el vértice trazamos una semirrecta paralela al lado. Desde punto medio de se traza una recta cualquiera que corta a en, en P y la prolongación de en Q. PN Probar que PM = QN QM 8. Se tiene un cuadrado de lado. Se traza una circunferencia que pasa por el vértice A y por los puntos medios de los lados tangente a dicha circunferencia trazada desde el punto Probar que la medida de una es igual a 9. Sean AB Y CD dos cuerdas que se cortan en P. Demostrar que. 10. Sea CP la bisectriz del ángulo C del triángulo ABC. Demostrar que

3 11. En un triángulo, se toman en respectivamente de suerte que Luego se traza por A una paralela a, la cual corta la prolongación de en Demuéstrese que 12. La base de un triángulo es de 15 m, la altura, de 7 m. La base homóloga de un triángulo semejante al primero es de 3,75 m. Hállese la altura. 13. Sea la bisectriz del ángulo exterior y. Demostrar: ó 14. Sea EF una paralela al lado BC del triángulo ABC. Demostrar que 15. Hipótesis: Tesis:

4 16. Dos circunferencias no congruentes son tangentes exteriores en el punto A. Demostrar que las cuerdas determinadas por dos rectas trazadas por A son proporcionales. 17. Demostrar que si dos circunferencias son tangentes exteriormente, su tangente externa común es media proporcional entre los diámetros. 18. Por un punto de una circunferencia se trazan dos cuerdas,, y el diámetro. La tangente en corta las prolongaciones de y en y. Demostrar que. 19. Si AD, BE son dos alturas del triángulo isósceles ABC, AC=BC, demostrar que 20. El perímetro de un triángulo isósceles es 13, y la relación entre uno de los lados iguales y la base es. Hállense los tres lados. 21. Sean las diagonales del cuadrilátero inscrito a. Probar que

5 Sugerencia: Trácese DE tal que. Así. 22. Sea ABC un triángulo inscrito a, el diámetro de la circunferencia, la base del triángulo, y la altura correspondiente a la base. Demostrar que 23. Dos circunferencias son tangentes en P. Por P se trazan rectas que encuentran una de las circunferencias en A, B, C, y la otra en A, B, C. Probar que los triángulos ABC, A B C son semejantes. 24. Sean tangentes interiormente y, demostrar que divide proporcionalmente las cuerdas de trazadas por el punto de contacto.

6 25. En el rectángulo en la hipotenusa mide y la altura relativa a la hipotenusa mide, se inscribe un cuadrado con un lado sobre la hipotenusa. Calcular el lado del cuadrado en términos de 26. Hipótesis: Tesis: 27. Sea un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en ; por trazamos paralela a cortando a en. Sea un punto en talque es paralelo a. Demostrar que. 28. Sea un triángulo cualquiera,, probar que.

7 29. Las bases mayor y menor de un trapecio miden respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El segmento divide al lado en la relación Calcular la longitud del segmento. 30. Sea la y diámetro y sea M un punto en la prolongación de, se trazan las tangentes a la, la cuerda corta al diámetro en C. Demostrar que: 31. Por un punto del lado de un triángulo se traza (E sobre ), de tal manera que Calcular los lados AB y BC del triángulo.

8 32. Considere la. Sea un diámetro. Se traza por una tangente y por una secante cualquiera que corta a en y a la tangente en. Probar que 33. En un isósceles con, se traza Demostrar la relación: 34. Si en un triángulo rectángulo, son las medidas de los catetos y es la medida de la altura correspondiente a la hipotenusa, demuestre que:. 35. Los lados de un triángulo miden 10,12 y 18. Si el perímetro de un triángulo semejante a él mide 1.200, cuales son las medidas de los lados del segundo triángulo? Cuánto miden las tres alturas, las tres medianas y las tres bisectrices del primer triángulo. 36. Dado un isósceles con y la circunferencia tangente a los lados congruentes en. Desde un punto M del arco de la circunferencia en el interior del triángulo, se traza y Mostrar que: 37. Hipótesis: con Tesis:

9 38. Demostrar que si dos triángulos tienen sus lados correspondientes paralelos o perpendiculares entre sí, son semejantes. 39. En un trapecio las diagonales se cortan en el punto I. Demostrar que dicho punto divide a cada una de ellas en segmentos proporcionales a las bases adyacentes y probar que la paralela a las bases por I, es dividida en dos partes iguales por dicho punto: 40. Dado un paralelogramo, tal que: 41. Demostrar que la suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo no excede la longitud la diagonal de un cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo como lado. 42. Las bases de un trapecio miden 20 y 12 y los lados no paralelos miden 10 y 12. Calcular la medida de las diagonales y de las alturas y los lados de los triángulos que se forman al prolongar los lados no paralelos.

10 43. es un cuadrilátero. Demuestre: 44. Sobre la diagonal de un paralelogramo se toma un punto ; se trazan ME y MF perpendiculares a AB y AD. Demostrar que: = CONSTRUCCIONES 1. Dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos dados. Sean segmentos dados. Se desea dividir AB en partes proporcionales a 2. Hallar la cuarta proporcional a tres rectas dadas. Sean las rectas dadas. Se desea hallar la cuarta proporcional de 3. Hallar la media proporcional de dos rectas dadas. 4. Construir dos segmentos de recta y conociendo su suma y su media proporcional 5. Construir dos segmentos de recta conociendo su diferencia y su media proporcional 6. Construir una circunferencia que pase por dos puntos y que sea tangente a una recta dada 7. Construir un triángulo, conociendo: a. que es la altura desde.

11 b. que son la mediana y la altura correspondientes a c., y la altura y la bisectriz d. y las alturas e., y la altura. f., y la mediana. g., y la altura 8. Construir un triángulo equilátero, conociendo el radio del círculo inscrito. 9. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas paralelas dadas y que pase por un punto dado. 10. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas dadas que se cortan y pase por un punto en el interior del ángulo entre las dos rectas. 11. Dado un punto en el interior de una circunferencia, construir una cuerda tal que el punto dado sea punto medio de dicha cuerda. 12. Construir un triángulo conociendo dos ángulos y la suma de las medidas de dos de sus lados. 13. Construir un triángulo, rectángulo en A, conociendo la suma de las medidas de los catetos y el ángulo.

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