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1 Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a iencia Matemática El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

2 2 Polígonos Relaciones fundamentales 2.0 Introducción Se define como polígono la superficie definida por un conjunto cerrado de segmentos, es decir que el origen del primero de ellos coincida con el extremo del último. Si este conjunto es abierto lo denominaremos polilínea. Las aplicaciones prácticas de los polígonos son numerosas. La principal es que cualquier superficie puede discretizarse en triángulos y cuadriláteros, utilizándose estos por ser los más simples. uantos más polígonos se utilicen, más precisa será la modelización, pero a la vez más costosa de llevar a cabo. Si queremos estudiar un fenómeno físico en el casco de un buque, podemos discretizarlo tal como se ve en la figura, y estudiar el fenómeno físico en los triángulos y cuadriláteros, lo que simplificará el estudio del problema. Los polígonos se pueden clasificar en regulares o irregulares si tienen o no los lados iguales. Suelen nombrarse por el número de lados que tengan, indicando si son o no regulares. Empezaremos por los más básicos y los más utilizados. 2.1 Triángulos Definición Triángulo es la superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección se denominan vértices, y los segmentos comprendidos entre dos lados se denominan lados. Los vértices, siguiendo la notación establecida se nombran por letras mayúsculas, y los lados opuestos al vértice con la misma letra pero minúscula.

3 Las 3 alturas de un triángulo son las perpendiculares a los lados desde los vértices opuestos. Se llaman medianas de un triángulo las rectas que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto Propiedades fundamentales - Un lado siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. - La suma de los ángulos interiores es de 180º (Π radianes) - l mayor lado se le opone el mayor ángulo lasificación En función de los lados: - Equilátero: los tres lados iguales. - Isósceles: dos de sus lados son iguales y el tercero desigual. - Escaleno: sus tres lados son desiguales. En función de sus ángulos: - Rectángulo: uno de sus ángulos es recto. El mayor de los lados de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa, y los otros dos lados catetos. En estos triángulos se define el Teorema de Pitágoras. - cutángulo: sus tres ángulos son agudos (< 90º) - Obtusángulo: uno de sus lados es obtuso (> 90º y < 180º) Puntos fundamentales de un triangulo: Los triángulos tienen algunas propiedades geométricas que merecen ser destacadas: Ortocentro (O): Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado Ortocentro. (Fig. 1). Incentro (I): Las bisectrices de los tres ángulos se cortan en el mismo punto, llamado incentro. l ser las bisectrices los lugares geométricos de los puntos del plano que son centro de las circunferencias tangentes a los lados del ángulo. El incentro, será el centro de la circunferencia tangente (inscrita) a los tres lados del triángulo. (Fig. 2). ircuncentro (): Las tres mediatrices de los lados se cortan en un punto llamado ircuncentro. l ser las mediatrices los lugares geométricos de los puntos del plano que equidistan de otros dos, la intersección de estas tres bisectrices equidistará de los tres vértices, y este punto de intersección será el centro de una circunferencia que pase por esos vértices (circunscrita en el triángulo). (Fig. 3).

4 aricentro (G): Las tres medianas se cortan en un punto llamado aricentro. Este punto es el centro de gravedad del triángulo, y equidista 2/3 de mediana del extremo mas alejado de esta, y 1/3 de mediana del extremo más cercano de la misma mediana, es decir G = 2/3 1 y G 1 = 1/3 1, y lo mismo con los otros vértices respecto a sus medianas. (Fig. 4). O Fig. 1 Fig. 2 I 1 1 G 1 c Fig. 4 Fig Triangulo órtico y triangulo complementario Dado un triángulo de vértices, y, se denomina triángulo órtico (Fig. 5) al que se forma si se unen los pies de las alturas del triángulo. Este triángulo órtico tiene la propiedad de que el ortocentro (O) de se transforma en el incentro del triángulo órtico, transformándose por tanto las alturas del triángulo en bisectrices del triángulo órtico. Se denomina triángulo complementario de (Fig. 5) al triángulo formado al unir los puntos medios de sus lados. Este triángulo cumple que el circuncentro de se transforma en ortocentro del triángulo complementario, transformándose por tanto las mediatrices del triángulo en las alturas del triángulo complementario.

5 h c h a O cc h b Fig. 5: triángulo órtico y complementario 2.3 Segmento y circunferencia de Euler Se cumple además que el ortocentro, baricentro y circuncentro se hallan alineados, definiendo el ortocentro y el circuncentro el llamado Segmento de Euler. El baricentro divide este segmento en 1/3 y 2/3 del mismo. La circunferencia con centro en el punto medio del Segmento de Euler, se llama circunferencia de Euler, y pasa por los puntos medios de los lados y los pies de las alturas. (Fig. 6), es decir, por los vértices de los triángulo órtico y complementario. O G Fig. 6: segmento y circunferencia de Euler

6 2.4 Teorema de Feuerbach La circunferencia de Euler no sólo tiene las propiedades mencionadas anteriormente sino que además cumple que es tangente a las circunferencias tangentes (Fig. 7) a los lados del triángulo (Teorema de Feuerbach). Hay tres circunferencias tangentes a los lados del triángulo. Una interior que tiene por centro el incentro del triángulo y otras tres exteriores con centro en la intersección de las bisectrices exteriores que correspondan. Fig. 7: teorema de Feuerbach 2.5 Rectas de Simpson Si de la circunferencia circunscrita a un triángulo, que tendrá su centro en el circuncentro de dicho triángulo, se toma un punto Q (Fig. 8), y se hacen las perpendiculares a los tres lados del triángulo cuyos pies serán Qa, Qb y Qc, se cumple que estos 3 puntos están alineados y la recta que pasa por estos tres puntos se llama recta de Simpson. Qc Q Qb Qa Fig. 8: rectas de Simpson

7 Las rectas de Simpson tienen además la siguiente propiedad. Si se toman dos puntos P y Q (Fig. 9) de la circunferencia circunscrita a un triángulo, de forma que P y Q sean diametralmente opuestos, y se dibujan las rectas de Simpson asociadas a dichos puntos, las dos rectas de Simpson dibujadas se cortan en un punto que pertenece a la circunferencia de Euler de dicho triángulo. Qc Q Pb Pa Qb Qa Pc P Fig. 9: propiedades de las rectas de Simpson

8 2.6 uadriláteros Definición Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados lasificación tendiendo a sus ángulos: Rectos si todos sus ángulos son de 90º, u oblicuos si no lo son. tendiendo a sus lados: Regulares, si sus lados son iguales, o irregulares si no lo son. Los más normales son el cuadrado, el rectángulo, el rombo, el romboide (como el rombo pero sus lados no son iguales), el trapecio isósceles (dos lados paralelos y los otros dos iguales), el trapecio escaleno (dos lados paralelos y los otros distintos), trapezoide (todos los lados distintos), trapezoide biisosceles (lados iguales dos a dos). Las propiedades más importantes de ciertos cuadriláteros están relacionadas con sus diagonales. En el cuadrado, sus diagonales, son iguales, se cortan en su punto medio y son perpendiculares entre si. En el rectángulo, sus diagonales son iguales, se cortan en su punto medio pero no son perpendiculares. En el rombo, sus diagonales no son iguales, pero se cortan en su punto medio y son perpendiculares. En el romboide, las diagonales no son iguales, se cortan en su punto medio y no son perpendiculares. En el trapecio isósceles las diagonales son iguales, pero no se cortan en su punto medio ni son perpendiculares. uadrado Rectángulo Rombo Romboide Trapecio isosceles Trapezoide escaleno Trapezoide iisosceles

9 2.7 uadriláteros inscriptibles Todo triángulo es inscriptible en una circunferencia, que tendrá por centro el circuncentro de dicho triángulo. En cambio no todo cuadrilátero será inscriptible, sino que tendrá que cumplir una serie de condiciones (Fig. 10). Estas son que los ángulos opuestos han de ser suplementarios (D + = 180º, D + D = 180º), y que las bisectrices de los ángulos formados al prolongar los lados, han de ser perpendiculares entre si. D Fig. 10: cuadrilátero inscriptible 2.8. onstrucción de polígonos regulares Existen dos casos para construir un polígono regular de n lados: que conozcamos el radio de la circunferencia en la que el polígono regular está inscrito, o que conozcamos el lado del polígono Área de un polígono regular El área de un polígono regular es el producto de su perímetro (p) por su apotema (a), dividido por dos. La apotema es el radio de la circunferencia inscrita en el polígono. La demostración de la fórmula se basa en dividir al polígono regular en triángulos isósceles, con vértice en el centro del polígono, calcular el área de estos triángulos, y sumarlas. p.a S = 2 Nota: La apotema de las caras laterales de una pirámide recta de base un polígono regular, es la altura de los triángulos isósceles que forman las caras.

10 2.8.2 Polígono regular conocido el radio on centro en los extremos y de un diámetro del círculo, trazamos arcos de radio el diámetro del circulo, que se cortarán en. Dividimos el diámetro en tantas partes como lados tenga el polígono. Uniendo con las divisiones pares, tenemos en la intersección con la circunferencia los vértices del polígono buscado. (Fig. 11). En este caso el polígono es de 7 lados. Fig. 11: polígono regular conocido el radio Polígono regular conocido el lado on centro en y y radio el lado dado, trazamos dos arcos que se cortan en el punto 6. Este será el centro del hexágono de lado dado. Si dividimos el lado en 6 partes, las trasladamos según la figura al lado 6, y con centro en 6 las llevamos a la recta perpendicular a lado y que pasa por 6, tendremos los centros de las circunferencias que contienen a los polígonos de lado el dado, y número de lados según figura en la Fig. 12. Sólo falta trasladar el lado sobre la circunferencia deseada con el compás Fig. 12: polígono regular conocido el lado

11 2.9 Teorema de los polígonos cerrados Para enunciarlo se necesitan dos circunferencias, una interior a la otra. Se enuncia de la siguiente forma, aplicado a un triángulo: Si se cumple que tomando un punto P 1 (Fig. 13) de la circunferencia grande, y haciendo desde éste la tangente a la circunferencia pequeña, esta tangente corta a la grande en P 2 y desde éste se vuelve a trazar la tangente obteniéndose P 3, y resulta que el segmento P 3 P 1 es tangente a la circunferencia pequeña entonces se cumplirá siempre que para cualquier punto que se tome de la circunferencia grande (Q 1, S 1 ), y se repita la operación de trazar tangentes, se obtiene un triángulo (polígono cerrado) tangente a la circunferencia pequeña. Fig. 13: teorema de los polígonos cerrados aplicado al triángulo En el caso del triángulo, la posición de las dos circunferencias es sencilla de obtener pues basta tomar la circunferencia pequeña como la circunferencia inscrita a un triángulo cualquiera con centro en su incentro, y la grande como la circunferencia circunscrita a ese mismo triángulo, con centro en su circuncentro. El teorema se puede generalizar para un polígono cualquiera de n lados. Siempre que dadas las dos circunferencias se cumpla que se obtiene un polígono cerrado al hacer las tangentes a la circunferencia pequeña, se obtendrá siempre para cualquier punto de partida tomado en la circunferencia grande. La dificultad principal resulta en encontrar las dos circunferencias que lo cumplan. Otra forma fácil de verlo, es usando un polígono regular cualquiera y sus circunferencias inscrita y circunscrita. En el caso de la figura 14 se ha usado un pentágono regular. Partiendo de un punto cualquiera P1 y haciendo tangentes a la circunferencia pequeña, siempre se obtiene un polígono cerrado, en este caso un pentágono.

12 Fig. 14: teorema de los polígonos cerrados aplicado un polígono regular 2.10 Teorema de Pascal El teorema de Pascal se aplica a hexágonos. Se enuncia de esta manera: dado un hexágono cualquiera (Fig. 15) se toma un lado cualquiera y desde los vértices de este lado (P 3, P 2 ) se trazan las diagonales principales (P 2 P 5 y P 3 P 6 ) cortándose en, desde estos mismos vértices se trazan las diagonales secundarias (P 3 P 1, P 2 P 4 ) que se cortan en y lo mismo desde el lado opuesto al tomado (P 6 P 4 y P 5 P 1 ) que se cortan en, estos tres puntos, y están alineados. El teorema se aplica hexágonos regulares e irregulares Fig. 15: teorema de Pascal

13 2.11 Relaciones de igualdad, semejanza y equivalencia Igualdad Se dice que dos figuras son iguales, si superpuestas coinciden, o lo que es lo mismo sus ángulos y lados correspondientes son iguales. Para hacer una figura igual a otra, nos basta con trasladar sus ángulos y sus lados Semejanza Dos figuras son semejantes cuando teniendo igual forma sus dimensiones son distintas. Los diversos elementos de las figuras semejantes que se corresponden se llaman homólogos, y sus magnitudes son proporcionales entre sí. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales. Esto implica que los lados sean proporcionales, en una magnitud constante llamada razón de semejanza. 1 D O 1 D 1 1 Fig. 16: figuras semejantes y homotéticas Dentro de la semejanza se encuentra la homotecia. Dado un punto O, se dice que dos puntos y 1 son homotéticos si se cumple que el producto de sus distancias a O es constante. Es decir O 1 = O k, donde k es la razón de homotecia. Dos figuras homotéticas con razón k>0 son semejantes (Fig. 16), pero no al revés (Fig. 17). En esta figura las dos figuras son semejantes (Se ha girado la pequeña por uno de sus vértices), pero no homotéticas, al no existir centro de la homotecia. Fig. 17: figuras semejantes no homotéticas Dentro de la homotecia, está la simetría, en la que k = 1.

14 La homotecia transforma rectas en rectas y circunferencias en circunferencias, es decir, es una transformación afín. Dada una figura, para calcular su homotética conocidos la razón y el centro, sólo tenemos que ir calculando los puntos homólogos de los de la figura, mediante O 1 = O k, que puede hacerse mediante una calculadora, midiendo y multiplicando, o basarnos exclusivamente en la geometría y más concretamente en el teorema de Tales, como veremos a continuación. En la Fig. 16 la razón es k = 0.5. Para trazar la figura homotética, se traza primero el homotético del punto. Para ello se une O con y se multiplica por la razón 0.5, o lo que es lo mismo, en este caso se divide el segmento O por 2. Ya tenemos el punto 1. Trazamos la paralela por 1 a y ya tenemos 1, y así sucesivamente pues los lados serán paralelos en ambas figuras. P' P O O1 O1' Fig. 18: homotética de una circunferencia Para calcular la homotética de una circunferencia (Fig. 18), basta hallar el homotético O 1 de su centro O 1 y el de otro punto P cualquiera de la misma. La circunferencia homotética tendrá por centro O 1 y radio O 1 P Equivalencia Se dice que dos figuras son equivalentes si tienen igual área. Esta es una propiedad física interesante pues dos figuras planas que pueden asemejarse a dos chapas, si tienen igual área y poseen el mismo espesor, van a tener igual masa siempre que sean del mismo material. Los casos más simples de equivalencia son los que se dan con triángulos (Fig. 19). Los triángulos, D y E son equivalentes. Por tener la misma base y altura (los puntos, D y E estás situados en una paralela a la base ), su área será la misma. D E Fig. 19: triángulos equivalentes

15 En el caso de querer realizar un triángulo equivalente a otro, pero de distinta base D (Fig. 20), se procederá de la siguiente manera: Se lleva la base D sobre la base del triángulo original. Se traza una paralela por el vértice a la base, que cortará a la perpendicular en el extremo de la base, en el punto E. Se traza la paralela F a DE. Por el teorema de Tales se cumplirá que F D = E, lo que indica que los triángulos y DF tienen igual área. ualquier triángulo que tenga de base D y su otro vértice G en la paralela a D por F, tendrá el mismo área que el triángulo original. F G E D Fig. 20: triángulos semejantes con distinta base En el caso de querer calcular un cuadrado de lado l equivalente a un triángulo dado de base a y altura h, se tendrá que cumplir que l 2 = ½ a h, o geométricamente que el lado l es media proporcional entre la base a y la mitad de la altura (Fig. 21). h l a Fig. 21: cuadrado equivalente a un triángulo a h/2 Si se quiere construir un rectángulo de lados c y d del que se conoce uno de sus lados, equivalente a un triángulo de base a y altura h, se cumplirá que c d = ½ a h y despejando el lado incógnita c, c = ½ a h / d, o geométricamente hablando, c será la cuarta proporcional de los segmentos a/2, h y d.