MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano

Transcripción

1 MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 1 / 1

2 Parte I Introducción a la geometría elemental Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 2 / 1

3 Nociones Básicas Las nociones de Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 3 / 1

4 Nociones Básicas Las nociones de punto, punto Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 3 / 1

5 Nociones Básicas Las nociones de punto, ĺınea punto ĺınea Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 3 / 1

6 Nociones Básicas Las nociones de punto, ĺınea y plano no serán definidas, pero... punto ĺınea plano Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 3 / 1

7 Nociones básicas La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 4 / 1

8 Nociones básicas La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 4 / 1

9 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 5 / 1

10 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 5 / 1

11 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 5 / 1

12 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4 Todos los ángulos rectos son iguales. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 5 / 1

13 Cinco postulados de Euclides 1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4 Todos los ángulos rectos son iguales. 5 Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 5 / 1

14 Nociones Básicas Una Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 6 / 1

15 Nociones Básicas Una ĺınea, B A ĺınea AB Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 6 / 1

16 Nociones Básicas Una ĺınea, un segmento B A ĺınea AB A B segmento AB Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 6 / 1

17 Nociones Básicas Una ĺınea, un segmento y un rayo... B A A B A B ĺınea AB segmento AB rayo AB Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 6 / 1

18 Ángulos Definición Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen un punto extremo común. Cada uno de los rayos se llama lado del ángulo, y el punto común se conoce como vértice. A O vértice B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 7 / 1

19 Ángulos Definición Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen un punto extremo común. Cada uno de los rayos se llama lado del ángulo, y el punto común se conoce como vértice. A O vértice B Para medir ángulos se emplea una herramienta llamada transportador. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 7 / 1

20 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 8 / 1

21 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide menos de 90, ángulo agudo Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 8 / 1

22 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide menos de 90, recto si mide 90, ángulo agudo ángulo recto Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 8 / 1

23 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide menos de 90, recto si mide 90, obtuso si mide más de 90, pero menos de 180 ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 8 / 1

24 Ángulos Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si mide menos de 90, recto si mide 90, obtuso si mide más de 90, pero menos de 180 y llano si mide 180. ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso ángulo llano Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 8 / 1

25 Ángulos Encuentre las medidas de los ángulos de la siguiente figura, sabiendo que ABC es un ángulo recto. A (2x + 20) (12x) B C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 9 / 1

26 Ángulos Definición Se dice que dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 10 / 1

27 Ángulos Definición Se dice que dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90. Se dice que dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 10 / 1

28 Ángulos Ejercicio El suplemento de un ángulo mide 10 más que el triple de su complemento. Calcule la medida del ángulo. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 11 / 1

29 Rectas paralelas Dos rectas distintas que están en el mismo plano son paralelas si no se intersecan. Una recta que interseca dos rectas paralelas se denomina transversal. ĺıneas paralelas ĺıneas que se intersecan Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 12 / 1

30 Ángulos entre paralelas Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos, como se muestra en la figura Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 13 / 1

31 Ángulos entre paralelas y 4 se llaman ángulos alternos internos y son congruentes, es decir, tienen la misma medida; esto se nota 5 = 4. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 14 / 1

32 Ángulos entre paralelas y 4 se llaman ángulos alternos internos y son congruentes, es decir, tienen la misma medida; esto se nota 5 = 4. 1 y 8 se llaman ángulos alternos externos y 1 = 8. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 14 / 1

33 Ángulos entre paralelas y 4 se llaman ángulos alternos internos y son congruentes, es decir, tienen la misma medida; esto se nota 5 = 4. 1 y 8 se llaman ángulos alternos externos y 1 = 8. 6 y 2 se llaman ángulos correspondientes y 6 = 2. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 14 / 1

34 Ángulos entre paralelas y 4 se llaman ángulos alternos internos y son congruentes, es decir, tienen la misma medida; esto se nota 5 = 4. 1 y 8 se llaman ángulos alternos externos y 1 = 8. 6 y 2 se llaman ángulos correspondientes y 6 = 2. 7 y 6 se llaman opuestos por el vértice y 7 = 6. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 14 / 1

35 Ángulos entre paralelas Ejercicio Encuentre otros pares de ángulos alternos internos alternos externos correspondientes opuestos por el vértice Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 15 / 1

36 Ángulos entre paralelas Ejercicio En la figura m n (m es paralela a n). Encuentre el valor de los ángulos que se indican. (3x + 2) n (5x 40) m Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 16 / 1

37 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 17 / 1

38 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 17 / 1

39 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados: equilátero es el que tiene todos sus lados congruentes, Equilátero Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 17 / 1

40 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados: equilátero es el que tiene todos sus lados congruentes, isósceles tiene dos lados congruentes y Equilátero Isósceles Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 17 / 1

41 Triángulos Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados: equilátero es el que tiene todos sus lados congruentes, isósceles tiene dos lados congruentes y escaleno no tiene lados congruentes. Equilátero Isósceles Escaleno Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 17 / 1

42 Triángulos También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 18 / 1

43 Triángulos También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos: acutángulo tiene todos sus lados agudos, Acutángulo Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 18 / 1

44 Triángulos También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos: acutángulo tiene todos sus lados agudos, rectángulo tiene un ángulo de 90 y Acutángulo Rectángulo Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 18 / 1

45 Triángulos También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos: acutángulo tiene todos sus lados agudos, rectángulo tiene un ángulo de 90 y obtusángulo tiene un ángulo obtuso. Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 18 / 1

46 Triángulos La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180. x C z y A x y B Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 19 / 1

47 Triángulos Ejercicio Calcule la medida de cada ángulo del triángulo de la figura. (x + 20) x (210 3x) Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 20 / 1

48 Triángulos Definición En el triángulo que se aprecia en la figura, los ángulos 1, 2 y 3 se llaman ángulos interiores, mientras que los señalados con los números 4, 5 y 6 se llaman ángulos exteriores del triángulo Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 21 / 1

49 Triángulos La medida de un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores opuestos Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 22 / 1

50 Triángulos Ejercicio Calcule las medidas de los ángulos interiores A, B y C del triángulo de la figura, y la medida del ángulo exterior BCD. B (x + 20) A x (3x 40) C D Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 23 / 1

51 Circunferencia Definición Una circunferencia es un conjunto de puntos en un plano, cada uno de los cuales está a la misma distancia de un punto fijo. O r Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 24 / 1

52 Circunferencia Teorema Cualquier ángulo inscrito en un semicírculo debe ser recto. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 25 / 1

53 Circunferencia Teorema Cualquier ángulo inscrito en un semicírculo debe ser recto. Demostración. α β α β Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 25 / 1

54 Circunferencia Ejercicio Con el uso de los puntos, segmentos y ĺıneas de la figura, haga una lista de: centro, radios, diámetros, cuerdas, secantes, tangentes. A B O C D E Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 26 / 1

55 Poĺıgonos Definición Un poĺıgono es una curva simple cerrada constituida sólo por segmentos de recta. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 27 / 1

56 Poĺıgonos Definición Un poĺıgono es una curva simple cerrada constituida sólo por segmentos de recta. Los segmentos se llaman lados y los puntos en los que se tocan se llaman vértices. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 27 / 1

57 Poĺıgonos Definición Un poĺıgono es una curva simple cerrada constituida sólo por segmentos de recta. Los segmentos se llaman lados y los puntos en los que se tocan se llaman vértices. Los poĺıgonos con todos sus ángulos y lados congruentes se llaman poĺıgonos regulares. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 27 / 1

58 Poĺıgonos Clasificación de los poĺıgonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados Nombre 3 Triángulo Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 28 / 1

59 Poĺıgonos Clasificación de los poĺıgonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 28 / 1

60 Poĺıgonos Clasificación de los poĺıgonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 28 / 1

61 Poĺıgonos Clasificación de los poĺıgonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 28 / 1

62 Poĺıgonos Clasificación de los poĺıgonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 28 / 1

63 Poĺıgonos Clasificación de los poĺıgonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 28 / 1

64 Poĺıgonos Clasificación de los poĺıgonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Nonágono Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 28 / 1

65 Poĺıgonos Clasificación de los poĺıgonos de acuerdo con el número de lados. Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Nonágono 10 Decágono Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 28 / 1

66 Cuadriláteros Trapecio Es un cuadrilátero con un par de lados paralelos Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 29 / 1

67 Cuadriláteros Paralelogramo Es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 30 / 1

68 Cuadriláteros Rectángulo Es un paralelogramo con un ángulo recto, por lo tanto cuatro ángulos rectos. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 31 / 1

69 Cuadriláteros Cuadrado Es un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 32 / 1

70 Cuadriláteros Rombo Es un paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 33 / 1

71 Perímetro Definición El perímetro de un poĺıgono es la suma de las medidas de sus lados. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 34 / 1

72 Perímetro Ejercicio Un terreno tiene forma de rectángulo. Si su largo es 50 pies y su ancho es 26 pies, qué cantidad de cerca se necesita para encerrar por completo el lote? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 35 / 1

73 Perímetro Ejercicio La longitud de una etiqueta de forma rectangular es 1 centímetro más que el doble del ancho. El perímetro es de 110 centímetros. Calcule el largo y el ancho. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 36 / 1

74 Área Definición El área de una figura plana es la medida de la superficie cubierta por la figura. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 37 / 1

75 Área Área de un rectángulo El área de un rectángulo de largo b y ancho h está dada por la fórmula A = bh b h Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 38 / 1

76 Cuadriláteros Área de un cuadrado El área A de un cuadrado cuyo lado tiene longitud a es A = a 2 a a Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 39 / 1

77 Cuadriláteros Área de un paralelogramo El área de un paralelogramo con altura h y base b es A = bh h b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 40 / 1

78 Área Área de un triángulo El área A de un triángulo con altura h y base b es h A = bh 2 b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 41 / 1

79 Cuadriláteros Área de un trapecio El área de un trapecio con bases paralelas B y b y altura h es A = 1 h(b + b) 2 b B h Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 42 / 1

80 Área 10 Ejercicio La siguiente figura muestra el plano del piso de un edificio, constituido por varios rectángulos. Si cada longitud está en metros, cuántos metros cuadrados de recubrimiento se requerirían para cubrir el piso del edificio? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 43 / 1

81 Área Ejercicio Calcule el área del paralelogramo de la figura. 6 cm 15 cm Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 44 / 1

82 Área Ejercicio Calcule el área del trapecio de la figura. 3 cm 6 cm 9 cm Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 45 / 1

83 Área Definición La región limitada por la circunferencia C de radio r se llama círculo de radio r. La circunferencia o perímetro de un círculo de radio r está dada por la fórmula C = 2πr. El área de un círculo de radio r está dada por A = πr 2. d r Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 46 / 1

84 Área Ejercicio 1 Un círculo tiene un diámetro de 12.6 centímetros. Calcule su circunferencia. 2 El radio de un círculo es de 1.7 metros. Calcule su circunferencia. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 47 / 1

85 Área Ejercicio En un negocio de entrega de pizzas a domicilio, el precio de una pizza de pepperoni de 8 pulgadas de diámetro es de $6,99, mientras que el de una de 16 pulgadas de diámetro es de $13,98. Un cliente que requiere varias pizzas para una reunión, qué tipo de pizzas debería comprar para tener el mejor precio? Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 48 / 1

86 Área Ejercicio La siguiente figura tiene perímetro P = 38. Encuentre el valor de x y el área de la figura. 2x 3 x + 1 x + 1 2x 3 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 49 / 1

87 Área Ejercicio La siguiente figura tiene área A = 30. Encuentre el valor de x. x 3 x + 4 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 50 / 1

88 Perímetro y Área Ejercicio Encuentre el área y el perímetro de la parte sombreada 21 pies 23 pies Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 51 / 1

89 Perímetro y Área Ejercicio A partir del círculo con centro O y el rectángulo ABCO obtenga el diámetro del círculo, sabiendo que AC = 13 pulgadas y AD = 3 pulgadas. D A O B C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 52 / 1

90 Triángulo Rectángulo Definición En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el otro lado hipotenusa. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 53 / 1

91 Teorema de Pitágoras Teorema Si los dos catetos de un triángulo rectángulo tienen longitudes a y b, y la hipotenusa tiene longitud c, entonces a 2 + b 2 = c 2. a b c Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 54 / 1

92 Teorema de Pitágoras Demostración. Pensando en áreas: ( ) ab (a + b) 2 = 4 + c 2 2 a 2 + b 2 = c 2 a b c c b a c c b a a b Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 55 / 1

93 Triángulo Rectángulo Ejercicio Una terna pitagórica es una terna de números a, b, c que cumplen que a 2 + b 2 = c 2. Si se demuestra que (x, x + 1, y) es una terna pitagórica entonces también lo es (3x + 2y + 1, 3x + 2y + 2, 4x + 3y + 2). Utilice esta idea para encontrar tres ternas pitagóricas. Comience con la terna (3, 4, 5). Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 56 / 1

94 Triángulo Rectángulo Ejercicio La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 centímetro más que el doble del cateto más corto, y el cateto más largo mide 9 centímetros menos que el triple del cateto más corto. Determine las longitudes de los tres lados del triángulo. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 57 / 1

95 Perímetro y Área Ejercicio Dada la figura, encuentre el perímetro y el área Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 58 / 1

96 Perímetro y Área Ejercicio Si la proporción entre AD y DC es de 1 a 3, AC mide 16 cm y DB mide 3 cm, encuentre el área y el perímetro de los triángulos ADB, BDC y ABC. B A D C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 59 / 1

97 Triángulos congruentes Definición Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, esto es, si tienen lados y ángulos congruentes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 60 / 1

98 Criterios de congruencia LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 61 / 1

99 Criterios de congruencia LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. LAL Lado-Ángulo-Lado. Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes respectivamente a dos lados y el ángulo comprendido de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 61 / 1

100 Criterios de congruencia LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. LAL Lado-Ángulo-Lado. Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes respectivamente a dos lados y el ángulo comprendido de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. ALA Ángulo-Lado-Ángulo. Si dos ángulos y el lado común de un triángulo son congruentes respectivamente con dos ángulos y el lado común de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 61 / 1

101 Triángulos congruentes Definición Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 62 / 1

102 Criterios de semejanza AA Ángulo-Ángulo. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 63 / 1

103 Criterios de semejanza AA Ángulo-Ángulo. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 63 / 1

104 Criterios de semejanza AA Ángulo-Ángulo. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. LLL Lado-Lado-Lado. Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. LAL Lado-Ángulo-Lado. Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo, y si los lados correspondientes que incluyen el ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 63 / 1

105 Semejanza de triángulos Ejercicio Encuentre el valor de x. E 3 A B 4 D 6 x C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 64 / 1

106 Semejanza de triángulos Como el BDE es rectángulo y D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, BE 2 = BD 2 + DE 2. A 6 x E 3 B 4 D C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 65 / 1

107 Semejanza de triángulos Como el BDE es rectángulo y D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2. Por consiguiente tenemos: BE 2 = = 25 A 6 x 3 B 4 D BE = 25 = 5 C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 65 / 1

108 Semejanza de triángulos Como el BDE es rectángulo y D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2. Por consiguiente tenemos: BE 2 = = 25 A 6 x 3 B 4 D BE = 25 = 5 C Los triángulos ABC y el DBE son semejantes gracias a que: Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 65 / 1

109 Semejanza de triángulos Como el BDE es rectángulo y D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2. Por consiguiente tenemos: BE 2 = = 25 A 6 x 3 B 4 D BE = 25 = 5 C Los triángulos ABC y el DBE son semejantes gracias a que: A = D, Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 65 / 1

110 Semejanza de triángulos Como el BDE es rectángulo y D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2. Por consiguiente tenemos: BE 2 = = 25 A 6 x 3 B 4 D BE = 25 = 5 C Los triángulos ABC y el DBE son semejantes gracias a que: A = D, ambos son rectos; Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 65 / 1

111 Semejanza de triángulos Como el BDE es rectángulo y D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2. Por consiguiente tenemos: BE 2 = = 25 A 6 x 3 B 4 D BE = 25 = 5 C Los triángulos ABC y el DBE son semejantes gracias a que: A = D, ambos son rectos; ABC = DBE ya que son opuestos por el vértice; Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 65 / 1

112 Semejanza de triángulos Como el BDE es rectángulo y D es recto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, es decir, E BE 2 = BD 2 + DE 2. Por consiguiente tenemos: BE 2 = = 25 A 6 x 3 B 4 D BE = 25 = 5 C Los triángulos ABC y el DBE son semejantes gracias a que: A = D, ambos son rectos; ABC = DBE ya que son opuestos por el vértice; por tanto, por el criterio AA se concluye que ABC es semejante a DBE. Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 65 / 1

113 Semejanza de triángulos Utilizando este hecho podemos afirmar que AC DE = BC BE A 6 x E 3 B 4 D C Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 66 / 1

114 Semejanza de triángulos Utilizando este hecho podemos afirmar que De donde se tiene: AC DE = BC BE 6 3 = x 5, A 6 C x E 3 B 4 D Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 66 / 1

115 Semejanza de triángulos Utilizando este hecho podemos afirmar que De donde se tiene: es decir, x = 10. AC DE = BC BE 6 3 = x 5, A 6 C x E 3 B 4 D Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 66 / 1

116 Volumen Volumen de un paralelepípedo El volumen de una caja de largo l, ancho a y altura h es h V = lah y el área de su superficie es S = 2la + 2ah + 2lh l a Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 67 / 1

117 Volumen Volumen de un cubo El volumen de un cubo de lado a es V = a 3 a y su área superficial es S = 6a 2 a a Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 68 / 1

118 Volumen Volumen de un cilindro El volumen de un cilindro circular recto de altura h y radio de su base r es V = πr 2 h y el área de su superficie es S = 2πrh + 2πr 2 h r Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 69 / 1

119 Volumen Volumen de una esfera El volumen de una esfera de radio r es V = 4 3 πr 3 y el área de su superficie es r S = 4πr 2 Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 70 / 1

120 Volumen Volumen de un cono El volumen de un cono circular recto con altura h y radio de la base r es V = 1 3 πr 2 h h y el área de su superficie es S = πr r 2 + h 2 + πr 2 r Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 71 / 1

121 Volumen Volumen de una pirámide Si B representa el área de la base de una pirámide y h la altura, entonces el volumen está dado por h V = 1 3 Bh Universidad Nacional de Colombia Matemáticas Básicas Geometría elemental 72 / 1