ANGULOS. La unidad de medida es el grado sexagesimal. La "circunferencia completa " mide 360º (grados sexagesimales). Además considere que.

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1 PREUNIVERSITARIO PROGRAMA DE NIVELACIÓN Y REFORZAMIENTO M 04 PRO-OCTAV@ TEXTO Nº 2 GEOMETRÍA ANGULOS SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDA: SISTEMA SEXAGESIMAL: La unidad de medida es el grado sexagesimal. La "circunferencia completa " mide 360º (grados sexagesimales). Además considere que. 1º = 60' ; 1' = 60" ; 1º = 3600" SISTEMA CENTESIMAL: La unidad de medida es el grado centesimal. La "circunferencia completa mide 400 g (grados centesimales). 1 g = 100 m (100 minutos centesimales); 1 m = 100 s (100 segundos centesimales) ; 1 g = s SISTEMA CIRCULAR: La unidad de medida es el radián. La "circunferencia completa" tiene 2π radianes. EQUIVALENCIAS ENTRE SISTEMAS: Considere que: : Sº : un ángulo medido en grados sexagesimales.; C g : un ángulo medido en grados centesimales. R(rad) : un ángulo medido en radianes, entonces se cumple: Sº = C g = R(rad.) π(rad.) CLASIFICACION DE LOS ANGULOS Nulo: mide 0º Recto: Mide 90º. Extendido: 180º. Completo : mide 360º Agudo: mide más de 0º y menos de 90º. Obtuso: mide más de 90º y menos de 180º. Cóncavo: mide menos de 180º. Convexo: mide más de 180º y menos de 360º. PARES DE ANGULOS: Complementarios: Su suma es 90º. El complemento de un ángulo x es 90º - x. Suplementarios : Su suma es 180º. El suplemento de un ángulo z es 180º - z. Opuestos por el vértice: Tienen la misma medida. Los lados de un ángulo se obtienen prolongando los lados del otro. En la figura, las parejas de ángulos α y β ; δ y γ son opuestos por el vértice, entonces α = β y δ = γ. α δ γ β

2 Ángulos entre paralelas: Siendo L // M L M Alternos internos: Están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal 3 = 6 ; 4 = 5 Alternos externos : Están fuera de las paralelas y a distinto lado de la transversal. 1 = 8 ; 2 = 7 Correspondientes : Están a un mismo lado de la transversal y dibujados de la misma forma. Son los pares siguientes: A derecha: 2 = 6 ; 4 = 8; A izquierda 1 = 5 ; 3 = 7 Ejercicios: 1. Si α = 12 % de ⅛ de 800º ; β = ¾ del 25 % de 400º, entonces determine: a) El complemento de α =... b) El suplemento de β =... c) El suplemento de β - α =... d) El complemento de α + β = El ángulo que es igual a su complemento mide: El ángulo que es igual a su suplemento es: El ángulo que equivale a la mitad de su suplemento es: El ángulo que mide el doble de su complemento es: Determine la medida del ángulo x si se cumple que: a) el suplemento de su complemento mide 110º: x =... b) el complemento de su suplemento mide 20º. X =... c) equivale a la tercera parte de su suplemento:... d) mide el doble que su complemento:... e) es el suplemento del complemento de 48º:... f) es el complemento del suplemento de 123º Dos ángulos suplementarios están en razón 2 : 3, los ángulos miden:... ; Dos ángulos complementarios son tales que uno de ellos es el doble del otro, cuánto mide cada uno? :... ;.. Determine el complemento y suplemento de cada uno de ellos:...

3 TRIANGULOS Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices. En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro). Consideraciones: En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180º. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Los triángulos se pueden clasificar según dos criterios: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. - Según la medida de sus lados hay 3 tipos de triángulos. Estos son: Equilátero Sus tres lados son congruentes Isósceles : Dos lados congruentes. El lado diferente recibe el nombre de base. En este caso la base es AB Escaleno : sin lados congruentes

4 - Según la medida de sus ángulos, también encontramos tres tipos de triángulos, que son: Acutángulo Sus 3 ángulos interiores son agudos. Rectángulo Un ángulo interior mide 90, los otros dos son agudos. Los lados que forman el ángulo recto son los catetos, el lado que se opone al < recto es la hipotenusa. Obtusángulo: Un ángulo interior obtuso. PROPIEDADES FUNDAMENTALES 1.- La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180 grados sexagesimales, es decir: α+β+ γ= En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa. Ejemplo: si en la figura anterior se cumple que α > β > γ, entonces para los lados se cumple que a>b>c. 3.- Cada ángulo exterior de cualquier triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. En la figura anterior se puede observar que: α = β + γ, el adyacente a α es α, es decir, α + α = 180 β = α + γ, el adyacente a β es β, es decir, β + β = 180 γ = α + β, el adyacente a γ es γ, es decir, γ + γ = La suma de los ángulos exteriores de todo triangulo es equivalente a 360 grados sexagesimales, es decir: α + β + γ = La suma de dos lados es siempre mayor que el tercer lado a + b > c b + c > a c + a > b 6.- La diferencia positiva de dos lados es siempre menor que el tercer lado a b < c b c < a c a < b

5 GUÍA DE EJERCICIOS CON SOLUCIÓN 1.- Cuánto vale cada ángulo exterior de un triángulo equilátero?. R.: 120º 2.- Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30 respectivamente. Cuánto mide el tercer ángulo y cada uno de los ángulos exteriores? R: 110 ; 140 ; 150 ; Los ángulos en la base de un triángulo isósceles miden 40 cada uno. Cuánto mide el ángulo opuesto a la base? R: En un triángulo isósceles, un ángulo es igual a los 4/5 de la suma de los tres ángulos del triángulo. Calcular todos los ángulos interiores de ese triángulo. R: 144º 18ºy 18º. 5. Los tres ángulos exteriores de un triángulo están en proporción a 2 : 3 : 4. Cuánto mide cada ángulo interior de dicho triángulo?: R.: 20º, 60º, 100º. GUÍA DE EJERCICIOS PROPUESTOS La mención del triángulo ABC se refiere al dibujado en la página anterior. 1.- Dado un triángulo ABC con a=b y α = 36, calcula la medida del ángulo en C 2.- En un triángulo ABC b>c y c= a. Si el ángulo interior del vértice B mide 120, calcula los otros dos ángulos. 3.- Si en un triángulo ABC α>β y β>γ, escribe la ordenación de sus lados de menor a mayor 4.- En un triángulo ABC α = 14 ^ β = 79. Calcular α 1 exterior en A 5.- En un triángulo rectángulo en A, el ángulo exterior en B mide 125. Calcula el ángulo interior en C. 6- En un triángulo isósceles, el ángulo exterior en B mide 145. Calcula la medida de los ángulos basales sabiendo que AC = BC. 7.- En un triángulo rectángulo ABC, el ángulo exterior en A mide 132. Calcula el ángulo interior en el vértice B.