Geometría 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. Rayo. I: ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA - SEGMENTOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA El Plano

Transcripción

1 I: ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA - SEGMENTOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA El Plano Rayo Segmento : Rayo de Origen O y que pasa por B : Rayo de Origen O y que pasa por A La Recta : Se lee Segmento AB : Se lee Segmento BA SEGMENTOS Medición o Comparación de Segmentos Operaciones con Segmentos PQ = 4 cm o m( ) = 4 cm Notación: El Punto : Se lee recta AB : Se lee recta L : Se lee recta m 17 1) AM + MN NB ) AM + 3MN 3) AM MN + MN NB 4) AM NB MN NB 5) NB AM Semirrecta Punto A II: Ángulos DEFINICIÓN Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común ELEMENTOS - Lados: Son los rayos y - Vértice: Es el origen común B AB C ABC, El símbolo se lee ángulo El punto A divide a la recta en dos partes, cada parte recibe el nombre de semirrecta yanapacom

2 MEDIDA DE UN ÁNGULO - Los ángulos se miden en grados seagesimales - Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado - transportador - Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura BISECTRIZ DE UN ÁNGULO m A0B = 90º Ángulo Obtuso divide al A0B en dos ángulos A 0 P y P0 B es bisectriz de A0B que son congruentes por tener la misma medida luego Ángulo Llano 90 < m A0B < 180º CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA Ángulo Nulo Ángulo de una Vuelta m A0B = 180º Ángulo Agudo m A0B = 0º m A0B = 360º CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN Ángulo Consecutivo 0º < m A0B < 90º Ángulo Recto yanapacom

3 TEOREMAS FUNDAMENTALES Teorema I + = 180º Ángulo Opuestos por el Vértice = 180º AOB= POQ Teorema II CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS Ángulo Complementarios + = 90º = 360º Ángulo Suplementarios yanapacom

4 III: TRIÁNGULOS I Propiedades Básicas - Es un polígono que tiene tres lados CLASIFICACIÓN Según la Medida de sus Lados IV: Triángulos II: Líneas y Puntos Notables ALTURA Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación Escaleno Isósceles Equilátero Según la Medida de sus Ángulos Ortocentro (H) H: Ortocentro Obtusángulo Acutángulo Rectángulo PROPIEDADES BÁSICAS = 180º MEDIANA TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO 51 = + Baricentro (G) Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo G: Baricentro yanapacom

5 TEOREMA BG GM AG GN CG GS TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR BISECTRIZ Segmento que divide a un ángulo interior o eterior en dos ángulos de igual medida E: Encentro relativo de TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRIÁNGULO MEDIATRIZ Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular 53 Incentro (I) Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita 5 : Mediatriz de Circuncentro (O) Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO Ecentro (E) Es el punto donde se intersectan dos bisectrices eteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia einscrita yanapacom

6 TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS Propiedad: Si: 0 es circuncentro - PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR DOS LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE - EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS - EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES 1 Ángulo formado por dos bisectrices interiores 90 a = CEVIANA Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación Ángulo formado por dos bisectrices eteriores 90 a Cevacentro (C) Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo yanapacom

7 3 Ángulo formado por una bisectriz interior 6 y una bisectriz eterior a a b a 5 V: Congruencia de Triángulos DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente a b ABC = PQR yanapacom

8 EN UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS 1 Caso (LAL) PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1 De la Bisectriz PA PB 0A 0B De la Mediatriz Caso (ALA) PA = PB 3 De la Base Media de un Triángulo Si: // Si: M y N son puntos medios 3 CASO (LLL) 4 Caso (LLA) BN = NC 4 De la Mediana Relativa a la Hipotenusa AC MN AC BM : Opuesto al mayor lado yanapacom