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Transcripción

1 Guía Matemática TRIÁNGULOS tutora: Jacky Moreno.cl

2 1. Triángulos El triángulo es una figura plana formada por la unión de tres rectas que se cortan de dos en dos. A continuación estudiaremos los elementos primarios que posee cualquier triángulo: Vértices: Son los puntos de intersección de las rectas que forman la figura. Un triángulo posee 3 vértices que se representan por medio de letras mayúsculas (A, B y C). Lados: Son los segmentos que forman la figura. Un triángulo posee 3 lados que se pueden designar como segmentos (AB, BC y CB) o por el nombre del vértice opuesto al lado, convertido a letras minúscula, cuando se hace referencia a la longitud del segmento (a, b y c). Ángulos internos: Son los formados por dos segmentos consecutivos. Un triángulo posee 3 ángulos internos que se pueden representar por medio de letras griegas minúsculas (α, β y γ) o por medio de letras mayúsculas que hacen referencia a los segmentos que forman el ángulo ( CAB, ABC y BCA). Ángulos externos: Son los formados por un segmento y la prolongación de otro. Un triángulo posee 3 ángulos externos y se suelen representar por medio de la misma letra griega que su ángulo adyacente pero con un símbolo (α, β y γ ) Propiedades de los triángulos Euclides en su libro Los elementos realizó una serie de proporciones que cumplen todos los triángulos. A continuación mostraremos las propiedades fundamentales de estas figuras a partir de lo planteado por Euclides. La proposición 32 del libro I de Euclides nos dice lo siguiente: En cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos y opuestos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a dos rectos. Si llevamos esta proposición al lenguaje actual podemos decir las siguientes afirmaciones: 2

3 1. En un triángulo la medida de un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes. α = β + γ β = α + γ γ = α + β 2. En un triángulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180. α + β + γ = En un triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360. α + β + γ = 360 Las proposiciones 18 y 19 del libro I de Euclides nos dice lo siguiente: En todo triángulo el lado mayor subtiende el ángulo mayor. En todo triángulo el ángulo mayor es subtendido por el lado mayor. Estas dos proposiciones son el recíproco el uno de la otra. Si las llevamos al lenguaje actual podemos afirmar lo siguiente: 1. En un triángulo al lado más grande se le opone el ángulo más grande. c > a y c > b = γ > α y γ > β 2. En un triángulo al ángulo más grande se le opone el lado más grande. α < γ y β < γ = a < c y b < c La proposición 20 del libro I de Euclides nos dice lo siguiente: En todo triángulo dos lados tomados a la vez, en cualquier forma, son mayores que el lado restante. Si llevamos esta proposición al lenguaje actual podemos decir las siguientes afirmaciones: 1. En un triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos lados. a < b + c b < a + c c < a + b 2. En un triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos lados. Desafío 1 a > c b b > c a c > b a Construir un triángulo con las siguientes medidas: 2[cm] 2[cm] 4[cm] Respuesta 3

4 1.2. Clasificación de los triángulos Si clasificamos a los triángulos de acuerdo a la medida que tienen sus lados tenemos tres casos: Triángulo Equilátero: Corresponde aquellos triángulos que tienen sus tres lados de igual medida. Estos triángulos se caracterizan porque todos sus ángulos interiores miden 60 y sus ángulos exteriores 120. Triángulo Isósceles: Corresponde aquellos triángulos que tienen dos de sus lados de igual medida y un lado distinto denominado base. Estos triángulos se caracterizan por tenemos dos ángulos iguales ubicados en la base llamados ángulos basales. Triángulo Escaleno: Corresponde aquellos triángulos que tienen todos sus lados y ángulos de distinta medida. 4

5 Ahora bien, si clasificamos a los triángulos de acuerdo a la medida que tienen sus ángulos tenemos los siguientes casos: Triángulo Acutángulo: Corresponde aquellos triángulos que tienen todos sus ángulos interiores agudos. Triángulo Rectángulo: Corresponde aquellos triángulos que tienen un ángulo interior recto. De acuerdo a esto los otros dos ángulos interiores del triángulo son agudos complementarios. En este triángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa. Triángulo Obtusángulo: Corresponde aquellos triángulos que tienen un ángulo obtuso. 5

6 Ejemplo Desafío 2 Es posible construir un triángulo equilátero obtusángulo o un triángulo equilátero rectángulo? Respuesta En la figura el triángulo ABC es equilátero y el triángulo BCD es isósceles. Cuánto mide el ángulo α? Solución: Como el triángulo ABC es equilátero tenemos que todos sus ángulos interiores miden 60, en particular el ACB = 60. Por otro lado, al ser el triángulo BCD isósceles rectángulo tenemos que BCD = 45. Finalmente el ángulo α es ( ) = 75. Ejercicios 1 Resolver los siguientes ejercicios. 1. En el triángulo ABC de la figura, los ángulos α, β y γ son sus 3 ángulos exteriores. Si α = 3x 20, β = 2x 15 y γ = x + 52, cuánto mide x? 2. El triángulo ABC de la figura es rectángulo en B. Cuánto mide el complemento de x? 6

7 3. En la figura el triángulo ABC es isósceles con base AB. Si DCB = 130, cuánto mide ABC? 4. En la figura AB DA. Si BC = DA, cuál es la medida del ADC si el triángulo ABC es equilátero? 5. Si en la figura AB = AD = CD, cuánto mide el DBA? 1.3. Elementos secundarios de un triángulo Como ya vimos los triángulos poseen elementos primarios (vértices, lados y ángulos), pero también poseen elementos secundarios que corresponden a las rectas notables y sus respectivos puntos notables que se forman a partir de la intersección de un mismo tipo de rectas notables entre sí. A continuación describiremos las características de cada recta con su correspondiente punto notable por separado: 7

8 Altura La altura corresponde a la recta que pasa por un vértice y que es perpendicular al lado opuesto de éste. Todo triángulo posee 3 alturas que se denominan por h a, h b y h c de acuerdo al lado al cual es perpendicular. Las tres alturas se intersectan en un punto llamado ortocentro (O). Desafío 3 Verifica la veracidad de las siguientes afirmaciones: La altura es un trazo interior de un triángulo El ortocentro queda siempre al interior del triángulo Respuesta Bisectriz La bisectriz corresponde a la recta que pasa por un vértice y que divide al ángulo interior en dos ángulos congruentes, es decir, con la misma medida. Todo triángulo posee 3 bisectrices que se representan por b α, b β y b γ de acuerdo al ángulo que estan dividiendo. Las tres bisectrices se intersectan siempre en el interior del triángulo en un punto llamado incentro (I). Este punto equidista de los 3 lados del triángulo y corresponde al centro de la circunferencia inscrita en él. 8

9 Transversal de Gravedad La transversal de gravedad corresponde a la recta que pasa por el vértice y por el punto medio del lado opuesto a éste. Todo triángulo posee 3 transversales de gravedad que se designan por t a, t b y t c de acuerdo al lado al que llegan. Las tres transversales de gravedad se intersectan en un punto interior del triángulo denominado centro de gravedad (G) o baricentro. Esta recta notable con su respectivo punto cumplen las siguientes particularidades: Al trazar las tres transversales de gravedad se forman 6 triángulos equivalentes entre sí, es decir, que tienen igual área. Á AGD = Á DGB = Á BGE = Á EGC = Á CGF = Á F GA El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que están en la razón 2 : 1, de manera que el segmento adyacente al lado mide la mitad que el segmento adyacente al vértice. Si A, B y C corresponden a los vértices del ABC y E, F y G corresponden a los puntos medios de sus tres lados, entonces podemos obtener las siguientes relaciones: 2GE = AG 2GF = BG 2GD = CG Si unimos el baricentro G con los vértices del triángulo, obtenemos 3 triángulos equivalentes, es decir, con igual área Simetral Área AGB = Área BGC = Área CGA La simentral o también conocida como mediatriz corresponde a la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo. Todo triángulo posee 3 simetrales que se designan por s a, s b y s c de acuerdo al lado al que son perpendiculares. 9

10 Las tres simetrales se intersectan en un punto llamado circuncentro (C ). Este punto equidista de los 3 vértices del triángulo y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita en él. Desafío 4 Es cierto que el circuncentro queda siempre al interior del triángulo? Respuesta Mediana La mediana corresponde al segmento que une un par de puntos medios de los lados del triángulo. Todo triángulo posee 3 mediana que se designan por m a, m b y m c de acuerdo al lado al cual es paralelo. Las medianas a diferencias de los otros elementos secundarios de un triángulo no se intersectan entre sí, pero cumplen las siguientes propiedades: Al trazar las tres medianas se forman 4 triángulos equivalentes, es decir, con igual área. Área AF D = Área DEB = Área F CE = Área EDF Cada mediana es paralela al lado opuesto. m a BC m b AC m c AB 10

11 Cada mediana mide la mitad del lado al cual es paralela. 2m a 2m b 2m c = BC = AC = AB 1.4. Particularidades de los elementos secundarios Los elementos secundarios antes vistos tienen ciertas particulares de acuerdo al tipo de triángulo en el que se estén trazando. A continuación veremos que sucede con algunos de estos elementos en los triángulos equiláteros, isósceles y rectángulo Triángulo Equilátero Cuando trazamos las alturas, bisectrices, transversales de gravedad y simetrales en un triángulo equilátero, se cumple que todas las rectas notables coinciden, por lo tanto el ortocentro, incentro, baricento y circuncentro son el mismo punto. AE = h a = b α = t a = s a BF = h b = b β = t b = s b CD = h c = b γ = t c = s c Triángulo Isósceles En el caso de un triángulo isósceles al trazar la altura, bisectriz, transversal de gravedad y simetral correspondiente a la base, se cumple que las 4 rectas notables coinciden. CD = h c = b γ = t c = s c Triángulo Rectángulo En el caso del triángulo rectángulo al trazar la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa, está mide la mitad de la hipotenusa. AD = DB = DC 11

12 Ejercicios 2 Resolver los siguientes ejercicios. 1. El triángulo ABC de la figura es recto en B. Si DE corresponde a la mediana del lado AB, cuánto mide el EDA? 2. En la figura el punto O corresponde al circuncentro del triángulo ABC. Cuánto mide el ABO? 3. En la figura el punto O corresponde al incentro del triángulo ABC. Cuánto mide el BCA? 12

13 4. En la figura el AF es transversal de gravedad del triángulo ABC. Si AF = F C, cuánto mide el CAB? 5. Cuánto mide el ABD de la figura si BD es una altura del triángulo ABC? 13

14 Desafíos resueltos Desafío I:Es imposible construir un triángulo con esas características ya que de acuerdo a las propiedades generales que cumplen todos los triángulos, la suma de dos de sus lados debe ser mayor que el tercero, en este caso tenemos que: Por lo tanto no se puede construir. Volver 4[cm] 2[cm] + 2[cm] Desafío II: No es posible construir un triángulo con esas dos características, ya que al cumplir que sea un triángulo equilátero inmediatamente tenemos como consecuencia que todos sus ángulos miden 60, por lo tanto es imposible la construcción de un triángulo equilátero rectángulo o un triángulo equilátero obtusángulo. Volver Desafío III: Las alturas no siempre corresponden a segmentos interiores de los triángulos, ya que eso dependerá con el tipo de figura con la cual se esté trabajando. En el caso que se este trabajando con un triángulo obtusángulo podemos ver que algunas alturas son segmentos exteriores y que por lo mismo el ortocentro queda fuera del triángulo. Por otro lado, cuando se esté trabajando con un triángulo rectángulo podemos ver que dos alturas corresponden a 2 lados del triángulo, en particular, a los dos catetos. Es por esto, que en esté tipo de triángulos, el ortocentro corresponde al vértice B que subtiende al ángulo recto. 14

15 Volver Desafío IV: El circuncentro al igual que el ortocentro no siempre correspondera a un punto en el interior del triángulo ya que eso dependerá con el tipo de figura que se esté trabajando. En el caso de que sea un triángulo obtusángulo el circuncentro corresponderá a un punto fuera del triángulo. Y en el caso de un triángulo rectángulo el circuncentro será un punto sobre la hipotenusa. Volver Bibliografía [1 ] Manual de preparación PSU Matemática, Quinta Edición, Oscar Tapía Rojas, Miguel Ormazábal Díaz-Muñoz, David López, Jorge Olivares Sepúlveda. [2 ] Desarrollo del pensamiento matemático, Polígonos. Triángulos, No 13, Noviembre 2006, Martín Andonegui Zabala. 15