Propiedades y clasificación de triángulos

Transcripción

1 MT-22 Clase Propiedades y clasificación de triángulos

2 Síntesis de la clase Ángulos Polígonos convexos Clasificación de ángulos Relaciones angulares Regulares Irregulares 0º < Agudo < 90 Recto = 90 90º < Obtuso < 180 Extendido = º < Cóncavo < 360 Completo = 360 Congruentes (ángulos iguales) Complementarios + = 90 Suplementarios + = 180 Adyacentes Opuestos por el vértice Ángulos entre paralelas Generalidades Número diagonales desde un vértice d = n 3 Número total de diagonales n(n 3) D 2 Suma de ángulos interiores S i = 180 (n 2) Suma de ángulos exteriores 360

3 Aprendizajes esperados Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades. Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos. Aplicar las propiedades de un triángulo equilátero.

4 Pregunta oficial PSU En la figura 4, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono. A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2005.

5 1. Elementos primarios 2. Elementos secundarios 3. Área y perímetro 4. Clasificación

6 1. Elementos primarios 1.1 Definición El triángulo es un polígono de tres lados que tiene los siguientes elementos primarios: A b C c a B Lados : segmentos que delimitan el triángulo. AB = c BC = a AC = b Vértices: intersección de dos lados. Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que la medida del tercer lado. a + b > c b + c > a a + c > b Ejemplo: Puede existir un triángulo de lados: 3, 4 y 7 cm? Verificando el teorema se tiene: = > > 3 Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.

7 1. Elementos primarios 1.1 Definición A C Teoremas: B Ángulos interiores: se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura., y g son los ángulos interiores del triángulo ABC. Ángulos exteriores : son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores., y g son los ángulos exteriores del triángulo ABC. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º. En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa. + + g 180 La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º. + + g 360 Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él. = + g = + g g = +

8 2. Elementos secundarios 2.1 Altura (h) Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. En la figura, CD es la altura (h C ) desde el vértice C. C h C A D B El ortocentro (H) es el punto de intersección de las alturas (h A, h B, h C ). C H A B

9 2. Elementos secundarios 2.2 Transversal de gravedad (t) Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. En la figura, CD es la transversal de gravedad (t C ) desde el vértice C y D es el punto medio del lado AB. t C El baricentro o centro de gravedad (G) es el punto de intersección de las transversales de gravedad.

10 2. Elementos secundarios Propiedad del centro de gravedad o baricentro (G) El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1. D, E y F: Puntos medios AE = t A BF = t B CD = t C G: Centro de gravedad Ejemplo: En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.

11 2. Elementos secundarios 2.3 Simetral (S) Recta perpendicular a un segmento, trazada en su punto medio. En la figura, está representada la simetral del lado AB, que pasa por su punto medio D. C El punto de intersección de las simetrales se llama circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. D, F y G: Puntos medios. E: Circuncentro A S B

12 2. Elementos secundarios 2.4 Bisectriz (b) Rayo que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. C b C El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. A D B E: Incentro

13 2. Elementos secundarios 2.5 Mediana (M) Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. D, E y F: Puntos medios DF, DE y EF: Medianas Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales entre sí. El área de cada uno es la cuarta parte del área total del triángulo original.

14 3. Área y perímetro Para obtener el área y perímetro en un triángulo cualquiera se utilizan las siguientes fórmulas: C C b a b a h A h h B C A c Área = base altura 2 B A c B Perímetro = a + b + c Ejemplo: Determinar el área y perímetro del triángulo de la figura. A 10 B 8 D C Área = base altura 2 Área = Área = 84u² Perímetro = Perímetro = 48u

15 4. Clasificación Acutángulo Según ángulos Todos sus ángulos interiores son agudos. Escaleno Según lados Todos sus lados y ángulos son distintos. Ejemplo: Rectángulo Tiene un ángulo recto. Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso. Isósceles Tiene solo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base. Equilátero Tiene todos sus lados y ángulos congruentes. (Base)

16 4. Clasificación 4.1 Propiedades en el triángulo equilátero AB BC CA Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales coinciden sobre la misma recta. Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden. Área (A) y altura (h) de un triángulo equilátero 2 a 3 A 4 h a 3 2 con a: lado del triángulo a 30º 30º h a 60º 60º a a 2 2 a 3 2

17 Ejemplo Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3 cm. A partir de la altura determinaremos el lado. Sea x la medida del lado, entonces: 3 h 3 3 x 3 2 x 3 2 x 2 6 = x Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será: A A A 9 3 cm 4 2 4

18 4. Clasificación 4.1 Propiedades en el triángulo equilátero Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita h = r + 2 r h = 2 3r h = 3r

19 4. Clasificación 4.2 Propiedades en el triángulo isósceles Las alturas y transversales que se trazan desde los vértices congruentes, miden lo mismo. h A = h B t A = t B La altura, transversal, bisectriz y simetral que llegan a la base, coinciden sobre la misma recta. Ejemplo: En la figura, el triángulo ABC es isósceles en B y D es punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x. 90 = Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC. Si D es punto medio, entonces BD es transversal. BD es altura, bisectriz y simetral. DBA = 40 y ADB = 90 x = 50

20 4. Clasificación 4.3 Propiedades en el triángulo rectángulo Triángulo rectángulo isósceles En el triángulo rectángulo isósceles de lado a de la figura, se cumple que: C A B Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa). C CBA = 45 AC = 4 y BC = A B

21 4. Clasificación 4.3 Propiedades en el triángulo rectángulo Triángulo rectángulo y transversal de gravedad Si M es punto medio de AB, entonces AM MB CM t C : transversal Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el DCB. Si CD es transversal de gravedad, D es punto medio AD DB CD El triángulo CDB es isósceles de base BC CBA DCB Por lo tanto, DCB = 40

22 Pregunta oficial PSU En la figura 4, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono. A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III ALTERNATIVA CORRECTA E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2005.

23 Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 E Triángulos Aplicación 2 B Triángulos Aplicación 3 B Triángulos Aplicación 4 D Triángulos Análisis 5 E Triángulos Análisis 6 C Triángulos Análisis 7 D Triángulos Análisis 8 C Triángulos Aplicación 9 A Triángulos Aplicación 10 D Triángulos Aplicación 11 C Triángulos Aplicación 12 B Triángulos Análisis

24 Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 D Triángulos Análisis 14 E Triángulos Análisis 15 D Triángulos Análisis 16 B Triángulos Aplicación 17 A Triángulos Aplicación 18 D Triángulos Aplicación 19 D Triángulos Análisis 20 B Triángulos Análisis 21 C Triángulos Análisis 22 A Triángulos Análisis 23 A Triángulos Análisis 24 C Triángulos Evaluación 25 C Triángulos Evaluación

25 Síntesis de la clase Triángulos Elementos Generalidades Clasificación primarios secundarios área según sus lados según sus ángulos vértices altura perímetro escaleno acutángulo lados ángulos interiores simetral bisectriz transversal isósceles equilátero rectángulo obtusángulo ángulos exteriores mediana

26 Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, resolveremos el Taller II

27 Equipo Editorial Matemática