ÁNGULOS Y GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO: CLASIFICACIÓN Y APLICACIONES DIDÁCTICAS.

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1 ÁNGULOS Y GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO: CLASIFICACIÓN Y APLICACIONES DIDÁCTICAS. AUTORIA FERNANDO VALLEJO LÓPEZ TEMÁTICA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA ETAPA ESO Resumen EN ÉSTE ARTÍCULO, SE ESTUDIAN LOS ÁNGULOS Y LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO. ESTUDIAMOS LA CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS, LOS ÁNGULOS COMPARATIVOS, LOS ÁNGULOS ENTRE PARALELAS, Y LOS TEOREMAS DE ÁNGULOS. LUEGO; VEMOS DENTRO DE LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO: LA CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Y LAS LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. POR ÚLTIMO; VEMOS VARIAS APLICACIONES DIDÁCTICAS EN LA ESO. Palabras clave Ángulos. Geometría del Triángulo. Clasificación. Aplicaciones Didácticas.

2 1. INTRODUCCIÓN. Después de más de 100 años de dominio de los Métodos analíticos, a comienzos del siglo XIX, se empiezan a replantear cuáles debían ser los métodos más adecuados para enseñar GEOMETRÍA. En esa época, algunos prestigiosos Matemáticos como: Chasles y Poncelet, se muestran claramente partidarios de los métodos sintéticos frente a los analíticos; objetando entre otros motivos, que aquellos son más intuitivos y sencillos que éstos, y que a pesar de ser menos potentes, no encubren el significado de lo conseguido. La polémica planteada continúa con posterioridad participando en ella Matemáticos de reconocido prestigio como: Dieudonné, Godement, Santaló, etc. En lo que respecta a la Enseñanza Secundaria, la realidad parece haber dado la razón; situando a la Geometría sintética en la ESO, y a la Geometría analítica en el Bachillerato. Los ángulos y la Geometría del triángulo, se enmarcan dentro de la Geometría sintética; es decir dentro del estudio de la Geometría tradicional, sin utilizar sistemas de referencia ni coordenadas. 2. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS. Nombre Definición Figura Ángulo recto Mide 90

3 Ángulo agudo Mide menos de 90 Ángulo obtuso Mide más de 90 Ángulo llano Mide 180 Ángulo completo Mide ÁNGULOS COMPARATIVOS. Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90. Ejemplo: 30º y 60º son complementarios; pues suman 90º. Oº y 90º también son complementarios. Sin embargo; el complementario de 45º es el mismo (45º). El Complemento de un ángulo, es lo que le falta al ángulo para completar 90.

4 Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180. Ejemplo: El suplementario de 30º es 150º, pues ambos suman180º. El suplementario de 45º es: 180º-45º=135º. El suplemento de un ángulo, es lo que le falta al ángulo para completar 180. Ángulos consecutivos o contiguos: Son aquellos que tienen un lado común. Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen un lado en común, y el otro lado sobre una misma recta. 2 ángulos adyacentes, son siempre suplementarios. Ángulos opuestos por el vértice: Dos ángulos son opuestos por el vértice, cuándo al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo. 2 ángulos opuestos por el vértice, son siempre iguales. 2 rectas que se cortan, dividen al plano en 4 ángulos opuestos 2 a 2 por el vértice; y por tanto iguales dos a dos. 4. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS. Al intersecar una paralela, por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulos: Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que están al mismo lado de las paralelas, y al mismo lado de la transversal. Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son: o Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. o Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. o Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

5 Ángulos entre paralelas L1 / / L2 Las Propiedades que se obtienen son: β=e ;α=f ; γ=g ; δ=h γ =f ; δ =e β =h ; α =g β = δ ; g=f ; e=h ; γ = α Ángulos correspondientes u homólogos Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos Ángulos opuestos por el vértice TEOREMAS DE ÁNGULOS. Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro. Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales. Los ángulos opuestos por el vértice, que se forman al cortarse 2 rectas del plano, son iguales. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos, son iguales a los del otro triángulo; entonces ambos triángulos son congruentes. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. A lados iguales se oponen ángulos también iguales, y viceversa.

6 5. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS. Los triángulos se pueden clasificar según dos criterios: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados, hay 3 tipos de triángulos. Estos son:. Equilátero. Es el único triángulo regular. Isósceles. El lado distinto, se llama base = AB=b. Escaleno.

7 Según la medida de sus ángulos, también encontramos 3 tipos de triángulos. Ellos son: Acutángulo. Sus 3 ángulos interiores son agudos. Rectángulo. < CAB = 90 < ABC y < BCA = agudos. Los lados que forman < recto, se llaman catetos. El otro lado, se llama hipotenusa. Obtusángulo. < CAB = obtuso. < ABC y < BCA = agudos.

8 6. LINEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. Las líneas notables del triángulo o sus elementos secundarios son: Alturas (h) Bisectrices (b) Simetrales o mediatrices (s) Medianas o transversales de gravedad(t) 6.1. Alturas. Son segmentos perpendiculares (es decir; segmentos que forman ángulos de 90º), a un lado del triángulo o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del cuál se levantan:(h a, h b, hc). En un triángulo de vértices A, B, C, las 3 alturas h a, h b, hc, concurren o se cortan en un punto O, que se llama Ortocentro del Triángulo.

9 6.2.Bisectrices. Una Bisectriz de un ángulo, es la recta que divide al ángulo en 2 partes iguales; es decir, es la recta que divide al ángulo en su mitad. Un triángulo tiene 3 bisectrices, una por cada ángulo; y se designan normalmente por la letra b y un subíndice que señala el ángulo. El punto O dónde concurren o se cortan las 3 bisectrices del triángulo se llama Incentro del Triángulo, O. El incentro corresponde al centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. 6.3.Simetrales. Las simetrales o mediatrices, Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio. Las simetrales se designan por la letra s, y un subíndice que indica el lado al que corresponde. Las 3 simetrales o mediatrices del triángulo, concurren o se cortan en un punto O llamado Circuncentro del Triángulo. El circuncentro, corresponde al centro de una circunferencia circunscrita al triángulo. Una circunferencia viene determinada por 3 puntos no alineados; pues si tenemos 3 puntos A, B, C, no alineados entonces la circunferencia que pasa por ellos, es la circunferencia de centro el circuncentro del triángulo ABC, y de radio la distancia del circuncentro a uno de sus vértices (todas estas distancias son iguales).

10 6.4. Medianas o transversales de gravedad. La mediana o transversal de gravedad, es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene 3 transversales de gravedad o medianas, una por cada lado, y se designan con la letra t. El punto dónde concurren o se cortan las medianas o transversales de gravedad, se llama Baricentro del Triángulo; y se representa con la letra G. El Baricentro del Triángulo, también se llama Centro de Gravedad del Triángulo; porque es el punto dónde debe apoyarse el triángulo para permanecer en equilibrio.

11 7. APLICACIONES DIDÁCTICAS. Los ángulos y toda su clasificación; así como la Geometría del triángulo, tienen su Aplicación Didáctica en 3º y 4º de ESO. Aunque por motivos de falta de tiempo, la mayoría de las veces la Geometría del triángulo no se suele ver en la ESO. No obstante; ésta parte de la Matemática es muy bonita, y se utilizan en la práctica los teodolitos para medir ángulos. La Geometría del triángulo, es muy interesante para que los alumnos en 4º de Eso Matemática B y también en el Bachillerato la apliquen, sobre todo cuándo estudian la Trigonometría; para calcular por ejemplo: Alturas de árboles, anchuras de calles, y profundidades de pozos entre otras cosas por ejemplo. Ya en 4º de ESO Matemáticas B, los alumnos utilizan la Trigonometría para resolver triángulos de cualquier tipo. Pues; un triángulo viene determinado por 3 elementos, de manera que al menos uno de ellos sea un lado. Y resolver dicho triángulo, consiste en hallar el resto de lados y ángulos. Otra aplicación, sería por ejemplo: Estudiar en 3º de ESO los Triángulos semejantes; viendo que 2 triángulos son semejantes, si sus ángulos son iguales o si sus lados homólogos son proporcionales. Otra Aplicación Didáctica en 3º de ESO; sería ver que una circunferencia en el plano, viene determinada por 3 puntos no alineados. Pues; si tenemos 3 puntos A, B, C, no alineados o lo que es igual su configuración Geométrica es un triángulo, entonces la circunferencia que pasa por ellos, es la circunferencia de centro el circuncentro del triángulo y de radio la distancia de éste a uno de sus vértices (las 3 distancias coinciden). 8. CONCLUSIÓN: La Geometría del Triángulo, y en particular los ángulos se utilizan constantemente no sólo por los Matemáticos; sino también por los Físicos e ingenieros entre otros. Ya que con los Teodolitos, que nos permiten medir ángulos; y utilizando la Trigonometría como Herramienta Matemática potente, podemos calcular: Alturas de edificios, anchuras de calles, peraltes de curvas, etc. Todas estas Aplicaciones y muchas más, son utilizadas por Físicos e Ingenieros en su trabajo diario. Por tanto; los ángulos su clasificación y la Geometría del triángulo, son cosas que todo el mundo debería saber para posteriormente utilizarlos en la práctica, por ejemplo: Para calcular la altura de un edificio, midiendo el ángulo que forma con el punto más alto, desde una cierta distancia del edificio; y utilizando la Trigonometría para ello.

12 9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Coxeter, H.S.M. (1988). Fundamentos de Geometría. México: Ed. Limusa. Martínez, J. (1969). Elementos De Matemáticas. Valladolid: Ed. Marfil. Primo, A. (1986). Matemáticas. Curso de orientación universitaria. Madrid: Ediciones SM. Río, J. (1990). Aprendizaje de las Matemáticas por descubrimiento. Una aplicación al estudio de las cónicas. Salamanca: ICE de la universidad de Salamanca. Autoría: Fernando Vallejo López. IES Salvador Serrano, Alcaudete, Jaén.