GEOMETRÍA. 1. Líneas y ángulos. Partimos de la existencia de infinitos puntos cuyo conjunto llamamos ESPACIO.
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- Tomás Casado Guzmán
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1 1. Líneas y ángulos Partimos de la existencia de infinitos puntos cuyo conjunto llamamos ESPACIO. Los puntos del espacio se consideran agrupados en conjuntos parciales de infinitos puntos llamados PLANOS. Los puntos del plano se consideran equipados en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamado RECTAS. Vamos a considerar varios enunciados que relacionan puntos, rectas y planos apoyándonos en una figura geométrica. 1. Dos planos que se cortan determinan una recta (r). 2. Dos rectas que se cortan determinan un punto (p). 3. Dos puntos determinan una recta (AB). 1
2 4. Tres puntos no situados en una recta determinan un plano (ABC). 5. Dos rectas que se cortan determinan un plano (rs). Aunque a la hora de representar figuras geométricas como planos y rectas, lo hagamos con unos ciertos límites, hay que tener en cuenta su carácter de infinitud. Una recta divide al plano que lo contiene en dos partes llamadas SEMIPLANOS. Una SEMIRRECTA es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos. Por un punto pasan infinitas rectas. Por dos puntos pasa una sola recta. Rectas paralelas: Son las que estando en el mismo plano, no son secantes. Rectas secantes: Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección. 2
3 Rectas coincidentes: Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen. Rectas perpendiculares: Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales. 1. Ángulos Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. El punto 0 (origen de las semirrectas) se llama vértice. Las rectas a y b son los lados del ángulo. Las semirrectas a y b determinan en el plano dos ángulos: uno cóncavo y otro convexo. Es decir, 3
4 1.1. Tipos de ángulos Ángulos consecutivos: son aquellos que tienen el vértice y un lado común. Ángulos adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano. Ángulos opuestos por el vértice: Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. iguales. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son OTROS DE GRAN IMPORTANCIA!!!!!! Y por lo tanto que debemos saber y distinguir perfectamente: 4
5 Agudo < 90 Recto = 90 Obtuso>90 Convexo < 180 Llano = 180 Cóncavo > 180 Nulo = 0º Completo = 360 Negativo < 0º Mayor de Clases de ángulos según su suma Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90. 5
6 Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si suman Sistema sexagesimal. al. Para medir la amplitud de ángulos con mayor precisión se utiliza el sistema sexagesimal. Este sistema consiste en dividir un grado en 60 partes iguales. A cada una de estas divisiones la llamamos minuto, de manera que cada grado contiene 60 minutos. De igual forma, cada minuto se divide en 60 partes iguales para obtener un segundo y obtenemos la siguiente equivalencia: 1 grado = 60 minutos = segundos. Utilizando este sistema de medida diremos, por ejemplo, que la amplitud de un ángulo es 25 grados, 1 minutos y 7 segundos, y lo escribiremos así: 25º 31' 7'' El instrumento para medir un ángulo en grados sexagesimales se denomina transportador: y es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y la otra de 180º a 0. 6
7 2.1. Circunferencia 2. Figuras planas Circunferencia: es la curva plana en la que cada uno de sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Diámetro: es cualquier segmento que pasa por el centro y cuyos segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia. Radio: es el segmento que va desde el centro a un punto cualquiera de la circunferencia. Círculo: es el conjunto de los puntos interiores a una circunferencia. CÍRCULO CIRCUNFERENCIA 2.2. Longitud de la circunferencia: La longitud de la circunferencia es directamente proporcional a su diámetro, siendo el factor de proporcionalidad el número: L= π x d = π x 2 x r = 2π r Donde π tiene como valor 3,
8 3. Polígonos Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos Elementos de un polígono Lados: Son los segmentos que lo limitan. Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados. Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados consecutivos. Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos 3.2. Según sus lados Triángulos Tienen 3 lados. Cuadriláteros Tienen 4 lados. Pentágonos Tienen 5 lados. 8
9 Hexágonos Tienen 6 lados. Heptágonos Tienen 7 lados. Octágonos Tienen 8 lados. Eneágono Tiene los 9 lados. Decágono Tiene 10 lados. Endecágono Tiene 11 lados. 9
10 Dodecágono Tiene 12 lados. Tridecágono Tienen 13 lados. Tetradecágono Tiene 14 lados. Pentadecágono Tiene 15 lados. Hexadecágono Tiene 16 lados. Heptadecágono Tiene 17 lados. 10
11 Octadecágono Tiene 18 lados. Eneadecágono Tienen 19 lados. Icoságono Tiene 20 lados Tipos de polígonos Polígonos regulares: Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales. -Elementos de un polígono regular: Centro: Punto interior que equidista de cada vértice Radio: Es el segmento que va del centro a cada vértice. Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado. -Clasificación de polígonos regulares: 11
12 Triángulo equilátero Tiene los 3 lados y ángulos iguales. Cuadrado Tiene 4 lados y ángulos iguales. Pentágono regular Tiene 5 lados y ángulos iguales. Hexágono regular Tiene 6 lados y ángulos iguales. Heptágono regular Tienen 7 lados y ángulos iguales. Octágono regular Tiene 8 lados y ángulos iguales. 12
13 Eneágono regular Tiene los 9 lados y ángulos iguales. Decágono regular Tiene 10 lados y ángulos iguales. Endecágono regular Tiene 11 lados y ángulos iguales. Dodecágono regular Tiene 12 lados y ángulos iguales. Tridecágono regular Tienen 13 lados y ángulos iguales. Tetradecágono regular Tiene 14 lados y ángulos iguales. 13
14 Pentadecágono regular Tiene 15 lados y ángulos iguales. Hexadecágono regular Tiene 16 lados y ángulos iguales. Heptadecágono regular Tiene 17 lados y ángulos iguales. Octadecágono regular Tiene 18 lados y ángulos iguales. Eneadecágono regular Tienen 19 lados y ángulos iguales. Icoságono regular Tiene 20 lados y ángulos iguales. 14
15 4. Triángulos Es una superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos Características: Todo triángulo consta de 3 vértices que son las intersecciones de las rectas. Los segmentos que unen los vértices se llaman lados del triángulo. Los lados del triángulo forman tres ángulos que se llaman ángulos internos del triángulo. En todo triángulo los ángulos internos suman 180º. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia. Altura de un Triángulo: La altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste. 15
16 Se llama base del triángulo al lado sobre el que se apoya Clasificación según sus lados: Triángulo equilátero Tres lados iguales. Triángulo isósceles Dos lados iguales. Triángulo escaleno Tres lados desiguales -Según sus ángulos: Triángulo acutángulo Tres ángulos agudos Triángulo rectángulo Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos. 16
17 Triángulo obtusángulo Un ángulo obtuso. El que más nos va a importar será el triángulo rectángulo. Se caracteriza por tener un ángulo recto, es decir, un ángulo que mide 90º. Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el otro hipotenusa. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la base por la altura relativa a dicha base Alturas de un triángulo Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). 17
18 Ortocentro: Es el punto de corte de las tres alturas. Medianas de un triángulo: Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Baricentro: Es el punto de corte de las tres medianas. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto: BG = 2GA Mediatrices de un triángulo: Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Circuncentro: Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices de un triángulo: Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Incentro: Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. 18
19 5. Cuadrilátero Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a Clasificación de cuadriláteros Paralelogramos Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en: Cuadrado Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos. Rectángulo Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos. Rombo Tiene los cuatro lados iguales. 19
20 Romboide Tiene lados iguales dos a dos. Trapecios Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Trapecio rectángulo Tiene un ángulo recto. Trapecio isósceles Tiene dos lados no paralelos iguales. Trapecio escaleno No tiene ningún lado igual ni ángulo recto. 20
21 Trapezoides Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo. 6. Áreas Son las más importantes!!! 21
22 7. Áreas y Volúmenes De interés general Área y volumen del tetraedro Área y volumen del octaedro Área y volumen del icosaedro Área y volumen del dodecaedro Área y volumen del cubo 22
23 Área y volumen del ortoedro Área y volumen del prisma Área y volumen de la pirámide 23
24 Área y volumen del tronco de pirámide Área y volumen del cilindro Área y volumen del cono 24
25 Área y volumen del tronco de cono Área y volumen de la esfera 25
26 Boletín de Ejercicios 1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto. 2. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista. 3. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. 26
27 Soluciones del Boletín de Ejercicios 1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto. 2. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista. 3. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. 27
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7. TRIÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS
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88 El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras.
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11 Cuerpos geométricos
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uno es agudo y el otro es obtuso. Á = (48. 5 ) / 2 = 120 D 2 = 20 2 + 10 2 + 6 2 = 536 ; D = 23 15 V = V S + V c = 2 / 3. π 125 + 1 / 3. π 25. 3 = 325/3. π Área = lado x lado = l 2 Los paralelepípedos
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