UNIDAD X - GEOMETRIA. Ejercitación

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1 UNIDAD X - GEOMETRIA Programa Analítico Segmentos. Operaciones con segmentos. Ángulos. Clasificación de los ángulos: Complementarios, suplementarios, adyacentes, alternos-internos, opuestos por el vértice. Figuras planas. Triángulos rectángulos y oblicuángulos, equilátero, isósceles y escaleno. Semejanza de triángulos. Perímetro y área. Cuadriláteros. Rectángulo y rombo. Perímetro y área de cuadriláteros. Circunferencia y círculo. El número π. Aplicaciones en la resolución de problemas simples de figuras planas: Teorema de Pitágoras Teorema del coseno. Cuerpos geométricos básicos: cubo, prisma, cono, cilindro, esfera. Volumen de cuerpos geométricos. Conocimientos previos Razones y proporciones. Cálculo de medios y extremos. Croquización de triángulos, cuadriláteros, arcos y círculos. Unidades de medida de longitudes, ángulos, áreas y volúmenes. Resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas. Bibliografía Kacsor y Machiunas. Matemática 8 EGB. (Capítulos 10 y 11). Editorial Santillana (00). Arroyo, Berio y D Albano. Matemática Activa. (Tramo D y Tramo E). Editorial Puerto de Palos (00). Diana Buteler. Matemática Polimodal. (Capítulo 5). Editorial Masters S.R.L. (000). Vázquez, Tapia y Tapia. Matemática 4. (Capítulo 18). Editorial Estrada (199). Ejercitación 1) En un paralelogramo dos de sus lados consecutivos miden, respectivamente, 10 m y 0 m, mientras que el ángulo comprendido entre ellos es de 60º. Calcular las longitudes de cada una de las diagonales del paralelogramo. R: 17, m y 6,46 m ) Calcular el área de un pentágono regular si cada uno de sus lados mide 0,50 m. (Observación: se sugiere descomponer el pentágono en cinco triángulos isósceles idénticos y relacionar las medidas lineales y angulares en uno de ellos). R: Área = 0,40119 m ) Calcular el volumen de un prisma si su base es un triángulo equilátero de 0.8 m de lado y sus aristas (perpendiculares al plano de base) miden.5 m. R: Volumen = 0,6980m 4) Calcular el volumen de un cubo, sabiendo que sus diagonales interiores, como la A C de la figura adjunta, miden 1 metro. (Observación: se sugiere relacionar las longitudes de los segmentos contenidos en el plano de base ABC con los contenidos en el plano perpendicular al plano de base que pasa por A C).

2 R: Volumen = 9 m 0,1945m 5) Calcular el radio de la base circular de un cono recto, sabiendo que encierra un volumen de 4p cm y que su vértice se encuentra a 8 cm por encima del plano de base. R: radio = cm 6) Calcular cuánto miden los ángulos α y β. R: α = 140º; β= 65º 7) Calcular los ángulos α, β y γ de la figura. 8) Calcular el ángulo β de la figura. 9) Resolver el triángulo y calcular su perímetro y su área, según los datos consignados en cada caso: a) a = 16; c = 10; β = 40º b) α = 60º; β = 50º; b = 15 c) α = 5º; γ = 70º; b = 0 d) a = 50; b = 0; c = 5 10) Calcular el área del sector sombreado, si el lado del cuadrado mide metros. R: Area 0, 57 m. 11) En el rectángulo de la figura el área sombreada es de 15 m. Cuánto miden las diagonales? R: Diagonal 11,7 m

3 1) Calcular el valor del lado x, sabiendo que el área del cuadrado menor (sombreado), es la mitad de la del mayor. R: 4 5, 66 1) Calcular el área del triángulo rayado en la figura. R: 8 14) En el trapecio dado, calcular el lado L, siendo el área igual a 48 cm. R: L 8, 9 cm. 15) Calcular el área del sector de corona circular sombreado. 16) Mediante la aplicación del teorema de Pitágoras, determinar la ecuación para calcular el radio R del arco AB de la figura, en función de la longitud c de su cuerda y de la de su flecha f. f + c Sol.: R = 4 f 17) Determinar la altura y el área del rombo de la figura, β siendo: α = y L = 8 cm.

4 18) Calcular el área del triángulo sombreado ADC, contenida en el triángulo rectángulo ABC. El lado AD es perpendicular al lado BC. (Observación: Emplear semejanza de triángulos). R: Area = 8,64 m. 19) Un anillo circular tiene una superficie de 0π cm, siendo el radio de la circunferencia interior de 4 cm. Cuál es el diámetro de la circunferencia exterior? R: Diámetro = 1 cm. 0) Determinar el radio externo y el radio interno de la corona circular que se indica, sabiendo que su diferencia es de cm y que el área de la corona es de 50,654 cm. R: R = 5 cm; r = cm. 1) Calcular cuánto mide el lado x del cuadrado de la figura, si el área sombreada vale 1,914cm. R: x = 6 cm. ) Un cilindro de base circular de radio 6 cm, tiene un volumen de 180π cm. Determinar la altura del cilindro. R: Altura = 5 cm ) Calcular cuánto miden el radio de la base de un cilindro y su altura, sabiendo que el área lateral del cilindro vale 75,4 m y su volumen 75,4 m. (Observación: el área lateral no incluye las bases circulares). R: Radio = m; Altura = 6 m. 4) El volumen de una esfera es: V = π. Determinar su diámetro.

5 5) Un avión acrobático describe trayectorias circulares verticales, con altura máxima de 600 m y mínima de 60 m, respecto del suelo, Cuántos metros recorrerá en dos giros completos? Ρ: 1080π metros. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 18 AC 6 m CD =.AC =.6 m = BC 10 m Por semejanza de triángulos, tendremos: AC AD AC = ; Despejando y reemplazando: AD =. AB BC AB BC 6 m 4 AD =.8 m = m 10 m 5 Nuevamente, por semejanza de triángulos, tendremos: AC CD = ; Despejando y reemplazando: BC 18 5 m Finalmente, el área del triángulo vale : AC 4 m 18m. Area = = = 8,64 m ( AD )(. CD) 5 5 Ejercicio Area lateral del cilindro: A =.π.r. h = 75,4 m (1) Volumen del cilindro: V = π.r. h = 75,4 m () Despejando h de (1) y reemplazando en (), tendremos: 75,4 m h = () ; πr 75,4 m πr. = 75,4 m ; Simplificando y despejando R: πr 75,4m. π 75,4 m = = m ; Reemplazando en (): h = = 6 m 75,4m π π m R En definitiva: Radio de la base del cilindro R = m; Altura del cilindro R = 6m