Ejercicios de Trigonometría

Transcripción

1 Ejercicios de Trigonometría. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m a la misma hora que un árbol de m proyecta una sombra de m.. En un mapa, la distancia entre La Coruña y Lugo es de 9 cm, entre Santiago de Compostela y La Coruña cm, y entre Santiago de Compostela y Lugo 0 cm. En otro mapa, la distancia entre Santiago de Compostela y La Coruña es de 8 cm. Cuáles serán las otras dos distancias medidas en este segundo mapa?. Tenemos dos triángulos isósceles semejantes. Del pequeño conocemos que cada uno de los lados iguales mide 5 cm y el lado desigual cm; pero del grande, sólo sabemos que el lado desigual mide 7 cm. Cuánto mide cada uno de los otros dos lados?. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden y 5 cm. 5. Si que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 m y un cateto 7 m, halla el otro cateto. 6. Halla la altura y el área de un triángulo equilátero de 5 m de lado. 7. Un poste vertical de m proyecta una sombra de m; qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 5 m? 8. Las longitudes de los lados de un campo triangular son 5 m, 75 m y 00 m. Se hace a escala un dibujo del campo, y el lado mayor queda representado por un segmento de cm. Cuáles son las longitudes de los otros dos lados del triángulo en el dibujo? 9. En un mapa a escala : , la distancia entre dos ciudades es de cm. Cuál es la distancia real que las separa? 0. Si un campo está dibujado a escala de :00, cuál será en el terreno la distancia que en el dibujo mide 8 cm?. A qué escala está dibujado un campo, si en el plano cm representan 60 m de longitud real?. Calcula el ángulo complementario y el suplementario de: º 5 89º 5 6 5º 7 d) /6 rad e) / rad f) /7 rad. Dados los siguientes ángulos 6º 56 6 y β 6º 6 7 calcula: + β - β + β d) /. Cuál es la longitud de un arco que mide rad si el radio de la circunferencia es de cm? y si el ángulo es de rad? 5. Calcula el valor de un radián en grados, minutos y segundos sexagesimales. 6. A cuántos radianes equivalen 5 8' 7"? 7. A cuántos grados sexagesimales equivalen radianes? 8. Ayúdate de la calculadora para completar la tabla siguiente: Medida de en grados, minutos y segundos 5º 0º 75º Medida de en radianes tg, 0,6 6 pg de 6

2 9. Dibuja un ángulo tal que sen /7. 0. Averigua los ángulos, β y γ sabiendo: tg 5 sen β 0 sen γ 0 6. Usando la calculadora, halla los siguientes valores redondeando a decimales: sen º 5 57 cos 85º 7 tg 87º d) sen º 5. Utilizando la calculadora, halla los ángulos de las siguientes razones trigonométricas: sen 0,56 cos 0,5555 tg,57 d) cos 0,5 e) sen 0,055. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce uno de sus ángulos, B 7º, y su hipotenusa, a 5 m.. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos B 9º, y el cateto opuesto, b 5 m. 5. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: la hipotenusa, a 5 7 m, y un cateto, b 6 m. 6. Halla la hipotenusa y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen los dos catetos, b y c: b 5 m y c 8 m. 7. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 0 cm, el seno de un ángulo agudo es /. Halla el valor de los catetos del triángulo. 8. En un triángulo rectángulo, un cateto vale 6 dm. Calcula el valor de la hipotenusa y del otro cateto si cos 0 55, siendo un ángulo agudo del triángulo. 9. En un triángulo rectángulo, un cateto vale 6 dm. Calcula el valor de la hipotenusa y del otro cateto si, siendo un ángulo agudo del triángulo. 0. Las bases de un trapecio isósceles miden 7 y metros; su altura mide 5 metros. Halla los ángulos del trapecio.. La ventana de una casa está a 9 5 m del suelo. Disponemos de una escalera que mide 0 m de largo. Por motivos de seguridad se aconseja que la escalera forme con la horizontal un ángulo máximo de 70º. Podemos llegar a la ventana?. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen uno de sus ángulos, B 5º, y el cateto contiguo, c 7 m.. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: la hipotenusa, a 6m, y un cateto, c m.. De un rombo ABCD se conocen la diagonal AC m. y el lado AB 5m. Halla los ángulos del rombo y su otra diagonal. 5. Qué ángulo forman con la horizontal los rayos del Sol en el momento en que una columna de 5 m proyecta una sombra de m? 6. A una hora del día una casa proyecta una sombra igual a las tres cuartas partes de su altura. Cuál es la inclinación de los rayos del Sol respecto al horizonte? 7. Un campanario proyecta una sombra de 7 m de largo cuando la inclinación de los rayos del Sol respecto a la horizontal es de 7º. Qué altura tiene el campanario? pg de 6

3 8. Dos hombres salen de un punto A. Uno se dirige a B y otro al punto C, siguiendo trayectorias rectilíneas que forman entre ellas un ángulo de 7º. Si los puntos B y C están separados por una distancia de 60 m y la dirección BC es perpendicular a la dirección AC, cuántos metros recorre uno más que el otro? 9. El radio de un polígono regular de lados mide 0 m. Cuánto miden el lado l y el apotema a? 0. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden cm y 8 cm.. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 7º. Sabiendo que la altura del acantilado es de 00 m, a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado?. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, qué ángulo forman los rayos del sol con el horizonte?. En un triángulo isósceles el lado opuesto al ángulo desigual mide 7 m y los ángulos iguales miden 6º cada uno. Halla la altura y el área.. Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale Si sen 0 6 y < 90º, calcula cos y. 6. Si y 90º < < 80º, calcula sen y cos. 7. A partir del dato que te dan, calcula las demás razones trigonométricas: sen 8. Resuelve los siguientes apartados: cos β 5 tg χ Si cos /; calcula sen y tg. Si sen β /5; calcula cos β y tg β. 9. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla, haciendo uso de las relaciones fundamentales: β χ δ ε φ sen 0,9 /5 cos 0,8 tg,5 50. Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan y el ángulo en cada columna: sen / cos tg 5. Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de.00 m y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 0º. A qué distancia está el avión del pie de la torre si ésta mide 0 m de alto? pg de 6

4 5. Una escalera de bomberos de 6 m de longitud de ha fijado en un punto de la calle. Si se apoya sobre una de las fachadas, forma un ángulo de 0º, y si lo hace sobre la otra fachada, el ángulo es de 8º. Averigua la anchura de la calle. 5. Desde un punto A del suelo se observa una torre, situada en T, que se ve bajo un ángulo º. Se avanza 0 m en dirección a la torre, se mira y se la ve, ahora, bajo un ángulo β 58º. Halla la altura h de la torre y la distancia de A al pie, T, de la torre. 5. Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña y la visual forma un ángulo de 50º con el suelo. Al alejarse 00 m de la montaña, la visual forma 5º con el suelo. Halla la altura h de la montaña. 55. Un globo aerostático se mantiene fijo en el aire. Dos observadores separados por una distancia de km y situados en el mismo plano vertical que el globo, lo ven con ángulos respectivos de 6º y º. A qué altura está el globo? 56. Desde cierto lugar del suelo se ve el punto más alto de una montaña bajo un ángulo de º. Al acercarnos 60 m hacia el pie de la montaña, el ángulo es de 6º. Qué altura tiene la montaña? 57. Calcula todas las razones trigonométricas de 8º sabiendo que sen 8º 0 7 (sin usar calculador. Halla, también sin calculadora, las razones de º, º, 8º y -8º. 58. Halla el signo de las siguientes razones trigonométricas sen 60º cos 0º 00º d) sec 95º e) co 0º f) cosec 00º 59. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo que cumple sen ; < < 5 cos ; < < ; < < g) sen 5º h) 0º d) sec ; < < e) cos ec ; < < f) cot ag 5 ; < < 60. Calcula en el sistema sexagesimal el ángulo x: sen 6 x cos ec 5x x d) sec x e) cos x f) x 0 g) cos x h) cos ec x i) sen x 6. Encuentra todos los ángulos comprendidos entre: j) sen 6 x k) sen x l) sec x m) cos x n) x o) x p) q) sen 5x sen x 0º y 800º cuya tangente valga 0º y 000º cuyo seno valga 0º y 800º cuyo coseno valga d) 0 y 0 rad cuyo coseno valga pg de 6

5 6. Calcula: sen ( - 5º) ( - 60º) cosec (80º - 0º) d) cos (80º - 5º) e) sen ( + /) f) sec ( + /6) g) cos (80º + 0º) h) co (80º + 60º) i) sen (-60º) j) (-0º) k) sec (-60º) l) co (-5º) m) ( - n) sen ( - o) cos ( + p) cos (90º - ) q) (90º + ) r) cosec (/ - ) s) co (/ + ) t) sen (90º - 6. Si a / rad, calcula: sen (/ + cos ( + (/ + 6. Calcula: 65. Si 66. Si sen 50º cos 5º co 5º d) cosec 0º e) (-5º) f) co 0º, calcula: g) cos (-60º) h) sec 0º i) 50º j) sec 50º k) 0º l) cos 5º m) sen 5º n) 0º o) cosec 00º p) co 0º q) sen 90º r) cos 70º s) sec 0º t) co 80º u) cos 90º v) sec 60º w) 650º x) co 880º ( - ) (- ) ( + ) d) co (/ + ) sec, calcula: sec ( - ) sec (80º + ) sec (-) d) cos (80º - ) 67. Si sen, calcula: (/ - ) cos ( + ) sen (-) d) cosec (/ + ) e) cos f) co 68. Simplifica las siguientes expresiones: sec x + tg x sec x cos ec x x cos cos sen sen d) e) ( sen x + cos x ) + ( sen x cos ( + cos x ) ( cos x ) cot g ( + sen x ) ( sen x ) f) cos x tg x cos x cos x g) cos + sec cos x x ) h) i) j) sen x cos x cos x tg x + + sen x ( cos x )( + cos x ) senx pg 5 de 6

6 69. Reduce al primer cuadrante y simplifica: sen a ( + a ) cos a a cos ( a ) cot ag ( a ) sen ( + a ) ( a ) e) ( + a ) cos ( a ) cos ( a ) ( a ) cot ag a ( + a ) d) cot ag ( + ) ( ) ag ( ) cot f) cos ( a ) cos ( a ) + sen ( a ) sen ( a ) g) sen ( 90 ) cot ag( 90 ) cos( 80 ) ( 80 + ) 70. Demuestra que se cumplen las siguientes identidades: + tg sec + cos ec sec cos ec g) sen + cos sec sen cos tg sen cos tg tg h) sen + tg sen ( sec - ) sen + sen i) + cos cos ec cot ag sen + cotg d) + sen tg cotg ( + cos) ( cos) j) sec cos cos e) tg + cotg sen cos k) cos + tg f) ( sen + cos) + ( sen cos) l) sen sen cos cos 7. Calcula el valor de 7. Calcula el valor de sen sen tg cot g para 90º. para 5º. 7. Calcula el valor de sen para 90º. sen 7. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: sen 5sen + 0 cos cos + 0 cos d) 8sen + 6 cos 9 e) sen (cos + ) 0 f) cos ( tg ) 0 g) tg + 0 h) cos sen pg 6 de 6