MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # 25

Transcripción

1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # 5 La Trigonometría es el estudio de la relación entre las medidas de los lados y los ángulos del triángulo. Ángulos En este capítulo usaremos la de nición y las propiedades de los ángulos estudiadas en el capítulo. Un ángulo es la unión de dos rayos, llamados lados del ángulo, que tienen un extremo común llamado vértice. Cualquier ángulo es congruente con algún ángulo ubicado en el plano xy, cuyo vértice está en el origen y tiene un lado, denominado lado inicial, coincidiendo con la dirección positiva del eje x; el otro lado del ángulo se llama lado terminal. De este último ángulo se dice que está en posición estándar. En el ángulo ]AOB de la gura, el lado OA es el lado inicial y el lado OB es el lado terminal. ]AOB puede generarse al rotar el lado OA alrededor de O hasta el lado OB. El ángulo Decimos que un ángulo en posición estándar es positivo si la rotación del lado inicial se hace en sentido contrario a las manecillas del reloj, en caso contrario es negativo. Medida de Ángulos Los ángulos se miden en grados o en radianes. Si dividimos una circunferencia en 0 partes iguales, y trazamos los rayos desde cada división al centro, se forman 0 ángulos congruentes. Decimos que cada uno de esos ángulos mide 1 grado, denotado 1 : 1 es la medida del ángulo equivalente a 1 de una vuelta completa. 0 0 = 1 vuelta completa. Si se divide la longitud L de una circunferencia por su diámetro, el resultado es la constante, es decir, L d = L = ; por ello L = r: r 1

2 Un radián, denotado 1 rad; es la medida del ángulo formado por dos rayos que se intersectan en el centro de una circunferencia de radio r, de tal forma que el arco sobre la circunferencia que se encuentra entre los dos rayos tiene longitud r: Podemos expresar la medida de un ángulo en radianes o en grados. A partir de la equivalencia rad () 0 encontramos que: 1rad () 180 : 1 () 180 rad: 1. Encontrar la medida en radianes de un ángulo que mide : () 180 rad = 5 rad:. Cuál es la medida en grados de un ángulo que mide rad: Ángulos Coterminales rad = 180 = 540 : Dos ángulos en posición estándar son coterminales si sus lados terminales coinciden. Si es un ángulo en posición estándar, y + 0 n, con n Z, son ángulos coterminales.

3 a) Encontrar ángulos coterminales con el ángulo = 45 o ; ubicado en posición estándar. b) Encontrar ángulos coterminales con el ángulo = en posición estándar. a) Para hallar ángulos coterminales con, sumamos múltiplos positivos o negativos de 0 o, así: 45 o + 0 o = 405 o ; 45 o + 70 o = 75 o ; 45 o 0 o = 15 o ; :::; son ángulos coterminales con = 45 o. Grá camente, tenemos: b) De manera análoga para hallar ángulos coterminales con =, sumamos múltiplos positivos y negativos de de tal forma que, son ángulos coterminales con 11 + = ; = ;. 4 = 5 ; Encontrar un ángulo tal que 0 o 0 o ; que sea coterminal con el ángulo de medida 1:15 o. Para hallar el ángulo restamos 0 o de 1:15 o tantas veces como sea necesario o, equivalentemente, dividimos 1:15 o entre 0 o y el residuo será el ángulo buscado. Así, Luego, = 45 o. 1:15 0 =

4 Funciones Trigonométricas de Ángulos De nición: Sea un ángulo en posición estándar y sea P = (x; y) un punto sobre el lado terminal de, distinto al origen. Si r = p x + y es la distancia del origen al punto P; de nimos las funciones trigonométricas de así: sen = y r ; cos = x r ; tan = y x (x = 0); cot = x y (y = 0); sec = r x (x = 0); csc = r y (y = 0): Es importante anotar que las funciones trigonométricas de un ángulo no dependen de la elección del punto P = (x; y) : Si P 0 = (x 0 ; y 0 ) es cualquier otro punto sobre el lado terminal del ángulo, como los triángulos 4P OQ y 4P 0 OQ 0 son semejantes ( por qué?), sus lados correspondientes son proporcionales. Si r 0 = d (0; P 0 ), entonces, y0 r 0 = y x0 = sen ; r r 0 = x r = cos ; y0 x 0 = y x = tan : En forma similar se muestra el resultado para las tres funciones restantes. Observación Sea un ángulo agudo en posición estándar y sea P = (x; y) un punto sobre el lado terminal de : 4

5 El 4OQP es rectángulo en Q, la hipotenusa es el segmento OP = p x + y y los catetos son los segmentos OQ llamado cateto adyacente a ;y QP llamado cateto opuesto a ; de longitudes x e y respectivamente. Con base en este triángulo y en la de nición de las funciones trigonométricas de ángulos tenemos: sen = y r cateto opuesto = hipotenusa ; cos = x r cateto adyacente = ; hipotenusa y x ; tan = y x = cateto opuesto cateto adyacente cot = x y = cateto adyacente cateto opuesto ; sec = r x = hipotenusa cateto adyacente ; csc = r y = hipotenusa cateto opuesto : Y de esta forma podemos calcular las funciones trigonométricas de cualquier ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Hallemos las funciones trigonométricas de los ángulos = 45 ó 4 ; = 0 ó y = 0 ó : Para = 45 ó 4 : Dibujamos un cuadrado de lado 1 y trazamos una diagonal cuya longitud, usando el Teorema de Pitágoras, es p. Los ángulos agudos de cada uno de los triángulos que se forman son de 45 : Entonces, las funciones trigonométricas de = 45 o ó 4 son: sen (45 o ) = Para = 0 ó : p = cos (45o ) ; tan (45 o ) = 1 = cot (45 o ) ; sec (45 o ) = p = csc (45 o ) : Dibujamos un triángulo equilátero 4OP Q de lado y trazamos la altura relativa a uno de sus lados. Como la altura es también mediana, la longitud de P R es 1 y usando el Teorema de Pitágoras encontramos que la longitud de la altura es p. Como cada uno de los ángulos interiores del triángulo mide 0 ( por qué?), con base en la información anterior, calculamos las funciones trigonométricas de = 0 o ó : p sen (0 o ) = ; cos (0o ) = 1 ; tan (0o ) = p p ; cot (0 o ) = ; sec (0o ) = ; csc (0 o ) = p : 5

6 Usando el mismo triángulo y el hecho de que la altura es también bisectriz, calculamos las funciones trigonométricas de = 0 o ó : sen (0 o ) = 1 ; cos (0o ) = p p ; tan (0o ) = ; cot (0o ) = p ; sec (0 o ) = p ; csc (0o ) = : Estos resultados se usan con mucha frecuencia y se encuentran fácilmente si se trabaja con los triángulos aquí descritos. Las funciones trigonométricas de ángulos mayores de 90, se hallan con base en las de los ángulos agudos. Ángulo de Referencia El ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar, es el ángulo agudo formado por el lado terminal de y el eje x. = = = = Encontrar el ángulo de referencia de los siguientes ángulos: i) 780 o ii) 5 : i) Los ángulos 780 o y 0 o son coterminales ya que 780 o (0 o ) = 0 o. Luego, = 0 o porque el lado terminal de 780 o está en el cuadrante I.

7 ii) El ángulo de referencia es el ángulo agudo formado por el lado terminal de 5 = =. 5 y el eje x. Así, Puede probarse que los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición estándar son las mismas que las de su ángulo de referencia salvo por el signo. Para hallar los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, se procede así: 1. Se encuentra.. Se determina el signo de cada una de las funciones trigonométricas de, teniendo en cuenta el cuadrante en el cual se ubica.. Se halla el valor de las funciones trigonométricas de, que es el mismo para, excepto por el signo. Encontrar los siguientes valores: i) cos 7 ii) csc 5 4 iii) cot 4 i) Si = 7 ; = ya que 7 = y como es un ángulo del cuadrante I, cos > 0; luego cos 7 = cos = 1 : 7

8 ii) Si = 5 4, entonces = 4. Además, en el cuadrante III, csc es negativa. Luego, csc 5 4 = csc 4 = p : iii) En este caso, = 4 y, en el cuadrante IV, cot es negativa. Luego, cot = cot 4 4 = 1: Aplicación - Área de un triángulo Sabemos que el área de un triángulo es A = 1 (base altura) : Consideremos los siguientes triángulos (a) (b) Supongamos que, en cada caso, conocemos a, b y. Luego, para hallar el área, necesitamos la altura h. En (a), es claro que sen = h b =) h = b sen. Luego, A = 1 ab sen : En (b), tenemos sen (180 o ) = h b y, como éste es el ángulo de referencia de, entonces, sen = sen (180 o ). Luego, h = b sen y, así, A = 1 ab sen. 8

9 Luego, si a y b son las longitudes de dos lados de un triángulo y es el ángulo entre ellos entonces el área A del triángulo es A = 1 ab sen : Un triángulo isósceles tiene un área de 4 cm y el ángulo entre los dos lados congruentes es 5. la longitud de los cada uno de los dos lados congruentes? Cuál es Como A = 1 aa sen 5 = 4 cm, entonces a = 9 cm ; esto es, a = p 9 = 9:7980 cm: Luego, cada uno de los lados congruentes mide aproximadamente 9:8 cm. Ejercicio: Resolver el ejemplo anterior sin usar la nueva forma de calcular áreas. Funciones Trigonométricas de Ángulos Negativos Si es un ángulo en posición estándar y P = (x; y) es un punto sobre el lado terminal de ; entonces el punto P= (x; y) está sobre el lado terminal de : Así: sen( ) = y r = y r = sen(); csc( ) = r y = r = csc( ) y cos( ) = x r = cos(); sec( ) = r x = sec() tan( ) = y x = y x = tan(); cot( ) = x y = x y = cot(): Luego las funciones sen, tan, csc, y cot son funciones impares y cos y sec son funciones pares. 9