XI Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

Transcripción

1 9 de noviembre de 0 PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (45 minutos). ntonio escribe en la pizarra un número N de cinco cifras. Marta copia el número de ntonio y le añade un a la derecha y obtiene un número de seis cifras. Elena toma también el número de ntonio y le añade un a la izquierda, obteniendo otro número de seis cifras. Si resulta que el número que escribió Marta es el triple del que escribió Elena, cuál era el número N que escribió ntonio? omo abcde = abcde. Operando se va deduciendo que e =, d = 5, c = 8, b =, a = 4. El número buscado es N = 485. También se puede plantear así: ( a + 000b + 00c + 0d + e) = a b + 000c + 00d + 0e + ) = 0 000a + 000b + 00c + 0d + e Simplificando por se obtiene: 4 85 = 0 000a + 000b + 00c + 0d + e = [abcde] el número buscado.. Encuentra todos los números enteros positivos a, menores que 5, tales que a ( a ) ( a ) sea múltiplo de 84. omo 84 =. De los tres números consecutivos que buscamos, uno ha de ser múltiplo de. 6,, 8;, 8, 9;,, 4; 4, 5, 6; 9, 0, ; 0,, ; Los números a buscados son: 6,,, 4, 9 y 0.. Los cinco círculos de la figura tienen el mismo radio y se tocan como puedes observar. Los vértices del cuadrado son los centros de los cuatro círculos exteriores. uál es el cociente entre el área de la zona sombreada y el área de la zona no sombreada ocupada por los cinco círculos? Hay 8 cuartos de círculo sombreados y no sombreados de los 0 que hay en total. Por lo que el cociente es 8/ = /.

2 9 de noviembre de 0 PRUE POR EQUIPOS º y 4º de E.S.O. (45 minutos). En el triángulo de la figura, M es el punto medio del lado, N es bisectriz del ángulo  y N es perpendicular a N. Si los lados y miden 4 y 9, respectivamente, calcula la longitud de NM. Trazamos el segmento NP y obtenemos un triángulo isósceles P y otro triángulo P del que MN es la paralela media. omo P = 9 4 = 5 = MN se obtiene MN = 5/. M 4 N x y. Si y 4 x 4 y 8, calcula el par (x, y). 6 x 6 y = 4 x 4 y = (4 x 4 y ) (4 x + 4 y ) 9 = 8 (4 x + 4 y ) (4 x + 4 y ) = 4 4 x = x =, y = /. En el dibujo de la figura hay cinco circunferencias: pequeñas iguales, medianas también iguales y una grande. Las dos medianas son tangentes entre sí, las dos pequeñas son tangentes a las medianas y la grande es tangente a las otras cuatro. alcula el cociente entre el radio de las pequeñas y el radio de la grande. Si llamamos x, y, z a los radios de las circunferencias (de menor a mayor), se obtiene: (y + x) = y + (z x) xy = z xz. Pero z = y, lo que nos lleva a: xz = z xz z = x x/z = / o z/x =. P 9

3 9 de noviembre de 0 PRUE POR EQUIPOS achillerato. (45 minutos). alcula la siguiente suma de 0 sumandos en los que únicamente se utiliza la cifra. ada sumando tiene una cifra más que el anterior = (/9)( ) = (/9)( ) = = (/9)( 09099) = = ompleta este cuadro colocando en cada cuadrícula el dígito adecuado. (Todas las respuestas son números de cifras, por lo que no pueden empezar por cero) Horizontales:. Múltiplo de 8.. Factorial de cierto número.. Producto de primos consecutivos. Verticales:. Múltiplo de.. Potencia de. ( n en donde n es un entero positivo).. Múltiplo de.. El triángulo rectángulo, de hipotenusa, está inscrito en el triángulo equilátero PQR, como se muestra en la figura. Si P =, P = Q =, calcula Q. R En el triángulo P por el teorema del coseno: = + cos60º = = =. cos omo α y β son complementarios, cos α = sen β = En el triángulo Q: sen ˆ sen80º 60º sen 80º 60º 5 sen cos60º cos sen60º P Q sen plicando el teorema de los senos: Q senˆ sen senˆ α β Q

4 9 de noviembre de 0 PRUE INDIVIDUL º y º de E.S.O. (90 minutos). En mi colegio hay un/a estudiante que se llama Yik. Deduce, de las siguientes pistas, si Yik es un chico o una chica. Si Yik es un chico entonces es más joven que Joaquín. Si Yik tiene años entonces es una chica. Si Yik no tiene años entonces tiene más o el mismo número de años que Joaquín. Es Yik un chico o una chica? Justifícalo. Es una chica, porque si fuera un chico no puede tener años (porque sería chica) y en este caso se contradicen la primera y la tercera premisas.. En el dibujo de la figura determina la medida de los ángulos x e y. 45º X = 45º + 6º = º Y = 80º - 45º = 5º y 45º x 6º. Encuentra todos los números de cuatro cifras de la forma aabb, (las dos primeas cifras iguales y las dos últimas también) que sean cuadrado perfecto. Si consideras que no hay ninguno debes justificar por qué. omo [aabb = a (00) + b = (00a + b) = [a0b]. El número [a0b] tiene que ser múltiplo de, por lo que a + b = y además [a0b] = k. Las posibilidades son: 09 = 9, 08 = 8, 40 =, 506 = 46, 605 = 55, 04 = 64, 80 = y 90 = 8. La única válida es 04 = 64 y por lo tanto la única solución es 04 = 44 = En un polígono cualquiera, llamamos ángulo exterior del polígono al determinado por un lado y la prolongación de otro lado adyacente, es decir, al suplementario del interior correspondiente. Por ejemplo, en la figura el ángulo x es exterior, pues es suplementario del ángulo interior y. uánto suman los ángulos exteriores de un polígono de 0 lados? La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 60º porque si los trasladamos haciendo coincidir sus vértices, se completa una circunferencia. En los polígonos cóncavos hay ángulos exteriores negativos, que son suplementarios de los ángulos interiores mayores que 80º. y x 5. Entre los 5000 primeros números enteros positivos, cuántos son divisibles por,, 5 y a la vez? El mcm de,, 5 y es 0. Todos los múltiplos de 0 menores o iguales que 5000 lo serán también de,, 5 y a la vez. omo 5000 = 0 + 0, sólo hay números que lo cumplen.

5 PRUE INDIVIDUL º y 4º de E.S.O. (90 minutos) 9 de noviembre de 0. N es un entero positivo que verifica N 000 es un cuadrado perfecto. Halla todos los posibles valores de N. N 000 = k N k = 000 (N + k)(n k) = 4 5. omo (N + k) y (N k) son de la misma paridad, han de ser los dos pares para que su producto sea par. Si (N k) =, (N + k) = 000 N = 50 y k = 499. Si (N k) =, (N + k) = 500 N = 5 y k = 48. Si (N k) =, (N + k) = 50 N = 9 y k =. Si (N k) = 5, (N + k) = 00 N = 05 y k = 95. Si (N k) = 5, (N + k) = 00 N = 60 y k = 40. Si (N k) = 5, (N + k) = 50 N = 45 y k = 5. Y ya no existen más posibilidades, puesto que (N + k) es mayor que (N k). Luego todos los valores posibles de N son: 45, 60, 05, 9, 5 y 50. En la figura se observa un hexágono regular y un cuadrado cuya diagonal coincide con la diagonal mayor del hexágono. Qué fracción del área del hexágono no tapa el cuadrado? Si x es el lado del hexágono, la diagonal del cuadrado es x. El área del hexágono es S 6 x 4 x El área del cuadrado es S x La apotema del hexágono es a x La altura de los triángulos isósceles y rectángulos que sobresalen del hexágono es h = x a = x El área de los dos triangulitos, que forman un cuadrado, es S 4 El área tapada es S S x S ( S S ) 4 La fracción pedida es S 9 x ( ) x 4 4. uál es el menor entero positivo que puede expresarse como suma de 9, de 0 y de enteros consecutivos? (x 4) + (x ) + (x ) + (x ) + x + (x + ) +(x + ) +(x + ) +(x + 4) = 9x = k (z 4,5) + (z,5) + (z,5) + (z,5) + (z 0,5) + (z + 0,5) + (z +,5) + (z +,5) +(z +,5) +(z + 4,5)= = 0z = k. En donde z = t / 5t = k (y 5) + (y 4) + (y ) + (y ) + (y ) + y + (y + ) +(y + ) +(y + ) +(y + 4) +(y + 5) = y = k omo x, t, y, k son números enteros, k ha de ser múltiplo de 5, 9, y y el menor de ellos es su mínimo común múltiplo, es decir, = = = Un triángulo equilátero y un círculo tienen el mismo centro. Si el área de la parte del triángulo que cae fuera del círculo es igual que el área de la parte del círculo que cae fuera del triángulo, calcula el cociente entre el lado del triángulo y el radio del círculo. omo la parte común es la misma y el área de las partes no comunes también es la misma, el círculo y el triángulo han de tener la misma área. l 4 l r l. 4 r 4 r 5. es el menor entero positivo tal que 0 es un cuadrado perfecto y 6 es un cubo perfecto. uántos divisores (positivos) tiene? omo 5 = x y = y, En la descomposición de 0 y 6 todos los factores primos han de tener exponentes múltiplos de y de, respectivamente. Luego = 5 5 = sí 0 = = 600 y 6 = 6000 = 60..

6 PRUE INDIVIDUL achillerato (90 minutos) 9 de noviembre de 0. Hay algún triángulo rectángulo cuyos lados estén en progresión aritmética que no sea semejante al de lados, 4 y 5? Justifica la respuesta. Sean x d, x, x + d los lados del triángulo rectángulo, entonces (x d) + x = (x + d) 4d = x. Los lados han de ser (/4)x, x, (5/4)x que son proporcionales a, 4 y 5.. El número N = es divisible por un entero comprendido entre 000 y 000. De qué entero se trata? omo (x 9 y 9 ) = (x y) (x 8 + x y + x 6 y + x 5 y + +xy + y 8 ) podemos descomponer N así: N = (85 ) ( ) + 6 = 64 ( ) Por lo tanto 64 es un divisor de N es múltiplo de 5. 9 acaba en. 6 9 acaba en 6, por lo tanto es múltiplo de 5. La diferencia de dos múltiplos de 5 es, evidentemente, un múltiplo de 5. Por lo tanto N es múltiplo de 5. Por otra parte 9 es múltiplo de = (84 + ) 9 = = k + ya que 84 es múltiplo de. 6 9 = ( ) 9 = = h por lo tanto = k + + h = (k h). omo consecuencia N es múltiplo de. También se puede proceder como en el primer caso. N = (85 + 6) ( ) = ( ) que es un múltiplo de. Puesto que 64, 5 y son primos entre sí, resulta que N es múltiplo de 64 5 = 40, que es el divisor de N buscado.. Javier y su nieto celebran su cumpleaños el mismo día. Durante 6 años consecutivos la edad que cumple Javier es múltiplo de la edad que cumple su nieto. uántos años le lleva Javier a su nieto? uscamos 6 números consecutivos compuestos (no primos) o 5 números consecutivos de manera que el cuarto sea múltiplo de 5 y el anterior múltiplo de 4. Encontramos 90, 9, 9, 9, 94, 95, 96, pero que no cumplen las condiciones exigidas. Los números 6, 6, 6, 64, 65 y 66 cumplen las condiciones de ser múltiplos de,,, 4, 5 y 6, respectivamente. La diferencia de edad es 60 años. 4. En el triángulo el ángulo Ĉ es de 40º y la altura H mide lo mismo que la mediana M. alcula la medida del ángulo M ˆ. H En el triángulo rectángulo H: senˆ H M senˆ M M M M senˆ En el triángulo M: M senˆ senm ˆ senm ˆ omo H = M se obtiene ˆ ˆ M sen ˆ M sen senm ˆ M 0º senm ˆ Y el ángulo pedido es: 80º (40º + 0º) = 0º. M H 5. Una circunferencia de radio 0 tiene su centro en el vértice de un triángulo rectángulo isósceles correspondiente al ángulo recto. La circunferencia corta a la hipotenusa en dos puntos determinando tres segmentos de igual longitud. uál es el área del triángulo? Llamaremos x = x 0x En el triángulo rectángulo O: 0 x 00 x 90 9 O El área del triángulo es x x x 90

7 9 de noviembre de 0 º y º de ESO.- PRUE POR RELEVOS (60 minutos).- uál es el resto de la división del número 0 0 entre 5? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato) omo 0 0 acaba en, el resto es..- Sea "T" la respuesta del problema T Para cuántos enteros positivos n se verifica que n y n son enteros de cuatro cifras? T (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato) T T =.. T son números de 4 cifras. 000 n n 000 n tendremos:. Hay que buscar los valores de n para los que n. omo n ha de ser múltiplo de para que n y n sea entero,.- Sea "T" la respuesta del problema. En el triángulo rectángulo de hipotenusa T cm y catetos de longitud entera, en cm, está inscrito un cuadrado, como se muestra en la figura. uál es, en cm, el área de este cuadrado? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) T = 5. Los catetos han de ser y 4, ya que son enteros. Por semejanza de triángulos se obtiene: l l 44 l l El área del cuadrado S l 4 49

8 9 de noviembre de 0 º y 4º de ESO.-..- Sea "T" la respuesta del problema. PRUE POR RELEVOS (60 minutos) La respuesta T es de la forma a b. En la circunferencia de centro O se ha inscrito un hexágono regular. M es un punto de la cuerda tal que MO ˆ 60º y MO = a + b. alcula la longitud de D. (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) T =. MO = + = 5 omo O M ˆ 0º y O M ˆ 60º, el triángulo OM es rectángulo y por lo tanto O = OM tg60º = 5 = D ya que en el hexágono regular el radio es igual al lado..- uál es el valor del entero positivo n que verifica 888 (n)? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) 888 = 8 = = ( ) = (n). De aquí se concluye que n =.- Sea "T" la respuesta del problema. La media de los números x,, 4x, x + 4, -6, 9, x 4 es T 5. uál es la mediana de estos siete números? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) 5 5 T = y 4 4 T La media de esos números es: (x ) : = 4 x = 5. Los números dados, una vez ordenados, son: -6,,, 5, 9, 9, siendo la mediana el 5. D E O M F

9 9 de noviembre de 0 achillerato.- PRUE POR RELEVOS (60 minutos).- Sea "T" la respuesta del problema. Las dos circunferencias de la figura son tangentes entre sí y también tangentes al cuadrado de lado T. Halla el radio de la circunferencia pequeña. (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- 4º de ESO) T =. ( r) + ( r) = ( + r) 0 = r 6r + r. La solución válida es r ya que tiene que ser menor que..- Sea "T" la respuesta del problema. Sea n la suma de las cifras de T. En una progresión aritmética de números reales la suma de los dos primeros términos es y la suma de los seis primeros es 9. alcula la suma de los n primeros términos de la progresión. (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) T =, por lo que n = 4. x + (x + d) = x + d =. x + (x + d) + (x +d) + (x +d) + (x +4d) + (x +5d) = 9 6x + 5d = 9. 5 Resolviendo el sistema se obtiene x, d. 6 5 La suma de los 4 primeros términos de la progresión es 4x + 6d = La expresión log a b log a log b c c 0 5 x log0 5 log0 x suele ser una barbaridad pero hay un número x para el que log. alcula ese número x. (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- 4º de ESO) La respuesta es: 5 log0 5 x log0 5 log0 x log0 5x 5 x 5x x 4 c