3Soluciones a los ejercicios y problemas

Transcripción

1 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 0 Pág. P RACTICA Números reales a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: ; ;, ) 9 7;,; ; ; π b) Alguno de ellos es entero? c) Ordénalos de menor a mayor. a) Racionales: ; ;, ) 9 7;, π Irracionales: ; ; b) El único entero es 9 (= 7). π c) < < <, < < <, ) 9 7 Di cuáles de los siguientes números son irracionales: ;,7 ) + ; ; π; 9; ;,7 Son irracionales +, π y. Indica cuáles de los siguientes números pueden expresarse como cociente de dos números enteros y cuáles no:,; 7 ;, ; ; + ; 0, ; ) π Los números que pueden expresarse como cociente de dos números enteros son los racionales, y los que no, irracionales: Racionales:,; ; 0, ) Irracionales: 7 ;, ; + ; π Clasifica estos números como naturales, enteros, racionales y/o reales: 7 7, π 0 9, +,000

2 Soluciones a los ejercicios y problemas N ; 0; ; ; Z ; 0; ; ; ; ; ; ; Pág. Q ; 0; ; ; ; ; ; ; ; ; 7,; ; ;, 9 Á ; 0; ; ; ; ; ; ; ; ; 7,; ; ;,; 9 ; π; + ;,000 Representa en la recta real los siguientes números: a) ;,7; 7 ;, de forma exacta. b) π =,, de forma aproximada. a) 7 = ,7 b),, a) Escribe un número racional comprendido entre y. b)halla con la calculadora y escribe dos números, uno mayor y otro menor que, que se diferencien con él en una diezmilésima. π, a) Por ejemplo, ( + ) : = : = =0,) b) =,0797 Una diezmilésima es 0,000. Un número menor que que se diferencie con él en una diezmilésima será: 0,000 =,9797 Un número mayor que que se diferencie con él en una diezmilésima será: + 0,000 =,797

3 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Calcula el valor de la diagonal de un cuadrado de lado e indica el tipo de número obtenido. d Calculamos el valor de la diagonal d, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo: d = + d = d = Pág. La diagonal de un cuadrado de lado mide y es un número irracional. Intervalos y semirrectas Considera los números siguientes: ; ;,; ;,9; ;, a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [, ). b) Y cuáles pertenecen al intervalo [, ]? c) Y cuáles al (, +@)? a) Al intervalo [, ) pertenecen el ;,; ;,9. b) En el intervalo [, ] están el ;,; ;,9;. c) En el intervalo (, +@) se encuentran los números,; ;,9; ;,. 9 Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso: a) 0 < x < b) x Ì c) x > 0 d) Ì x e) x > f ) Ì x < a) (0, ) b) ] c) (0, +@) d) [, ] e) (, +@) f) [, )

4 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos: a) (;,) b) [, ] c) [ 7, 0) d) [, +@) e) (, +@) f ) (, ] Pág. a) {x / < x <,} b) {x / Ì x Ì } c) {x / 7 Ì x < 0} d) {x / Ì x} e) {x / x > } f) {x / < x Ì } 0 0 0, Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados: a) b) c) d) 7 INTERVALO DESIGUALDAD a) [, ) {x / Ì x < } b) [, +@) {x / x Ó } c) [, 7] {x / Ì x Ì 7} 7 d) ) {x / x < } Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso: a) Menores o iguales que. b) Comprendidos entre y 0, incluyendo el 0, pero no el. c) Mayores que, pero menores que. d) Mayores que. a) ] b) (, 0] c) (, ) d) (, +@) 0

5 Soluciones a los ejercicios y problemas Representa en una misma recta las semirrectas A = ] y B = [, +@). Cuáles son los números que pertenecen a A y a B? Exprésalo como un intervalo. Pág. 0 A Los números que pertenecen a A y a B son los comprendidos entre y, ambos incluidos; es decir [, ]. Representa los intervalos A = (, ] y B = [, ) y di si tienen puntos en común. Si es un intervalo, di cuál es. B A = (,] B = [,) Los puntos comunes a A y B están entre y (, ) Indica dos intervalos que tengan en común los puntos del intervalo [, ]. Por ejemplo: A = ] y B = [, ) PÁGINA Potencias y raíces Expresa en forma exponencial. a) b) a c) a d) x e) f ) a g) a h) a a) / b) a / c) a / d) x / e) a / f) a / = a / g) a / h) / 7 Expresa en forma de raíz. a) / b) / c) a / d) a / e) x / f ) a / g) x / h) x / a) = 9 b) = c) a d) a e) x f) a g) x h) x

6 Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula. a) / b) 7 / c) / d) / e) 9 / f) / g) 9 / h) / Pág. a) / = ( ) / = / = b) 7 / = ( ) / = / = c) / = ( ) / = / = = d) / = ( ) / = = 7 e) 9 / = ( ) / = / = = f) / = ( ) / = / = = g) 9 / = (7 ) / = 7 / = 7 = h) / = ( ) / = / = = 9 Di el valor de k en cada caso: k a) = b) k = k c) k = d) = k 9 e) = f) = 7 k k a) = k = b) k = ( ) k = c) k = ( ) k = k d) ( ) = k = e) k = ( ) k = k 7 ( ) f) = 7 k = 0 Calcula las siguientes raíces: 7 a) b) c) 0 d) e) f ) g) 7 h) i) a) = = b) = = c) 0 = 0 d) = e) = f) no existe g) 7 = () = h) = = i) = = 7

7 Soluciones a los ejercicios y problemas Obtén con la calculadora. a) 9 b) 7 c) d) 7, e) 0 f ) 0,0 Pág. 7 a) 9 = 9 /, b) 7,7 c) = / 7, d) 7,,9 e) 0,9 f) 0,0 0, Halla con la calculadora. a) / b) / c) 0,0 / d)0, / e) / f), / a) /,7 b) /, c) 0,0 / 0,07 d) 0, / 0,7 e) / 9, f), /, Radicales Simplifica. a) 9 b) c) d) 9 e) f) a) 9 = = / = / = b) = = c) = / = / = = d) 9 = 7 = 7 / = 7 / = 7 e) = = / = / = f) = / = = 7 Simplifica los siguientes radicales: a) 0 a b) c) a d) a b e) a b f) a b a) 0 = a /0 = a / a = a a b) = a / = a c) = a / = a / a = a d) = = (ab) / = (ab) / a b (ab ) = ab a e) a b = (ab ) = (ab) / = (ab) = a b f) a b = (a b ) / = a / b / = a / b / = ab

8 Soluciones a los ejercicios y problemas Multiplica y simplifica el resultado. a) b) a a c) 0 d) a a Pág. a) = = = b) a a = a a = a = a c) 0 = 0 = 00 = 0 d) a a = a a = a = a Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales: a) b) c) d) e) 00 f) 00 a) = = b) = 7 = 7 c) 0 = = d) = = e) 00 = = = 0 f) 00 = = 0 7 Reduce a un solo radical. a) b) c) d) e) f) a) = b) = c) = d) = e) = f) = 0 Calcula y simplifica en cada caso: a)( ) 0 b) ( ) c) ( ) d) e) ( ) 0 f) ( ) a) ( ) 0 = = = b) ( ) = = c) ( ) = = = d) = e) ( ) 0 = = f) ( ) = =

9 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Resuelto en el libro de texto. Pág. 9 0 Expresa como un solo radical. a) 0 b) + c) 7 d) a) 0 = = = = 0 b) + = + = + = 0 + = c) 7 = 7 7 = 7 7 = 7 7 = 7 d) = = = Efectúa. a) b) c) + 0 d) + a) = + 7 = = + 7 = + = = ( + ) = 7 b) = + = + = = ( + ) = c) + 0 = + = + = = + = d) + = + = + = = + = ( + ) = 0 Suprime el radical del denominador y simplifica. a) b) c) d) a) = = b) = = c) = = = = d) = =

10 Soluciones a los ejercicios y problemas Suprime el radical del denominador. a) b) c) d) a x Pág. 0 a) = = = a a b) = a = = a a a a a x x x c) = = = x x x x x d) = = = PÁGINA P IENSA Y RESUELVE Calcula el valor de la diagonal en cada caso e indica si es un número racional o irracional: a) b) c) = a) diagonal = + ( ) = + = diagonal = (n.º irracional) b) diagonal = + ( ) = + = diagonal = = (n.º racional) c) = diagonal = + = + = diagonal = (n.º irracional) Cuáles de las siguientes raíces no existen? 0; 0,; ; ; No existen las raíces de índice par y radicando negativo:, no existen. Resuelto en el libro de texto.

11 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Expresa como potencia única. a) ( / ) ( ) b) ( ) : ( / ) c) ( ) (9 / ) d)(7 / 7 ) ( 9) a) ( / ) ( ) = ( ) / / = / / = / + / = 7/ b) ( ) : ( / ) = ( ) : / = / : / = / / = / c) ( ) (9 / ) = ( / ) ( ) / = / / = / + / = 7/ 7 7 d) (7 / ) ( 9) = ( ) / = /7 = + /7 = /7 Pág. Expresa como potencia única. a) b) c) a a a d) e) f) a a a a) = / / = / + / = / b) = = / = + / = / c) a a = a a / = a / d) = = = / / = / / e) a = a / = a / = a / a a / f) a a = a / a / = a / + / = a / 9 Expresa en forma exponencial. a) ( ) a b) a a c) x d) ( a) e) ( a ) f) ( a) a) ( a ) = (a / ) = a / b) a a = a 7 = a 7/ c) = = x / x x d) ( a ) = (a / ) = a / e) ( a ) = (a / ) = a f) ( a ) = (a / ) = a /

12 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Indica si el número que se obtiene en cada caso es racional o irracional: a) La diagonal de un cuadrado de lado cm. b)el área de un círculo de radio cm. c) El cateto del triángulo rectángulo de lados cm y cm. d)la diagonal de un pentágono regular cuyo lado mide cm. Pág. a) La diagonal de un cuadrado de lado cm. Racional d d = ( ) + ( ) = + = d = = b) El área de un círculo de radio cm. Irracional Área = π r Área = π = (π), n.º irracional c) El cateto del triángulo rectángulo de lados cm y cm. Racional cm cm = + c = 7 + c c = 9 c = 7 d) La diagonal de un pentágono regular cuyo lado mide cm. Irracional F c La diagonal de un pentágono regular de lado es el número F = +, n.º irracional. Calcula la longitud del lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de cm de radio. El resultado obtenido, se puede poner en forma de fracción? x x La diagonal del cuadrado es r = = cm. Llamando x al lado del cuadrado y aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la figura, obtenemos: x + x = x = x = 7 x = 7 cm El resultado obrenido, 7 = = cm, es un número irracional; por tanto, no se puede poner en forma de fracción.

13 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. Halla el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide cm. Expresa los cálculos con radicales. h Llamamos h a la altura del triángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la figura: h + ( ) = ( ) h + = h = h = 9 9 h = = cm Área del triángulo A = base altura = = cm Demuestra, con ayuda de la calculadora, que + es distinto de +. + =,7 + = =,0797 +? + Averigua para qué valores de x se pueden calcular las siguientes raíces: a) x b) x c) x + d) x e) ( + x)( x) f) x ( x) a) x Puede efectuarse siempre que x valga o más [, +@) b) x La raíz se puede efectuar siempre que x valga o menos ] c) x + x + siempre es positivo (cualquier número elevado al cuadrado y sumado con otro número será mayor que 0). Luego la raíz se podrá efectuar si x está en +@) = Á. d) x Puede efectuarse siempre que x sea 0 o negativo 0] 0

14 Soluciones a los ejercicios y problemas e) ( + x)( x) La raíz cuadrada puede efectuarse cuando el radicando es 0 o positivo. Esto ocurrirá cuado uno de los dos factores es cero, ambos son positivos o ambos son negativos. Es decir, si x Ó o si x Ì : [, ] f) x ( x) La raíz cuadrada puede efectuarse cuando el radicando es cero o positivo. Esto ocurre cuando uno de los factores es cero, ambos son negativos o ambos positivos. Es decir, si x Ó 0 o si x Ì : [0, ] 0 Pág. Resuelto en el libro de texto. Simplifica los radicales que puedas e indica en cada caso cuál es mayor: a) 9 y b) y 7 c) y d) y 9 a) 9 y 9 = = / = / = > > 9 > b) y 7 c) y = = / = / = > 7 > 7 > 7 = = / = / = En este caso, ambas raíces coinciden. d) y 9 9 = = / = / = Como > > > 9

15 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Ordena de menor a mayor los siguientes radicales simplificándolos previamente: 9 Pág. Empezamos por simplificar los radicales que sean posibles: 9 = = / = / = = = / = / = 9 = = /9 = / = Ordenar los radicales dados, equivale a ordenar:,,, Todos tienen el mismo índice; por tanto, para ordenarlos, basta ordenar los radicandos: 9 < < < < < < < < < Comprueba que los números y son soluciones de la ecuación x = 0. Para comprobar que los números dados son soluciones de dicha ecuación, basta sustituir x, por cada uno de ellos en la ecuación: Si x = ( ) = = 0 Es solución. Si x = ( ) = = 0 Es solución.