NÚMEROS REALES. Página 27 REFLEXIONA Y RESUELVE. El paso de Z a Q. El paso de Q a Á

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1 NÚMEROS REALES Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de Z a Q Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números racionales, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d) x 0 e) x f) x + 7 Se pueden resolver en Z a), c), d) y f). Hay que recurrir a Q para resolver b) y e). El paso de Q a Á Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones: a) x 0 b) x 0 c) x x 0 d) x x + 0 e) 7x 7x 0 f) x + x 0 a) x 0 8 x ± b) x 0 8 x 8 x ± c) x ± + ± x 0 8 x d) x ± 8 ± 7 x x e) 7x 7x 0 8 x x 0 8 x 0, x f) x + x 0 8 x(x + ) 0 8 x 0, x Unidad. Números reales

2 Números irracionales p Demuestra que es irracional. Para ello, supón que no lo es:. Eleva q al cuadrado y llega a una contradicción. Supongamos que no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción: p 8 8 p q q p q En p, el factor está un número par de veces (es decir, en la descomposición de factores primos de p, el exponente de es par). Lo mismo ocurre con q. Por tanto, en q el exponente de es un número impar. De ser así, no se podría cumplir la igualdad. p Suponiendo que llegamos a una contradicción: q p q, pero p no puede ser igual a q. Por tanto, no puede ponerse en forma de fracción. No es racional. Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado. F F F 8 F(F ) 8 F F 0 F ± + F + (negativo) + Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F. Unidad. Números reales

3 UNIDAD Página 8. Sitúa los siguientes números en el diagrama: ; ; ;,; 7, ; ) ; ; 7 ; 8 Á Q Z N Á Q, 7, ) Z N Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla. NATURALES, N ENTEROS, Z RACIONALES, Q REALES, Á NO REALES Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla. NATURALES, N ; ENTEROS, Z ; ; ; 7 RACIONALES, Q ; ;,; 7, ; ) 7; REALES, Á ; ; ;,; 7, ; ) ; ; 7 NO REALES 8 Unidad. Números reales

4 Página. Representa los siguientes conjuntos: a) (, ) b) [, c) (, ] d) 0) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0. Representa los siguientes conjuntos: a) {x / Ì x < } b) [, ) «(, 7] c) 0) «(, +@) d) ) «(, a) c) b) d) 0 0 Página 0. Halla los siguientes valores absolutos: a) b) π c) d) 0 e) π f) g) h) i) 7 0 a) b) π c) d) 0 e) π π f) g) h) i) Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones: a) x b) x Ì c) x d) x Ì e) x > f ) x + > a) y b) Ì x Ì ; [, ] c) y d) Ì x Ì ; [, ] e) x < o x > ; ) «(, +@) f) x < o x > ; ) «(, +@) Unidad. Números reales

5 UNIDAD Página. Simplifica: a) x b) x 8 c) d) 8 e) f) y x a) b) x 8 x x c) y y 0 d) 8 8 e) f ) 8 8. Cuál es mayor, o? Reducimos a índice común: Por tanto, es mayor. 7 ; 8. Reduce a índice común: 8 a) a y a 7 b) y 0 8 a) a a ; a 7 a b) ; 0. Simplifica: k a) ( ) 8 b) c) 8 x 0 x x a) ( ) 8 k b) c) x k x 0 ( x ) Página. Reduce: 8 a) b) c) d) 8 a) 8 b) 8 c) d) 8 ( ) ( ) 7 Unidad. Números reales

6 . Simplifica: x a b a a b c a) b) c) d) x a b a a b c x a) b) a b x a b x x a b c) a d) a b c a a a a a b c b c c a b c 7. Reduce: a) b) c) d 7 a) b) 8 c) d) 8. Suma y simplifica: a) x + x + x b) + c) d) e) 0a 8a a) 0 x b) + 7 c) d) e) a a a a a Unidad. Números reales

7 UNIDAD Página. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) b) 7 7 c) d) a e) f) 0 8 g) h) 0 i) j) 00 a) b) 7 c) 7 d) a a a a a e) 0 0 f) 8 g) h) i) 0 j) Unidad. Números reales 7

8 0. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: x + y a) b) + x + y a x + y c) d) a x y + e) f) g) + + h) + + x y x + y a) ( + ) ( ) (x + y) ( x y ) (x + y) ( x y ) b) ( x + y ) ( x y ) x y x x x y + y x y y x y (a ) ( a + ) (a ) ( a + ) c) a + ( a ) ( a + ) (a ) ( x + y) ( x + y) d) ( x y ) ( x y ) x + y + xy x y + + e) ( ) ( + ) + 7 ( + ) f ) g) x + y + x y h) x y x x y Página. Halla: a) log b) log 0, c) log d) log 0 0, e) log f) log 7 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 j ) log ( ) 8 Unidad. Números reales

9 UNIDAD a) log log b) log 0, log c) log 0 d) log 0 0, log 0 0 e) log log f) log 7 log 7 7 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 log j) log log ( ). Halla la parte entera de: a) log 0 b) log 700 c) log d) log 0 0,08 e) log 0 f) ln e a) ; ; < 0 < < log 0 < 8 log 0, b) ; ; < 700 < < log 700 < 8 log 700, c) ; ; < 000 < < log < 8 log 0 000, d) 0 0,0 ; 0 0, ; 0,0 < 0,08 < 0, < log 0 0,08 < 8 log 0 0,08, e) ; 8 ; < 0 < 8 < log 0 < 8 log 0, f) ln e. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log 00 b) log 00 c) log d) log 00 0 En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación. a) log 00 0,; 0, log b) log log,;, 00 log 00 c),; 00, log 0 00 d) log 00 log 00 0,80; 00 0,80 0 Unidad. Números reales

10 . Sabiendo que log A,8 y log B,, calcula: A a) log b) log B A B a) log A B 0,8 [ log A log log B] [,8,] 0,7 A b) log log + log A log B +,8, +,7,8, B. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln y x ln ln y x ln 8 ln y ln e x ln e x ln y ln 8 y e x Página 8. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) La superficie de esta casa es de, m. b) Por la gripe se han perdido 7 millones de horas de trabajo. c) Juana gana 000 al año. a) Error absoluto < 0,0 m 0,0 Error relativo < < 0,000 0,0%, b) Error absoluto < 0, millones de horas horas 0, Error relativo < < 0,0,% 7 c) Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar la cantidad (es decir, que se trata de mil, redondeando a los miles de euros ), entonces: 0, E.A. < 0, miles de 00 E.R. < < 0,07,7% Si suponemos que es 000 exactamente: 0, E.A. < 0, E.R. < < 0, ,007% Unidad. Números reales

11 UNIDAD Página. Calcula en notación científica sin usar la calculadora: a) ( : 0,000) 0, 0 b) 0, a) ( : 0,000) 0, 0 ((8 0 ) : ( 0 )) 0 ( 0 ) b) 0, , , , 0 7, 0. Opera con la calculadora: a) (,87 0, 0 ) : (, 0 ) b) 8, , 0 0, 0 a) (,87 0, 0 ) : (, 0 ),8 0 b) 8, , 0 0, 0,7 0 0 Página LENGUAJE MATEMÁTICO. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso: N M» N N M N N M «N M M M M N U M N N M M M' (M «N) (M» N). Expresa simbólicamente estas relaciones: a) es un número natural. b) es un número entero. c) 0, es un número racional. Unidad. Números reales

12 d) π es un número real. e) Todos los enteros son racionales. f ) El intervalo [, ] está formado por números reales. a) é N b) é Z c) 0, é Q d) πéá e) Z å Q f) [, ] å Á. Designa simbólicamente estos conjuntos: a) Los números enteros mayores que y menores que 7 (utiliza Z y el intervalo abierto (, 7)). b) Los números irracionales (utiliza Á y Q). c) Los números racionales mayores que y menores o iguales que. d) Los números que son múltiplos de o de (el conjunto de los múltiplos de p se designa p ). a) {x é Z / x é (, 7)} b) Á Q c) {x é Q / < x Ì } d) {x / x o x }. Traduce: a) {x éz /x Ó } b) {x én /x > } c) {x én / < x Ì } d) {x éz / Ì x < 7} a) Números enteros mayores o iguales que. b) Números naturales mayores que. c) Números naturales mayores que y menores o iguales que. d) Números enteros mayores o iguales que y menores que 7.. Cuáles son los números que forman el conjunto (Á Q) [0, ]? Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, ). Unidad. Números reales

13 UNIDAD Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Números racionales e irracionales Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q y Á pertenecen: ; ) ; 0, ; 7; ; π; ; ; 7 N: ; 7 Z: ; 7; ) Q: ; 0, ; 7; ; ; ; 7 Á: Todos Escribe tres ejemplos de cada uno de los tipos de números que aparecen en este esquema: NÚMEROS: REALES RACIONALES IRRACIONALES ENTEROS FRACCIONARIOS NATURALES NEGATIVOS Reales: ; ; Racionales: ; ;,07 ) 7 7 Irracionales: ; ; Enteros: ; ; 8 Fraccionarios: ; ;, 8 ) Naturales: 8; 8; Negativos: ; 7; π Busca tres números racionales y uno irracional comprendidos entre y Racionales:,, Irracional: 0,707 Unidad. Números reales

14 Indica cuál, de cada par de números, es mayor: 0 ) ) a) y b) 0, y 0, c), 8 ) y d),08 y, a) b) 0, ) c), 8 ) d),08 Indica si cada uno de los siguientes números es racional o irracional: ) 7; 8 ; ; ; ; π ; ; 0, ) 7 Racionales: 7; ; ; ; 0, 7 Irracionales: 8; ; π Aproxima, por redondeo a las centésimas, los siguientes números: ; ; ; π; e; F 7,7 0,7 0,87 7 π,8 e,7 F, Potencias 7 Halla sin calculadora: ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias: a) b) 8 a b c 7 c) d) 0 a b c Mira el problema resuelto número. a) b) c) c d) 7 a c a c a b b b 80 7 Unidad. Números reales

15 UNIDAD Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: x a) a a b) c) x a 0 a x / x / a) a / a / a /0 b) x / x c) a / a 0 Resuelve, sin utilizar la calculadora: a) b) c) d) 0, e) 8 f) 0,00 a) b) 7 7 c) d) 0, e) f ) 0, 0, Expresa como una potencia de base : a) b) ( ) / c) ( ) a) / b) ( ) / c) /8 / 8 Calcula utilizando potencias de base, y : a) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( 0) c) ( 8) ( ) d) 0 0 a) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) ( ) 8 d) 00 8 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica: a a a) b) / a a a a) / a a 7/ a a / a 7 b) ( ) / ( ) / ( ) / / / Unidad. Números reales

16 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en las falsas: a b a b 7 a) b) ( ) ( ) 8 c) d) ( ) ( ) 80 a a) Falsa. b a b a b 7 b) Verdadera. ( ) ( ) ( ) c) Verdadera. (/ ) (/ ) (/ /) (/ + /) / / (/ /) 8 + ( ) 8 d) Verdadera. ( ) ( ) 80 Demuestra, utilizando potencias, que: a) (0,) / b) (0,) / 000 a) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / 00 b) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / 8 Radicales Introduce los factores dentro de cada raíz: x a) b) c) x 8 d) e) f) a) b) c) d) x x x e) f ) 8 Unidad. Números reales

17 UNIDAD Página 7 Saca de la raíz el factor que puedas: a) b) 8 c) 000 a d) 8a e) f) + b a a g) h) a + i) + a a) b) 8 c) 0 0 a d) a e) f ) a a a b b a g) h) (a a i) + ) + a a a 8 Simplifica: 8 a) 0,07 b) 0,00 c) + a) / / ( ) ( 7 ( ) ) b) /8 / ( ) ( ( ) ) c) / / ( ) ( ) Simplifica los siguientes radicales: a) b) 7 c) d) y e) f) : a) b) / / c) d) y y y y e) f ) 8 : : Unidad. Números reales 7

18 0 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: a),, b), c), 0 d) 7,, 00 a), 8, ; < b), ; < 0 c) 7 77, 0 000; < 0 0 d) 7 8,, ; < 00 < 7 Realiza la operación y simplifica, si es posible: 7 a) 7 b) c) 8 8 d) ( ) e) ( ) f) : a) b) 8 c) 8 d) ( ) e) ( ) f ) : : 8 Efectúa y simplifica, si es posible: a) b) a a c) d) : a ( ) 8 En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y, respectivamente. a) 08 b) a a a a c) ( ) ( ) d) : : 8 Unidad. Números reales

19 UNIDAD Expresa con una única raíz: a) b) c) ( ) : a) 8 a a a b) 7 8 c) 0 a a 0 a a a 0 0 a Racionaliza los denominadores y simplifica: a) b) c) d) e) + 8 a) b) ( ) c) ( ) ( ) d) e) Calcula y simplifica: a) b) + c) + d) ( + )( ) a) b) c) + + d) Unidad. Números reales

20 Simplifica al máximo las siguientes expresiones: a) b) + c) 7 8a a + a a) b) + + c) 7 + a + a ( 0 a a a a a a ) a 7 Efectúa y simplifica: a) ( + ) ( ) b) ( + ) c) ( )( + ) d) ( ) e) ( ) ( + ) a) ( + + ) ( + + ) b) c) d) e) ( ) 8 Racionaliza y simplifica: + a) b) c) 8 ( ) + d) e) f) + + ( ) a) ( ) 0 Unidad. Números reales

21 UNIDAD + + ( + ) + b) + ( + ) c) ( ) ( )( + ) ( + ) d) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) e) 0 ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( ) 8 + f ) 7 7 Efectúa y simplifica: 7 a) b) ( + ) ( ) ( )( + ) + + a) + ( 7 ) ( 7 + ) ( ) ( 7 7 ) b) 7 ( 7 + ) ( 7 ) 7 ( ) Página Notación científica y errores 0 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas. Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. a) (, 0 + 7,0 0 ) 8, 0 8, 0 Unidad. Números reales

22 b) c) (, )(, 0 + 8), 0, 0, , 0 0 a), 0 Error absoluto < 0,; Error relativo < 0,00 b),8 0 Error absoluto < 00; Error relativo < 0,00 c), 0 Error absoluto < 000; Error relativo < 0,00 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén: a),7 0 ; 8,7 0 ; 0 b), 0 ; 0,0 0 7 ; a) 8,7 0 >, 0 >,7 0 b) 0 > 0 >, 0 Efectúa: ,8 0 Expresa en notación científica y calcula: ( 0 ) ( 0 ) 0 7, 0 7 ( 0 ) , ,000 Considera los números: A, 0 7 ; B,8 0 y C,0 0 Calcula B + C. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da A una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. 0,007 7, 0 Error absoluto < 0 ; Error relativo <, 0 Si A, 0 ; B, 0 ; C,8 0 y D, 0, calcula A D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota B ( + C ) del error absoluto y otra del error relativo cometidos. 7 88,,7 0 Error absoluto < 0 Error relativo <,8 0 Unidad. Números reales

23 UNIDAD Intervalos y valor absoluto Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos: a) x es menor que. b) es menor o igual que x. c) x está comprendido entre y. d) x está entre y 0, ambos incluidos. a) x < ; ) b) Ì x; [, +@) c) < x < ; (, ) d) Ì x Ì 0; [, 0] Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades: a) Ì x Ì b) < x c) x Ó d) Ì x < / e) < x <, f) Ì x a) [, ] b) (, +@) 0 0 c) [, +@) d) [, ) 0 / e) (;,) f ) [, +@), 0 8 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos intervalos: a) [, 7] b) [, +@) c) 0) d) (, 0] e) [/, ) f) (0, +@) a) Ì x Ì 7 b) x Ó c) x < 0 d) < x Ì 0 e) Ì x < f ) x > 0 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A B) e (I J): a) A [, ] B [0, ] b) I [, +@) J (0, 0) a) [0, ] b) [, 0) Unidad. Números reales

24 0 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades: a) x < o x Ó b) x > 0 y x < c) x Ì o x > d) x < y x Ó Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), escribe: ) [, +@) a) ) b) (0, ) c) ] d) [, ) Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas expresiones: a) x < 7 b) x Ó c) x < 8 d) x Ì e) x + > f ) x Ó a) x < < x < 7 8 Intervalo ( 7, 7) b) x Ó 8 x Ì o x Ó 8 ] «[, +@) c) x < 8 8 x < 8 < x < 8 Intervalo (, ) d) x Ì 8 Ì x Ì 7 8 Intervalo [, 7] e) x + > 8 x < o x > 7 8 ) «(7, +@) f) x Ó 8 x Ì o x Ó 8 ] «[, +@) Averigua qué valores de x cumplen: a) x b) x Ì 7 c) x + Ó a) 7 y b) Ì x Ì ; [, ] c) x Ì o x Ó ; ] Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se pueda calcular la raíz en cada caso: a) x b) x + c) x d) x e) x x f) + a) x Ó 0 ò x Ó ; [, +@) b) x + Ó 0 ò x Ó ò x Ó ; [, +@ ) c) x Ó 0 ò x Ì 0; 0] Unidad. Números reales

25 UNIDAD d) x Ó 0 ò x Ì ò x Ì ; ] e) x Ó 0 ò x Ì ; ] x x f ) + Ó 0 ò Ó ò x Ó ; [, +@) Se llama distancia entre dos números a y b, al valor absoluto de la diferencia entre ellos: d(a, b) a b Halla la distancia entre los siguientes pares de números: a) 7 y b) y c) y d) y a) 7 b) c) + d) 7 Página Expresa como un único intervalo: a) (, ] [, ) b) [, ) (0, ] c) (, ] [, 7) d) [, ) (0, ) a) (, ] [, ) (, ] b) [, ) (0, ] [, ] c) (, ] [, 7) [, ] d) [, ) (0, ) [0, ) Logaritmos Calcula, utilizando la definición de logaritmo: a) log + log log log b) log + log log 7 a) log + log log log b) log + log log Unidad. Números reales

26 7 Calcula la base de estos logaritmos: a) log x b) log x a) log x 8 x 8 x b) log x 8 x 8 x 8 Calcula el valor de x en estas igualdades: a) log x b) log x c) 7 x d) x a) x log, b) log x ; x 0 log log c) x,8 d) x 0,8 log 7 log Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación. a) log 8 b) ln (, 0 ) c) ln (7, 0 ) d) log, e) log, f ) log 0,0 a),08 b) ln(, 0 ), 8 e,, 0 c) ln(7, 0 ), 8 e, 7, 0 d), e) 0, f),88 0 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de los logaritmos: a) ln x ln 7 + ln b) log x log log c) ln x ln d) log x log + log log e) ln x ln ln a) Por logaritmo de un producto: ln x ln (7 ) a) ln x ln 7 + ln 8 x 7 8 x b) log x log 8 x c) ln x ln 8 x 8 x Unidad. Números reales

27 UNIDAD d) log x log 8 x e) ln x ln ln 8 ln x ln ln / 8 8 ln x ln ln 8 ln x ln 8 x Sabiendo que log 0,77, calcula el logaritmo decimal de 0; 00; 000; 0,; 0,0; 0,00. log 0 log ( 0) log + log 0 0,77 +,77 log 00 log ( 0 ) log + log 0,77 log 000 0,77 +,77 log 0, log ( 0 ) 0,77 0, log 0,0 log ( 0 ) 0,77, log 0,00 0,77, Sabiendo que log k,, calcula el valor de las siguientes expresiones: a) log b) log 0, k k c) log d) (log k) / 00 k a) log k log 00,, b) log 0, + log k +, 7,8 c) (log log k),,8 d) (,) /,,7 Calcula la base de cada caso: a) log x / b) log x / c) log x 0,0 d) log x / Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despejar x. En c), x 0,0 ï. 00 x a) x 8 x b) x / 8 x c) 8 x d) x / 8 x x 00 Unidad. Números reales 7

28 Halla el valor de x que verifica estas igualdades: a) x 0,00 b) 0,8 x 7 c) e x 8 d), x e) 0, x 0,00 f ) e x 0, log 0,00 log 7 a) x,8 b) x log log 0,8,70 c) e x 8 8 x ln 8,8 8 x,8 log log 0,00 d) x,8 e) x log, log 0, 7,7 f) e x 0, 8 x ln 0,,0 8 x,0 Calcula x para que se cumpla: a) x,7 b) log 7 x 0, c) +x 7 a) log x,7 log ò,7 log x log ò log x log,7 0,7 x 0 0,7,8 7 0, b) 7 0, x ò x 0,88 c) log + x log 7 ò ( + x) log log 7 ò + x log 7 x, log log 7 log Si log k x, escribe en función de x: a) log k k b) log 00 c) log 0k a) log k x b) log k log 00 x c) log 0k ( + x) log + log a a 7 Comprueba que (siendo a ). log a log a + / log a log a / log a log a Ha de ser a? para que log a? 0 y podamos simplificar. 8 Unidad. Números reales

29 UNIDAD Problemas aritméticos 8 El depósito de la calefacción de un edificio contiene 000 l de gasóleo. Esta cantidad tarda en consumirse 0 días si la calefacción se enciende horas diarias. En el mes de enero ha hecho mucho frío y se ha encendido horas diarias durante días. Cuántos litros de gasóleo quedan en el depósito? Cuántos litros se consumen por hora? 0 00 horas 000 : 00 l/h (consumo de gasóleo por hora) 8 70 l consumidos en enero litros quedan en el depósito. En una empresa hay dos fotocopiadoras que, trabajando horas diarias, hacen 000 copias cada día. Se quiere ampliar el negocio comprando otra fotocopiadora, de modo que se hagan 00 copias al día. Cuántas horas al día tiene que trabajar cada una de las tres fotocopiadoras? 000 : 0 copias por hora cada fotocopiadora. 00 : 0 horas diarias entre las tres. : 7, ) 7 horas 0 minutos es el tiempo que tienen que trabajar las fotocopiadoras. 0 En un concurso se reparten entre las tres personas que han tardado menos tiempo en realizar una prueba. La primera ha tardado minutos; la segunda, minutos, y la tercera, 8 minutos. Cuánto dinero le corresponde a cada una? Cuántos minutos han tardado entre los tres? Debemos repartir de forma inversamente proporcional al tiempo empleado: tardarían entre los tres Al primero le corresponde 8, Al segundo le corresponde, Al tercero le corresponde 7,8 Unidad. Números reales

30 Página 7 Un automóvil consume, l de gasolina por cada 00 km. Cuántos kilómetros podrá recorrer con el depósito lleno en el que caben l? :, 8, 8, 00 8, km Varios amigos se reúnen en un bar y toman refrescos pagando 8,7 en total. Uno de ellos tomó solo un refresco, otro tomó dos y el resto tomaron refrescos cada uno. Cuántos amigos fueron y cuánto tuvo que pagar cada uno? 8,7 :, por refresco., paga el primero;, paga el segundo 8,7 entre los dos. Los restantes toman refrescos. : amigos que paga cada uno,7. Son en total. Pagan,,, y,7 los otros cuatro. En una granja hay 7 gallinas que consumen 0 kg de maíz en 0 días. Para aumentar la producción de huevos, se aumenta el número de gallinas a 00 y se compran 800 kg de maíz. Cuántos días se podrá dar de comer a las gallinas? 0 : 0 ; : 7 0, kg de maíz es lo que come una gallina en un día. 00 0, 0 kg por día para alimentar 00 gallinas. 800 : 0 0 días podrán comer las gallinas. Un empleado puede hacer los / de un trabajo en 7 días trabajando horas diarias, y otro, los / del mismo trabajo en 8 días de 8 horas de trabajo. Cuánto tiempo tardarán los dos juntos en hacer el trabajo, dedicando horas diarias? 0 Para hacer todo el trabajo el primero tarda: 7 horas 0 Y el segundo: 8 8 En hora los dos juntos hacen: Para hacer todo el trabajo tardan:,8 horas,8 : días horas minutos. La fórmula u p relaciona, aproximadamente, el número de pasos por minuto u de una persona y su longitud p en metros. Si doy pasos de 0,70 m, cuál es mi velocidad en km/h? u 0,7 0, pasos que doy en minuto. 0 Unidad. Números reales

31 UNIDAD 0, 0,7 7,0 m que recorro en un minuto. 7,0 0 m que recorro en una hora., km/h es mi velocidad. Dos amigas, trabajando juntas, emplearían días para hacer un trabajo. Después del primer día, una de las dos lo tiene que dejar. Continúa la otra sola y tarda días en acabar el trabajo. En cuántos días haría el trabajo cada una aisladamente? Después del primer día quedan por hacer los / y como la segunda amiga tarda días, para hacer todo el trabajo tardaría días. La primera hace por día del trabajo. Por tanto, tardaría en hacer todo el trabajo, días. 7 Una parcela de m de ancho y 70 m de largo cuesta 8 0. Cuánto costará otra parcela de terreno de igual calidad de 0 m Ò 0 m? La parcela inicial mide 70 0 m El precio del metro cuadrado es de 8 0 : 0 euros. La otra parcela costará euros. 8 Dos poblaciones A y B distan 0 km. A la misma hora sale un autobús de A hacia B a una velocidad de 80 km/h y un turismo de B hacia A a 0 km/h. Cuándo se cruzarán? Se aproximan a km/h. Cuánto tardarán en recorrer los 0 km a esa velocidad? Si se aproximan a km/h, en recorrer 0 km tardarán: t 0 00,7 horas hora y minutos Un automóvil tarda horas en ir de A a B y otro tarda horas en ir de B a A. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse si salen simultáneamente cada uno de su ciudad. Qué fracción de la distancia AB recorre cada uno en una hora? Y entre los dos? El primero recorre / del camino en hora. El segundo recorre / del camino en hora. 8 Entre los dos recorren: + del camino en hora. Tardarán h h ' 0" en encontrarse. 8 Unidad. Números reales

32 Página 7 AUTOEVALUACIÓN. Dados los números: 8 π ; ; ; ; ; ;,07 ) 8 7 a) Clasifícalos indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen. b) Ordena de menor a mayor los reales. c) Cuáles de ellos pertenecen al intervalo (, /]? a) N: 7 Z: ; 8 7 Q: ; ; ;,07 ) Á: ; ; ;,07; ) 8 π 8 ; 7 8 π b) < < <,07< ) 8 < 7 8 π c) ; ;,07 ). Representa los siguientes conjuntos: a) {x / Ì x < } b) [, +@) c) ) «(, +@) a) b) c) Expresa en forma de intervalo en cada caso: a) x Ó 8 b) x < a) 8] «[8, b) (, ) Unidad. Números reales

33 UNIDAD. Escribe como potencia y simplifica: a ( a a ) : (a a ) ( a ) : (a a ) (a / a ) : (a a / ) (a / ) : (a + / ) (a / ) : (a / ) a / / a 7/. Multiplica y simplifica: a b 8a b Reducimos los radicales a índice común: mín.c.m. (, ) 8 a b (a b) a b 8a b a b 8a b a 7 b a 7 b a ab. Racionaliza: a) b) a) + ( )( ) ( + )( ) ( + ) + + b) + ( )( + ) 7. Reduce: Aplica la definición de logaritmo y obtén x: a) log x b) log x, c) ln x a) log x 8 x 8 x b) log x, 8 x 0, 8 x 0 / c) ln x 8 x e Unidad. Números reales

34 . Calcula x en cada caso. a), x 0,0087 b),00 x log 0,0087 a) x log, log 0, x,8 log, b),00 x Tomamos logaritmos: log,00 x log log 8 x log,00 log 8 x,8 log,00 0. Efectúa la siguiente operación, expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo: ( 0 8 ) (, 0 ) : (,8 0 7 ) ( 0 8 ) (, 0 ) : (,8 0 7 ) (,7 0 ) : (,8 0 7 ) 8,07 0 8,07 0 Error absoluto < 0, Error relativo <, 0 8,07 0. Expresa con un solo logaritmo y di el valor de A: log + log log log A log + log log log + log log log 8 A ( ) Unidad. Números reales