NÚMEROS REALES. El número áureo Para hallar la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular, da los siguientes

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1 NÚMEROS REALES Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE El número áureo Para hallar la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular, da los siguientes pasos: a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes. Recordamos los ángulos de un pentágono: A C F E B º. β α 7 ; β ; β 08 β α D β γ º γ γ γ γ º. B ^ B 08 ^ E ^D 80 7 E B D F γ C Sabíamos que γ. El triángulo BEC es idéntico al BED: ^ C ^E ^D 7 ^ F 7 Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales son semejantes. Unidad. Números reales

2 b) Llamando l BE BD EC y tomando como unidad el A lado del pentágono, BC BF ED EF, a partir de la semejanza anterior has de llegar a la siguiente ecuación: l E l Despejando l obtendrás su valor. BD ED Por ser semejantes (apartado a)), es decir: l BC FC. l Despejamos l: l (l ) l ± + ± l 0 l B F D C Como l es una longitud, la solución válida es la positiva: l +. Este es el número áureo, Φ Página El rectángulo áureo A M B D N C El rectángulo adjunto tiene la peculiaridad de que si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que queda, MBCN, es semejante al rectángulo inicial ABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso, el rectángulo es áureo, es decir: AB AD Φ (número de oro) Tomamos como unidad el lado pequeño del rectángulo: AD BC, y llamamos MB NC. Así: A M B D N C Al ser semejantes los rectángulos, tenemos que: + Despejamos : ( + ) + 0 ± + ± Unidad. Números reales

3 Como es una longitud, la solución válida es la positiva: + Hallamos la razón entre los lados del rectángulo: AB Φ AD Obtenemos el número de oro. Página 7. Halla gráficamente y.. Inventa dos números irracionales dados en forma decimal. Por ejemplo:, ,. Razonando sobre la figura del margen, CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO ÁUREO, justifica que si AC AC, entonces BD Φ. Si AC, entonces OA OC OD. Si OA y AB, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que: OB +. Por tanto: BD + OD + OB + Φ. Página. Representa los siguientes conjuntos: a) (, ) b) [, + ) c) (, ] d) (, 0) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 Unidad. Números reales

4 . Representa los siguientes conjuntos: a) {/ < } b) [, ) U (, 7] c) (, 0) U (, + ) d) (, ) U (, + ) a) c) b) d) 0 0 Página 0. Halla los siguientes valores absolutos: a) b) π c) d) 0 e) π f) g) h) i) 7 0 a) b) π c) d) 0 e) π f) g) h) i) Averigua para qué valores de se cumplen las siguientes relaciones: a) b) c) d) e) > f ) + > a) y b) ; [, ] c) y d) ; [, ] e) < o > ; (, ) U (, + ) f) < o > ; (, ) U (, + ) Página. Simplifica: a) b) 8 c) d) 8 e) f) y a) b) 8 c) y 0 y 8 d) 8 e) f ) 8 8. Cuál es mayor, o? Reducimos a índice común: Por tanto, es mayor. 7 ; 8 Unidad. Números reales

5 . Reduce a índice común: 8 a) a y a 7 b) y 0 8 a) a a ; a 7 a b) ; 0. Simplifica: a) ( ) 8 b) c) k 0 ( ) 8 a) ( ) 8 k b) c) k 0 Página. Reduce: 8 a) b) c) 8 8 a) b) c) Simplifica: a) b) a b c) a d) a b c a b a a b c a) b) a b a b c) a d) a b c a a a a a b c b c 7. Reduce: a) b) c) d) a b 7 c a b c a) b) 8 c) d) 8. Suma y simplifica: a) + + b) + c) d) e) 0a 8a Unidad. Números reales

6 a) 0 b) + 7 c) d) e) a a a a a Página. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) b) c) d) e) 7 7 a f) g) h) i ) j ) a) 7 7 b) c) a d) e) a a a a 0 0 f) g) 8 h) i) 0 j) Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) b) + y c) a d) + y e) + + y a y f) + g) + + h) + + y + y Unidad. Números reales

7 a) ( + ) ( ) ( + y) ( y ) ( + y) ( y ) b) ( + y ) ( y ) y y + y y y y (a ) ( a + ) (a ) ( a + ) c) a + ( a ) ( a + ) (a ) ( + y) ( + y) d) ( y ) ( y ) + y + y y + + e) ( ) ( + ) + 7 ( + ) f ) g) y + y h) y y Página. Calcula en notación científica sin usar la calculadora: a) ( : 0,000) 0, 0 b) 0, a) ( : 0,000) 0, 0 [(8 0 ) : ( 0 )] ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) b) 0, ( ) 0 0, 0. Opera con la calculadora: a) (,87 0, 0 ) : (, 0 ) b) 8, , 0 0, 0 a),87,, Es decir:,8 0 b) 8, 0 7, 0, Es decir:,7 0 0 Unidad. Números reales 7

8 Página 8. Halla: a) log b) log 0, c) log d) log 0 0, e) log f) log 7 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 j ) log ( ) a) log log b) log 0, log c) log 0 d) log 0 0, log 0 0 e) log log f) log 7 log 7 7 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 log j) log ( ) log. Halla la parte entera de: a) log 0 b) log 700 c) log d) log 0 0,08 e) log 0 f) ln e a) ; ; < 0 < < log 0 < log 0, b) ; ; < 700 < < log 700 < log 700, c) ; ; < 000 < < log < log 0 000, d) 0 0,0 ; 0 0, ; 0,0 < 0,08 < 0, < log 0 0,08 < log 0 0,08, e) ; 8 ; < 0 < 8 < log 0 < log 0, f) ln e. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log 00 b) log 00 c) log d) log 00 0 En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación. log 00 a) 0,; 0, log b),;, 00 log log Unidad. Números reales 8

9 log 00 c),; 00, log 0 00 d) 0,80; 00 0,80 0 log 00 log 00. Sabiendo que log A,8 y log B,, calcula: a) log A B b) log A B a) log A B 0,8 [ log A log log B] [,8,] 0,7 A b) log log + log A log B +,8, +,7,8, B. Averigua la relación que hay entre e y, sabiendo que se verifica: ln y ln ln y ln ln y ln e ln e ln y ln y e Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Números racionales e irracionales Epresa como ) fracción ) cada decimal y opera: 0,, 0, ) +, Recuerda que, ) ; 0, ). +,78 ) 0 0 Demuestra que el producto,0 ), ) es un decimal eacto. Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales eactos.,0 ) 0 0,, ), ,0 ), ),,,7 0 Unidad. Números reales

10 Calcula: a), 7 ) b),) a), ) b) 0, ) Indica cuál, de cada par de números, es mayor: 0 ) a) y b) 0, y 0, ) c), 8 ) y d),08 y, a) b) 0, ) c), 8 ) d),08 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales: A C E G B 0 D F H En el triángulo OAB, OB, AB y OA +. Por tanto, el punto D representa a. Qué números representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta. F representa: pues OF OC OD + DC ( ) + H representa: pues OH OG ( ) + Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico? a 7 b 7 c 7 d 7 d m 0 m m es un segmento cualquiera a b c m m m m m m Potencias 7 Halla sin calculadora: ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) Unidad. Números reales 0

11 8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias: 8 a) b) c) d) 0 Mira, en EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS, el n-º a). a b c 7 a b c a) b) 80 7 c) 8 c d) 7 a c a b b 8 a c 8 b Epresa los siguientes radicales mediante potencias de eponente fraccionario y simplifica: a) a a b) c) a 0 a / / a) a / a / a /0 b) / c) a / a 0 Resuelve, sin utilizar la calculadora: a) b) c) d) 0, e) 8 f) 0,00 a) b) 7 7 c) d) 0, e) f ) 0, 0, Epresa como una potencia de base : a) b) ( ) / c) ( ) a) / b) ( ) / c) /8 / Calcula utilizando potencias de base, y : a) ( ) b) ( ) ( ) 8 8 ( ) c) ( 8) ( ) d) 0 ( 0) 0 a) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) ( ) 8 d) Unidad. Números reales

12 Epresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica: a) a a a a b) / a a) / a a 7/ a a / 7 b) ( ) / ( ) / ( ) / / / 0 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en las falsas: a b a b 7 a) b) ( ) ( ) 8 c) d) ( ) ( ) 80 a a) Falsa. b a b a b 7 b) Verdadera. ( ) ( ) ( ) c) Verdadera. (/ ) (/ ) (/ /) (/ + /) / / (/ /) 8 + ( ) 8 d) Verdadera. ( ) ( ) 80 Demuestra, utilizando potencias, que: a) (0,) / b) (0,) / 000 a) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / 00 b) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / 8 Unidad. Números reales

13 Página Radicales Introduce los factores dentro de cada raíz: a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) e) f ) 8 7 Saca de la raíz el factor que puedas: a) b) 8 c) 000 d) 8a e) f ) + a b a a g) h) a + i) + a a) b) 8 c) 0 0 a d) a e) f ) a a a b b a g) h) (a a i) + ) + a a a 8 Simplifica: 8 a) b) c) 0,07 0,00 + a) / / ( ) ( 7 ( ) ) b) /8 / ( ) ( ( ) ) c) ( ) / ( ) / 8 Unidad. Números reales

14 Simplifica los siguientes radicales: a) b) 7 c) 08 d) e) 8 y f) : 8 a) b) / / c) d) y y y y e) f ) 8 : : 0 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: a),, b), c), 0 d) 7,, 00 a), 8, ; < b), ; < 0 c) 7 77, ; < 0 0 d) 7 8,, ; < 00 < 7 Realiza la operación y simplifica si es posible: a) 7 b) c) d) ( ) e) ( ) f) : a) b) 8 c) 8 d) ( ) e) ( ) f ) : : 8 Unidad. Números reales

15 Efectúa y simplifica, si es posible: a) b) c) ( ) a a d) : a 8 En b) y c) puedes epresar los radicales como potencias de bases a y, respectivamente. a) 08 b) a a a a c) ( ) ( ) d) : : Epresa con una única raíz: a) b) c) ( ) : 8 a a a a) b) 7 8 c) 0 a a 0 a a a 0 0 a Racionaliza los denominadores y simplifica: a) b) c) d) e) a) b) ( ) c) ( ) ( ) d) e) Unidad. Números reales

16 Calcula y simplifica: a) b) + c) + d) ( + )( ) a) b) c) + + d) Simplifica al máimo las siguientes epresiones: a) 0 + b) a c) 7 8a a + a) b) + + c) 7 + a + a ( 0 a a a a a a ) 7 Efectúa y simplifica: a) ( + ) ( ) b) ( + ) c) ( )( + ) d) ( ) e) ( ) ( + ) a) ( + + ) ( + + ) b) c) d) e) ( ) a Unidad. Números reales

17 8 Racionaliza y simplifica: a) b) + c) 8 ( ) d) e) f) ( ) a) ( ) + + ( + ) + b) + ( + ) c) ( ) ( ) ( + ) ( + ) d) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) e) 0 ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 8 + f ) 7 7 Racionaliza y efectúa: a) b) ( + ) ( ) ( ) ( + ) + + a) + ( 7 ) ( 7 + ) ( ) ( 7 7 ) b) 7 ( 7 + ) ( 7 ) 7 ( ) Unidad. Números reales 7

18 Página 0 Opera y simplifica: Notación científica Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas: a) b) c) (, 0 + 7,0 0 ) 8, 0 8, 0 (, )(, 0 + 8), 0, 0, , 0 0 a), 0 b),8 0 c), 0 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén: a),7 0 ; 8,7 0 ; 0 b), 0 ; 0,0 0 7 ; a) 8,7 0 >, 0 >,7 0 b) 0 > 0 >, 0 Efectúa: ,8 0 Epresa en notación científica y calcula: ( 0 ) ( 0 ) 0 7, 0 7 ( 0 ) , ,000 Considera los números: A, 0 7 ; B,8 0 y C,0 0 Calcula B + C. A 0,007 7, 0 Unidad. Números reales 8

19 Si A, 0 ; B, 0 ; C,8 0 y D, 0, calcula ( + C ) D. 7 88,,7 0 Intervalos y valor absoluto 7 Epresa como desigualdad y como intervalo y represéntalos: a) es menor que. b) es menor o igual que. c) está comprendido entre y. d) está entre y 0, ambos incluidos. A B a) < ; (, ) b) ; [, + ) c) < < ; (, ) d) 0; [, 0] Representa gráficamente y epresa como intervalos estas desigualdades: a) b) < c) d) < / e) < <, f ) a) [, ] 0 b) (, + ) 0 c) [, + ) d) [, ) 0 / e) (;,) f ) [, + ), 0 Escribe la desigualdad que verifica todo número que pertenece a estos intervalos: a) [, 7] b) [, + ) c) (, 0) d) (, 0] e) [/, ) f) (, + ) a) 7 b) c) < 0 d) < 0 e) < f ) < < + 0 Epresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A I B) e (I I J): a) A [, ]; B [0, ] b) I [, ); J (0, 0) a) [0, ] b) [, 0] Unidad. Números reales

20 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades: a) < y b) > 0 y < c) y > d) < y Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), escribe: (, )U [, + ) a) (, ) U [, ) b) (0, ) c) (, ] U (, ) d) (, ] Epresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas epresiones: a) < 7 b) c) < 8 d) e) + > f ) a) < 7 7 < < 7 Intervalo ( 7, 7). b) ó (, ] U [, + ). c) < 8 < < < Intervalo (, ). d) 7 Intervalo [, 7]. e) + > < ó > 7 (, ) U [7, + ). f) ó (, ] U [, + ). Averigua qué valores de cumplen: a) b) 7 c) + a) 7 y b) ; [, ] c) y ; (, ) U [, ) Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener para que se pueda calcular la raíz en cada caso: a) b) + c) d) e) f) + a) 0 ; [, + ) b) + 0 ; [, + ) c) 0 0; (, 0] Unidad. Números reales 0

21 d) 0 ; (, ] e) 0 ; (, ] f ) ; [, + ) Halla la distancia entre los siguientes pares de números: a) 7 y b) y c) y d) y a) d(7, ) 7 b) d(, ) c) d(, ) ( ) d) d(, ) ( ) 7 Epresa como un único intervalo: a) (, ] U [, ) b) [, ) U (0, ] c) (, ] I [, 7) d) [, ) I (0, ) a) (, ] U [, ) (, ] b) [, ) U (0, ] [, ] c) (, ] I [, 7) [, ] d) [, ) I (0, ) (0, ) Página Logaritmos 7 Calcula, utilizando la definición de logaritmo: a) log + log log log b) log + log log 7 a) b) Calcula la base de estos logaritmos: a) log b) log a) ; b) ; Unidad. Números reales

22 Calcula el valor de en estas igualdades: a) log b) log c) 7 d) a) log, b) log ; log log c),8 d) 0,8 log 7 log 0 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación. a) log 8 b) log, 0 c) log 7, 0 d) log, e) log, f) log 0,0 a),08 b) ln(, 0 ), e,, 0 c) ln(7, 0 ), e, 7, 0 d), e) 0, f),88 Halla el valor de en estas epresiones aplicando las propiedades de los logaritmos: a) log log 7 + log b) ln ln ln c) ln ln d) log log + log log e) log log log Logaritmo de un producto: ln ln (7 ) a) ln ln 7 + ln 7 b) log log c) ln ln 0 d) log log e) ln ln ln ln ln ln / ln ln ln ln ln Unidad. Números reales

23 Sabiendo que log 0,77, calcula el logaritmo decimal de 0; 00; 000; 0,; 0,0; 0,00. log 0 log ( 0) log + log 0 0,77 +,77 log 00 log ( 0 ) log + log 0,77 log 000 0,77 +,77 log 0, log ( 0 ) 0,77 0, log 0,0 log ( 0 ) 0,77, log 0,00 0,77, Sabiendo que log k,, calcula el valor de las siguientes epresiones: k a) log b) log 0, k c) log d) (log k) / 00 k a) log k log 00,, b) log 0, + log k +, 7,8 c) (log log k),,8 d) (,) /,,7 Calcula la base de cada caso: a) log / b) log / c) log 0,0 d) log / Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despejar. En c), 0,0. 00 a) b) / c) 0,0 d) / Halla el valor de que verifica estas igualdades: a) 0,00 b) 0,8 7 c) e 8 d), e) 0, 0,00 f ) e 0, log 0,00 a),8 log log 7 b),70 log 0,8 c) e 8 ln 8,8,8 log d),8 log, Unidad. Números reales

24 log 0,00 e) log 0, 7,7 f) e 0, ln 0,,0,0 Calcula para que se cumpla: a),7 b) log 7 0, c) + 7 a) log,7 log,7 log log log log,7 0,7 0 0,7,8 7 0, b) 7 0, 0,88 c) log + log 7 ( + ) log log 7 + log 7,8 log log 7 log 7 Si log k, escribe en función de : a) log k k b) log 00 c) log 0k a) log k b) log k log 00 c) log 0k ( + ) log (/a) + log a 8 Comprueba que (siendo a ). log a log a + / log a log a / log a log a Ha de ser a para que log a 0 y podamos simplificar. Problemas aritméticos Una parcela de m de ancho y 70 m de largo cuesta 8 0. Cuánto costará otra parcela de terreno de igual calidad de 0 0 m? Calcula cuánto cuesta un metro cuadrado. Hallamos primero el precio del metro cuadrado: 70 0 m tiene la primera parcela 8 0 : 0 cuesta m La segunda parcela tiene como superficie: m Por tanto, costará: Unidad. Números reales

25 0 Tres informáticos, trabajando 8 horas diarias, hacen un trabajo en días. Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo informáticos en jornadas de horas? Cuántas horas lleva hacer todo el trabajo? 8 0 horas lleva hacer todo el trabajo. Trabajando horas diarias, se tardará: 0 : 8 días. Tres empresas invierten, y millones de euros, respectivamente, en un negocio que produce, al cabo de un año, de beneficio. Cómo se repartirán estos beneficios? Cuántos millones se han invertido en total? Qué beneficio corresponde a cada millón invertido? En total se han invertido millones de euros. El beneficio que le corresponde a cada millón invertido será: Por tanto, se repartiría así: Primera empresa : Segunda empresa Tercera empresa Tres socios aportan, y millones, respectivamente, para montar un negocio con la idea de mantenerlo abierto las horas del día. Para compensar las diferencias en la inversión, deciden distribuir las horas de trabajo en relación inversa al dinero aportado. Cuántas horas diarias debe atender el negocio cada uno? Primer socio aporta millones trabajará horas Segundo socio aporta millones trabajará y horas Tercer socio aporta millones trabajará z horas Como el tercero aporta el triple que el primero, trabajará la tercera parte: z z Como el tercero aporta el doble que el segundo, trabajará la mitad: Además: + y + z z y z z + z + z z z, y 8, El primero trabajará horas, el segundo 8 horas y el tercero horas. y Unidad. Números reales

26 Dos poblaciones A y B distan 0 km. A la misma hora sale un autobús de A hacia B a una velocidad de 80 km/h y un turismo de B hacia A a 0 km/h. Cuándo se cruzarán? Se aproiman a km/h. Cuánto tardarán en recorrer los 0 km a esa velocidad? Si se aproiman a km/h, en recorrer 0 km tardarán: t 0 00,7 horas hora y minutos Página 7 Un automóvil tarda horas en ir de A a B y otro tarda horas en ir de B a A. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse si salen simultáneamente cada uno de su ciudad. Qué fracción de la distancia AB recorre cada uno en una hora? Y entre los dos? El primero recorre / del camino en hora. El segundo recorre / del camino en hora. 8 Entre los dos recorren: + del camino en hora. Tardarán h h ' 0" en encontrarse. 8 CUESTIONES TEÓRICAS Eplica si estas frases son verdaderas o falsas: a) Todo número entero es racional. b) Hay números irracionales que son enteros. c) Todo número irracional es real. d) Algunos números enteros son naturales. e) Hay números decimales que no pueden ser epresados como una fracción. f) Todos los números decimales son racionales. g) Entre dos números enteros hay siempre otro número entero. h) Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales. i) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales. j) Los números racionales llenan la recta. a) V b) F c) V d) V e) V f ) F g) F h) V i) V j) F Unidad. Números reales

27 Si Á, eplica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones: a) es siempre positivo o nulo. b) es siempre positivo o nulo. c) solo eiste si 0. d) es negativo si lo es. e) es siempre negativo. a) V b) F c) F d) V e) F (puede ser nulo) 7 Es posible que una potencia de eponente negativo sea igual a un número entero? Acláralo con ejemplos. Sí. Por ejemplo: ( ) 8 Compara el cuadrado de con el de +. Cómo varía el cuadrado de un número cuando a ese número le añadimos una unidad? ( + ) + + () Varía en + Cómo varía el cuadrado de un número cuando a ese número lo multiplicamos por? Y si lo dividimos entre? () Se multiplica por ( ) Se divide entre 70 Cuál es el menor número real perteneciente al intervalo [, )? Y el mayor? Escribe un intervalo de la recta real que no tenga ni primer elemento ni último. El menor es. No hay mayor. Cualquier intervalo abierto no tiene ni primer ni último elemento. 7 Si N y >, ordena estos números: + < < < < Ordena de menor a mayor los números a, a, /a y a en estos dos casos: ) Si a > ) Si 0 < a < ) < a < a < a ) a < a < a < a a Unidad. Números reales 7

28 PARA PENSAR UN POCO MÁS 7 Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A, A, A, A, A Cada uno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él. I Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que la superficie de A0 es m, calcula las dimensiones de una hoja A (que es la de uso más frecuente) redondeando hasta los milímetros. Comprueba el resultado midiendo una hoja A que tengas a mano. A0 A A A A A II Demuesta que cualquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente: Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene, MNPQ, tiene la peculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángulo, MRSQ,, semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ). M Q A N P M Q R S I) y/ A0 A y La superficie de A0 es m, es decir: y m y Por la semejanza entre A0 y A, tenemos que: y y y y/ ( ), y Unidad. Números reales 8

29 Las dimensiones de A0 son: largo m, ancho m A0 y/ A / y/ A / Las dimensiones de A serán: largo 0,7 m,7 cm 7 mm ancho 0,0 m cm 0 mm y II) y M R N Q S P y La razón entre los lados del rectángulo (A0, A, ) es: ( ) (es la misma en A0, A, pues todos ellos son semejantes). La razón entre los lados del rectángulo MNPQ es: y / y + y/ + / + + / Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastará ver que: MQ MR + Veámoslo: / + + y y/ / ( ) ( + ) + Como queríamos probar. Unidad. Números reales

30 7 Para numerar las páginas de un libro, un tipógrafo ha empleado dígitos. Cuántas páginas tiene el libro? (El 0, el, el son dígitos. El número se escribe con tres dígitos). Las primeras páginas dígitos De la 0 a la 0 80 dígitos De la 00 a la dígitos Llevamos: dígitos Nos faltan: 88 0 dígitos, que pertenecen a números de cuatro cifras. Luego: 0 : páginas más. Así: + 0 páginas tiene el libro. Unidad. Números reales 0