FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

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1 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE 1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuántos radianes corresponden a los 360 de una circunferencia? b) Cuántos grados mide 1 radián? c) Cuántos grados mide un ángulo de π radianes? d) Cuántos radianes equivalen a 70º?. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 30 b) 7 c) 90 d) 17 e) 00 f ) 300 Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo: π π 30 = 30 rad = rad 0,5 rad 180 6

2 3. Pasa a grados los siguientes ángulos: π 5π a) rad b) 0,83 rad c) rad d) rad e) 3,5 rad Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado: GRADOS π RADIANES π π 4 π 5 π 7 π FORMULAS TRIGONOMETRICAS 1. Demuestra la fórmula de la resta a partir de la fórmula: cos (α + β) = cos α cos β sen α sen β. Demuestra la fórmula de la resta a partir de la fórmula: tg (α β) = tg α + tg β 1 tg α tg β

3 3. Demuestra la fórmula anterior a partir de las fórmulas: sen (α β) = sen α cos β cos α sen β cos (α β) = cos α cos β + sen α sen β 4. Si sen 1 = 0, y sen 37 = 0,6, halla cos 1, tg 1, cos 37 y tg 37. Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49 y de 5, utilizando las fórmulas (I) y (II).

4 5. Demuestra la siguiente igualdad: cos (a + b) + cos (a b) sen (a + b) + sen (a b) = 1 tg a 6. Demuestra las tres fórmulas de angulo doble haciendo α = β en las fórmulas de la suma. 7. Halla las razones trigonométricas de 60 a partir de las de Halla las razones trigonométricas de 90 a partir de las de 45. sen α sen α 1 cos α 9. Demuestra que =. sen α + sen α 1 + cos α 10. Demuestra las fórmulas del ángulo mitad:

5 11. Sabiendo que cos 78 = 0,, calcula sen 78 y tg 78. Averigua las razones trigonométricas de 39 aplicando las fórmulas del ángulo mitad. 1. Halla las razones trigonométricas de 30 a partir de cos 60 = 0,5.

6 13. Halla las razones trigonométricas de 45 a partir de cos 90 = Demuestra que tg α sen α + sen α = tg α. sen α sen α 15. Demuestra que = tg α. sen α + sen α 16. Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos: Expresa en función de α y β: cos (α + β) = cos (α β) = Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. Sustituye en las expresiones anteriores: α + β = A α β = B cos (α + β) = cos α cos β sen α sen β cos (α β) = cos α cos β + sen α sen β Sumando cos (α + β) + cos (α β) = cos α cos β (1) Restando cos (α + β) cos (α β) = sen α sen β ()

7 α + β = A A + B A B Llamando α =, β = (al resolver el sistema) α β = B Luego, sustituyendo en (1) y (), se obtiene: (1) cos A + cos B = cos A + B A B cos () cos A cos B = sen A + B A B sen 17. Transforma en producto y calcula: a) sen 75 sen 15 b) cos 75 + cos 15 c) cos 75 cos Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica el resultado: sen 4a + sen a cos 4a + cos a ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. Resuelve estas ecuaciones: a) cos x + cos x 1 = 0 b) sen x 1 = 0 c) tg x tg x = 0 d) sen x + 3cos x = 3

8 . Resuelve: a) 4cos x + 3 cos x = 1 b) tg x + cos x = 0 c) cos (x/) cos x = 1 d) sen x cos x 6sen 3 x = 0

9 3. Transforma en producto sen 3x sen x y resuelve después la ecuación sen 3x sen x = 0.

10 4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen (π x) = cos ( x) + cos π π 4 b) sen ( x) + sen x = 0 3π

11 5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican: a) tg x = 3 b) sen x = cos x c) sen x = 1 d) sen x = tg x EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Grados y radianes 1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: π 4π 5π 7π 9π a) b) c) d) e) Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que π radianes = 180. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a) 1,5 b) 3, c) 5 d),75

12 3 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados. Exprésalos en función de π: a) 40 b) 108 c) 135 d) 40 e) 70 f) 16 Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14 40π π a) = Halla, sin utilizar la calculadora: π 3π a) 5 cos cos 0 + cos π cos + cos π π 3π b) 5 tg π + 3 cos tg 0 + sen sen π 5 Prueba que: π π a) 4 sen + cos + cos π = 6 4 π π π b) 3 sen + 4 sen sen = Halla el valor de A sin utilizar la calculadora: π π a) A = sen + sen + sen π 4 π 4π b) A = sen + sen sen π 3 3 π c) A = cos π cos 0 + cos cos 3π

13 7 Expresa con un ángulo del primer cuadrante: a) sen 1 15 b) cos ( 100 ) c) tg ( 50 ) d) cos 930 e) tg 580 f ) sen ( 80 ) 8 Busca, en cada caso, un ángulo comprendido entre 0º y 360, cuyas razones trigonométricas coincidan con el ángulo dado: a) 3 70 b) c) 040 d) e) 00 f) 80 9 Halla, en radianes, el ángulo α tal que sen α = 0,7 y cos α < 0.

14 10 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: a) rad b) 3,5 rad c) 5 rad Ten en cuenta que: π 3π 1,57; π 3,14; 4,7; π 6,8 Fórmulas trigonométricas 11 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75 sabiendo que 75 = π Sabiendo que sen x = y que 5 < x < π, calcula, sin hallar previamente el valor de x: x a) sen x b) tg c) sen ( ) x + π 6 d) cos ( ) x π x e) cos f) tg ( ) x + π 3 Tienes que calcular cos x = 1 ( ) = 4 3 y tg x =, y aplicar las fór mulas. 3 4

15 13 Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15 de dos formas, considerando: a) 15 = b) 15 = 30

16 14 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos x sen x + 1 = 0 b) sen x sen x = 0 Saca factor común e iguala a cero cada factor. c) cos x 3 cos x = 0 d) sen x cos x = 1 e) cos x sen x = 0 f) cos x + sen x = 1 g) 3 tg x 3 tg x = 0

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19 15 Halla el valor exacto de estas expresiones: 5π 3π 7π a) sen + cos sen π 4π 7π b) cos + tg tg π π π c) 3 cos + sen cos 3 sen π 3 16 Sabiendo que sen x = 3 y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula: a) sen x x b) tg c) cos (30 x)

20 17 Si tg α = 4/3 y 90 < α < 180, calcula: π a) sen ( α) b) cos ( 180 ) c) tg (900 + α) α

21 18 Sabemos que cos x = 3 y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula: 4 a) sen x b) cos (π + x) c) cos x x π d) tg e) sen ( x) f) cos ( ) π x 19 Si cos 78 = 0, y sen 37 = 0,6, calcula sen 41, cos 41 y tg 41.

22 0 Si tg (α + β) = 4 y tg α =, halla tg β. PARA RESOLVER 1 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 0 cm. Halla el ángulo central en grados y en radianes. Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporción entre las longitudes de los arcos y la medida de los ángulos. 0 cm α 16 cm Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y π tal que sus razones 11π trigonométricas coincidan con las de. 4 sen (α + β) tg α + tg β 3 Demuestra que =. sen (α β) tg α tg β Aplica las fórmulas de sen (α + β) y sen (α β). Divide tanto el numerador como el denominador entre cos α cos β y simplifica.

23 4 Prueba que tg x cos x sen x = tg x. Sustituye cos x 1 + cos x =. 5 Demuestra que cos ( ) x + π ( ) cos x + π = cos x. π π Desarrolla y sustituye las razones de y Demuestra que cos α cos (α β) + sen α sen (α β) = cos β. Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común. sen α sen α 7 Prueba que = tg α. sen α + sen α

24 cos (45 + α) cos (45 α) 8 Simplifica: cos α Al desarrollar el numerador obtendrás una diferencia de cuadrados. cos (α β) 9 Demuestra: = cos (α + β) 1 + tg α tg β 1 tg α tg β sen α 30 Simplifica la expresión y calcula su valor para α = cos α 31 Resuelve las siguientes ecuaciones: π 4 a) sen ( + x) sen x = 0 π b) sen ( x) ( + cos π x) = c) sen x cos x = 0 Desarrolla sen x y saca factor común. d) cos x 3 sen x + 1 = 0 Desarrolla cos x y sustituye cos x = 1 sen x

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26 3 Resuelve estas ecuaciones: a) 4 sen x cos x + cos x = 0 Al hacer sen x = 1 cos x, resulta una ecuación bicuadrada. Haz cos x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes. b) 4 sen x + sen x cos x 3 cos x = 0 Divide por cos x y obtendrás una ecuación con tg x. c) cos x 1 + cos x = 0 d) tg x + 1 = cos x e) sen x + cos x = 0

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29 33 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos x + 3 sen x = b) tg x tg x = 1 c) cos x cos x + cos x = 0 d) sen x = tg x x e) 3 sen + cos x 1 = 0 f) sen x cos x = 6 sen 3 x π g) tg ( 4 x) + tg x = 1

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33 34 Resuelve las siguientes ecuaciones: sen 5x + sen 3x a) sen 3x sen x = cos x b) = 1 cos x + cos 3x sen 3x + sen x c) = 3 d) sen 3x cos 3x = sen x cos x cos 3x cos x Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos.

34 35 a) Demuestra que sen 3x = 3 sen x cos x sen 3 x. b) Resuelve la ecuación sen 3x sen x = 0. a) Haz sen 3x = sen (x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen 3x por el resultado anterior. 36 Resuelve: a) sen 3x sen x cos x = 0 b) cos 3x cos (π x) = 0 c) cos 3x + sen x cos x = 0 b) Expresa cos 3x en función de sen x y cos x haciendo cos 3x = cos (x + x).

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36 37 Demuestra las siguientes igualdades: a) cos (α + β) cos (α β) = cos α sen β b) sen ( ) α + β ( ) sen α β c) cos ( ) ( ) α β cos α + β = sen α sen β = sen α sen β

37 38 Expresa sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α. 39 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: x + y = 10º sen a) b) x + cos y = 1 sen x sen y = 1/ cos x sen y = 1 Haz cos y = 1 sen y y cos x = 1 sen x. c) sen x + cos y = 1 x + y = 90

38 40 Demuestra que para cualquier ángulo α se verifica: π sen α + cos α = cos ( α) 4

39 cos x + sen x cos x sen x 41 Demuestra que = tg x. cos x sen x cos x + sen x 4 Simplifica la expresión tgxcos x sen x. CUESTIONES TEÓRICAS 43 Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que π 4π miden y radianes? 5 5

40 44 Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo α: a) sen (π α); cos (π α); tg (π α) b) sen (π + α); cos (π + α); tg (π + α) c) sen (π α); cos (π α); tg (π α) 45 Expresa A(x) en función de sen x y cos x: a) A(x) = sen ( x) sen (π x) b) A(x) = cos ( x) + cos (π + x) c) A(x) = sen (π + x) + cos (π x) 46 Demuestra que si α, β y γ son los tres ángulos de un triángulo, se verifica: a) sen (α + β) sen γ = 0 b) cos (α + β) + cos γ = 0 c) tg (α + β) + tg γ = 0 Ten en cuenta que α + β = 180 γ y las relaciones que existen entre las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios. 47 Demuestra que si α + β + γ = 180, se verifica: tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ Haz α + β = 180 γ y desarrolla tg (α + β) = tg (180º γ).

41 48 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos x, dando a x valores comprendidos entre 0 y π radianes y represéntala gráficamente. 49 Representa las funciones: a) y = cos ( ) x + π b) y = sen ( ) x + π π c) y = cos ( x)

42 PARA PROFUNDIZAR 50 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: sen x + sen y = 3 a) cos x + cos y = 1 sen x + cos y = 3/4 b) cos x sen y = 1/4 cos (x + y) = 1/ c) sen (x y) = 1/

43 51 Demuestra que: a) sen x = b) cos x = c) tg x = tg x/ 1 + tg x/ 1 tg x/ 1 + tg x/ tg x/ 1 tg x/

44 PARA PENSAR UN POCO MÁS 5 Demuestra que, en la siguiente figura, α = β + γ. γ β α

45 a) Puedes realizar la demostración recurriendo a la fórmula de la tangente de una suma. b) Hay una posible demostración, más sencilla y elegante que la anterior, reconociendo los ángulos α, β y γ en la siguiente figura: 53 Obtén la fórmula siguiente: sen α + cos α = cos (α 45 ) Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la fórmula correspondiente.

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