RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Transcripción

1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.- PRIMERAS DEFINICIONES Se denomina ángulo en el plano a la porción de plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común denominado vértice. Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. Un arco de circunferencia es una porción de dicha circunferencia limitada por dos puntos ordenados A y, origen y extremo respectivamente. Con estos dos puntos se determinan dos arcos, uno al que denominaremos arco positivo, obtenido al ir de A a en sentido contrario a las agujas del reloj y otro, arco negativo, obtenido al ir de a A en el sentido de las agujas del reloj. El grado sexagesimal, como unidad de medida de ángulos y arcos, corresponde a dividir un ángulo completo, toda la circunferencia para el arco, en 60 partes. En el Sistema Internacional, la unidad de medida de ángulos y arcos es el radián. Un radián se puede definir como la medida de un ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio de la circunferencia. En la siguiente figura aparece la correspondencia entre grados sexagesimales y radianes para los ángulos y arcos correspondientes a un cuarto, la mitad, tres cuartos y la circunferencia completa. Así mismo se indica la numeración correspondiente a los cuatro cuadrantes. I : Primer cuadrante, II: Segundo cuadrante, III: Tercer cuadrante y IV: Cuarto cuadrante. El arco A mide: 90º = π/ rad. El arco AC mide: 80º = π rad. C II I A El arco AD mide: 70º = π/ rad. III IV El arco AA mide: 60º = π rad. D Fig..- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Sea un sistema de ejes cartesianos y una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio r. En la figura, sea P(x,y) un punto sobre la misma y el ángulo central correspondiente al arco AP. Las razones trigonométricas del ángulo se definen a continuación:

2 sin= y cos= x csc= r sec= r tan= y cot= x r r y x x y Si se considera r =, entonces la abscisa del punto P es igual a cos, mientras que la ordenada de P es igual a sin (Figura ). r Pxy (, ) A r = ( cos,sin ) P Fig. Fig. Teniendo esto en cuenta, en función del cuadrante en que se encuentre el extremo del arco, P, el signo de las razones trigonométricas variará tal y como se recoge en el siguiente cuadro. Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV sin cos tg csc sec cotg En la siguiente tabla aparecen los valores numéricos de algunos ángulos importantes del primer cuadrante expresados en radianes. =0 =π/6 =π/4 =π/ =π/ sin 0 // / cos // / 0 tg 0 / ±

3 .- RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS..- Relaciones Fundamentales (Teorema de Pitágoras) Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 4, sin cos + = () Dividiendo la relación () por cos, tan + = sec () Dividiendo la relación () por sin, + cot = csc ()..- Ángulos opuestos. cos Fig. 4 sin Sea P el extremo del arco correspondiente al ángulo y Q el extremo del arco correspondiente al ángulo opuesto, - (Fig. 5). Teniendo en cuenta la igualdad de los triángulos rectángulos OPP y OQP de la figura 5, las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulo y - son: sin cos tan ( ) ( ) ( ) = sin = cos = tan O - P(x,y) P Q(x,-y)..- Ángulos suplementarios. Fig. 5 Sea P el extremo del arco correspondiente al ángulo y Q el extremo del arco correspondiente al ángulo suplementario, π-. Teniendo en cuenta la igualdad de los triángulos rectángulos OPP y OQQ de la figura 6, las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulo y π - son: sin cos tan π = sin π = cos π = tan Q(-x,y) P(x,y) π Q O P Fig. 6

4 .4.- Ángulos que difieren en π radianes Sea P el extremo del arco correspondiente al ángulo y Q el extremo del arco correspondiente al ángulo π+ (Fig.7). Teniendo en cuenta la igualdad de los triángulos rectángulos OPP y OQQ de la figura 7, las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos y π+ son: sin cos tan π + = sin π + = cos π + = tan Q π + P(x,y) O P.5.- Ángulos complementarios Q(-x,-y) Fig. 7 Sea P el extremo del arco correspondiente al ángulo y Q el extremo del arco correspondiente al ángulo complementario π/ -. Teniendo en cuenta la igualdad de los triángulos rectángulos OPP y OQQ de la figura 8, las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulo y - son: Q(y,x) sin π / = cos cos π / = sin tan π / = cot π / P(x,y) O Q P Fig Razones trigonométricas de la suma o resta de ángulos sin ± β = sin cos β ± cos sin β (4) cos ± β = cos cos β sin sin β (5) tan tan ± tan β ± = tan tanβ ( β).7.- Razones trigonométricas del ángulo doble Aplicando las expresiones anteriores al caso particular de +, se obtiene: 4

5 sin = sin cos cos = cos sin (6) tan tan = tan.8.- Razones trigonométricas del ángulo mitad Despejando en la expresión (6) sin o cos, en función de cos, se obtienen las expresiones correspondientes al ángulo mitad: cos + cos cos sin =± cos =± tan =± + cos.9.- Sumas y restas de senos y cosenos.9..- De Suma a Producto. A partir de las expresiones (4) y (5) se puede transformar una suma/resta de senos o cosenos en un producto. Las expresiones resultantes son: A+ A. sin A+ sin = sin cos A A+. sin A sin = sin cos A + A. cos A+ cos = cos cos A+ A 4. cos A cos = sin sin.9..- De Producto a suma. Estas expresiones son de interés en el cálculo de integrales cuyo integrando es un producto de senos, cosenos, o seno por coseno, y se deducen fácilmente a partir de las expresiones anteriores.. sin A cos = sin ( A+ ) + sin ( A ). cos A cos = cos( A+ ) + cos( A ). sin A sin = cos ( A+ ) cos( A ) 5

6 4.- FUNCIONES INVERSAS O RECÍPROCAS DE LAS FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS. En el tema correspondiente a Funciones se tratarán tanto las funciones trigonométricas: sin, cos, tan, sec, csc y cot como sus correspondientes funciones inversas: arcsen, arccos, arctan, arcsec, arccsc y arccos. En ese punto simplemente se trata de presentar el significado de las expresiones matemáticas arcsen, arccos, etc. El término y = sin, o y es el seno de se puede expresar de forma equivalente diciendo es el ángulo cuyo seno es y que se representa matemáticamente como = arcsin y. En la expresión = arcsin y se cumple que para un valor concreto de y, por ejemplo ½, π 5π π =, =, =, son todos ellos ángulos cuyo seno vale ½. El conjunto de todos los ángulos cuyo seno vale ½ viene dado por π 5π π + kπ + kπ k = 0± ±. El valor, es decir, de los infinitos valores, el π π que pertenece al intervalo, se denomina valor principal. Para las funciones 0,π arccos y arctan, el valor principal es el que pertenece al intervalo [ ] 5.- EJEMPLOS.- Expresar en radianes los siguientes ángulos dados en grados: 0º, 45º, 60º, 90º, 0º, 50º, 80º, 0º, 40, 70º y 60º. 0º = π /6rad 45º = π /4rad 60º = π /rad 90º = π /rad 0º = π /rad 50º = 5 π /6 80º = π rad 0º = 7 π /6rad 70º = π /rad 60º = π rad.- Indicar cuáles de los siguientes valores son posibles y cuáles no: a) cos = b) tan = c) sin = 0 d) sin = e) sin = / y csc = Los valores de los apdos. b) y c) son posible. Los valores de los apdos. a) y d) son imposibles ya que el seno y el coseno de un ángulo deben estar comprendidos entre - y. El valor del apdo. e) es imposible ya que el seno y la cosecante de un ángulo deben tener el mismo signo..- Siendo f ( x) sinx 4cosx = +, calcular el valor de ( /) f π. rad 6

7 f ( π /) = sin( π /) + 4cos( π /) = + 4 = 4.- Si 4 tan = y 5 sec =, A qué cuadrante pertenece el extremo P del arco? La tangente de un ángulo es positiva en los cuadrantes primero y tercero, mientras que la secante, igual que el coseno, es negativa en los cuadrantes segundo y tercero, luego el punto P debe pertenecer al tercer cuadrante. 5.- Factorizar la expresión : sin sin. sin sin sin sin sin sin sin cos cos sin = + = = = sin cos sin cos = sin 4 sin 6.- Simplificar la expresión: cos a cos a +. + sin a sin a cos a cos a cos a sin a + cos a + sin a cos a + = = = a a a a a + sin sin sin cos cos 7.- Hallar todas las soluciones de la ecuación cos x = 0. cos x = 0 cos x= / cosx=± Los ángulos comprendidos entre 0 y π cuyo coseno es son π 7π y, y aquellos 4 4 cuyo coseno es son π 5 π y. Si a cualquiera de estos valores se le suma un 4 4 múltiplo de π el coseno del ángulo resultante es el mismo por lo que todas las raíces π π 5π 7π están dadas por : + kπ, + kπ, + kπ, + kπ, k= 0± ±. Este (k + ) π conjunto se puede expresar de forma más sencilla como:, k = 0± ± Factorizar la expresión cos a sin a. 4 4 cos sin = cos + sin cos sin = cos = cos a a a a a a a a π 9.- Calcular cos x cos xdx. 0 7

8 π π π π cos x cos xdx = cos x cos x dx cos xdx cos xdx 0 + = + = π sin x π sin π sin 0 = + sin x = + (sinπ sin 0) = Calcular el valor de cos[arcsen(-)]. Sea arcsin( ) π / = =. [ ] ( π ) 6.- EJERCICIOS PROPUESTOS cos arcsin( ) = cos / = 0.- Simplificar la expresión:( sin a+ cos a) + sin a sin a..- Calcular el valor de π 5π 4π π π cos cos + sin + sin tan + cos 4π Calcular el valor de sin sabiendo que π < < π y que sin = /. 4.- Calcular el valor de: a) sin π π π y b) cos 4 sin Calcular la solución de la ecuación : L( sin x ) = 0 en el intervalo [0, π]. π 6.- Calcular sin( x) cos( xdx ). π 7.- Sea tal que 0 < < π/ y a sin = a b + b con a >0 y b>0, calcular cos 8.- Si sec x tan x =, calcular el valor de sec x + tan x 9.- Calcular el valor de 5π 7π 5π π sin cos cos tanπ cot cos Sea tal que 0 π /4 Ordenar r, r y r. < <, y r cot = tan, r tan = cot y r cot cot 7.- SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS.- sin a /9 =. 8

9 4.- a) b) 5.- x = π / a+ b ( a + b ). 8.- ½ / r < r < r 9