1º Bachillerato Matemáticas I Tema 3: Trigonometría Ana Pascua García

Transcripción

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2 . MEDIDAS DE ÁNGULOS. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Para medir los ángulos solemos utilizar las siguientes unidades: el grado sexagesimal y el radián. Grado sexagesimal: Se denomina grado sexagesimal a la medida del ángulo central que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Recuerda que un grado equivale a 60 minutos, y cada minuto a 60 segundos, º 60 ' es decir: º 3600' '. ' 60'' Luego un ángulo recto mide 90º, uno llano 80º y uno completo 360º. Radián: Se denomina radián a la medida del ángulo central de una circunferencia en el que el arco mide la longitud del arco. Nota: Un ángulo completo (360º) mide π rad (la longitud de toda la circunferencia). Y un ángulo llano (80º ) mide π radianes (media circunferencia) Observaciones: * Observa que la apertura del ángulo no depende del tamaño de la circunferencia. * Con una simple regla de tres podemos encontrar la equivalencia entre la medida de un ángulo en radianes y en grados sexagesimales. Consideremos una circunferencia de radio r, 360 º π rad 80º π rad Véase: Ángulo ( grado sexagesimal) Ángulo (en radianes) 80º π α º x 80º π ( rad) Obtenemos α º x( rad) e lo que se deduce α º π x rad 80º Página de 9

3 Es fácil pasar la medida de un ángulo del sistema sexagesimal a radianes y viceversa. Véanse los ejemplos: a) 30º b) 80º 30º π π rad π x 30º rad x( rad) 80º 6 7π 7π 80º 7 80º π b) rad x rad 40º 3 3 π rad 3π Razones trigonométricas de un ángulo agudo Las razones trigonométricas son relaciones matemáticas entre las medidas de ángulos y distancias. Se utilizan en muchas ocasiones, como para el cálculo de alturas y distancias entre puntos no accesibles, la descomposición de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo... Definimos las razones trigonométricas de un ángulo agudo independientemente del triángulo rectángulo que forme, del siguiente modo: También se definen las razones inversas de las anteriores: Inversa del seno Cosecante Inversa del coseno Secante cosec Bˆ sec Bˆ Inversa de la tangente Cotangente sen B ˆ cos Bˆ cotg Bˆ tg B ˆ Página 3 de 9

4 Es importante conocer las razones trigonométricas de algunos ángulos agudos, como son 30º, 45º y 60º. Recuerda con los siguientes ejercicios resueltos cómo calcularlas. π.- Halla las razones trigonométricas del ángulo de 45º rad 4 Si consideramos un cuadrado de lado a y trazamos una de sus diagonales, obtenemos dos triángulos rectángulos iguales e isósceles como los de la siguiente figura π.- Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 30º rad 6 π y 60º rad 3 Ejercicios propuestos:.- Determina todas las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 0 cm..- Halla las razones trigonométricas inversas del ángulo menor en el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 0 cm. Página 4 de 9

5 .-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Ejemplo: Página 5 de 9

6 Razones trigonométricas de un ángulo en el primer cuadrante. Consideremos la circunferencia goniométrica, esto es, de radio r. Trazamos el ángulo α y consideremos los puntos A, A', A'' y B que se aprecian en el dibujo, y que forman los triángulos OAA' y O A''B. Podemos definir las razones trigonométricas de α, con ayuda de las coordenadas cartesianas de los puntos A, A', A''. AA ' sen α AA' OA ' OA' AA' A'' B A' ' B tgα OA' semejanza de triángulos De este modo, puede apreciarse que las coordenadas cartesianas del punto A(x, y) de la imagen anterior, coinciden con el senα y respectivamente. Es decir A (senα, ) Razones trigonométricas de un ángulo en el resto de cuadrantes: Procediendo de la misma forma, las razones trigonométricas en el resto de cuadrantes serán: Es importante conocer el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuatro cuadrantes, pero es sencillo, si nos fijamos en el signo de las coordenadas cartesianas del punto A (intersección de uno de los lados del ángulo y la circunferencia goniométrica). Página 6 de 9

7 Proposición : Para cualquier ángulo α, se verifica sen α Demostración: En cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, y como el seno y el coseno son las razones entre los catetos y la hipotenusa, estos valores nunca pueden ser mayores que ; cateto opuesto cateto contiguo sen α ; cqd hipotenusa hipotenusa Nota : sen 90º ; cos 0º sen 70º - cos 70º - Proposición : cosecα R (, ) y secα R (, ) Demostración: La haremos para cosecα y se procede de la misma forma para secα Por un lado, cosecα senα Por otro lado sen α Luego: [, ) sen sen α α senα, U, cosecα R senα sen (, ] α senα senα ( ] [ ) (, ) cqd Proposición 3: Tanto la tangente como la cotangente de un ángulo pueden tomar cualquier valor real es decir: tgα R y cotgα R. Demostración: Es evidente que pueden tomar cualquier valor, considerando que son cociente de los catetos de un triángulo. En la siguiente tabla puedes observar las razones trigonométricas de los principales ángulos Página 7 de 9

8 3.-REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de un ángulo, permitirá calcular las razones de cualquier ángulo conociendo solo las de los ángulos del primer cuadrante. Distinguiremos varios casos: - Ángulos suplementarios: Cuando suman 80º. En el dibujo: α y ( 80º α ) Ejemplos: a) b) - Ángulos que se diferencian en 80º: En el dibujo: α y ( 80º + α) Ejemplo: - Ángulos mayores de 360º: Sus razones trigonométricas coinciden con las de su ángulo reducido. Ejemplo: Página 8 de 9

9 - Ángulos complementarios: Los que suman 90º. En el dibujo α y ( 90º α ) Ejemplo: - Ángulos que suman 360º: En el dibujo, α y ( 360º α ) Ejemplo: - Ángulos negativos: En el dibujo α y α Ejemplos: Página 9 de 9

10 4.- RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Relación fundamental de la trigonometría sen α + cos α Demostración: Basta aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo que se observa en la figura: cqd tg α + sec α Demostración: Partimos de la relación sen α + cos α Dividimos ambos miembros por cos α 0 Simplificamos: α + cos α sen cos α cos α α sen cos α senα + + tg cos α cos α ( secα ) α + sec α cqd + cotg α cosec α Demostración: Partimos de la relación sen α + cos α Dividimos ambos miembros por sen α 0 Simplificamos: sen α + cos α sen α sen α α sen cos α + + ec sen α sen α senα senα ( cos α ) + cotg α cosec α cqd Página 0 de 9

11 5.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS Razones trigonométricas de la suma de ángulos Proposición : a) sen ( α + β ) senα cos β + senβ b) cos( α + β ) cos β sen α senβ c) tg( α + β ) tgα + tgβ tgα tgβ Demostración : Para la demostración consideremos la construcción geométrica de la figura, en la que el triángulo ADB es rectángulo de hipotenusa AB. De esa forma, el cateto BD senβ y AD cos β. Observa que los ángulos DAE y BDC son iguales (sus lados son perpendiculares), llamemos α a dicho ángulo. Hallemos las razones trigonométricas del ángulo α en los triángulos BCD y AED En el triángulo BCD : BC CD sen α BC senα senβ CD senβ senβ senβ En el triángulo AED: DE AE sen α DE senα cos β cos α AE cos β cos β cos β Procedamos a demostrar las proposiciones: BF a) sen( α + β ) BF CE DE + CD sen α cos β + senβ cqd. Página de 9

12 AF + cqd b) cos( α β ) AF AE EF AE BC cos β senα senβ c) tg ( α + β ) sen cos ( α + β ) ( α + β ) senα cos β + senβ cos β senα senβ senα cos β + senβ cos β tgα + tgβ cos β senα senβ tgα tgβ cos β Dividimos numerador y denominador cos β simplificamos cqd Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos Proposición : a) sen( α β ) senα cos β senβ b) cos ( α β ) cos β + sen α senβ c) tg( α β ) tgα tgβ + tgα tgβ Demostración: Basta considerar las fórmulas de las razones trigonométricas para la suma de ángulos (Proposición ) y cambiar el ángulo β por β, teniendo en cuenta que : sen β senβ cos tg ( ) ( β ) cos( β ) ( β ) tg( β ) Ejercicios propuestos:.- Calcula tg 05º, sin calculadora..- a) Calcula las razones trigonométricas de 5º sin usar calculadora. b) Usando los resultados anteriores, halla tg 75º. 3π 3.- Demuestra que sen α + Página de 9

13 6.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD Ángulo doble Proposición: a) sen ( α ) senα cos cos sen b) ( α ) α α Demostración: c) tg( ) tgα tg α α Basta sustituir α por β en las fórmulas trigonométricas de la suma α + β a) sen (α ) sen ( α + α ) senα + senα senα b) cos (α ) cos( α + α ) senα senα cos α sen α c) tg (α ) tg( + α ) tgα + tgα tgα tgα tgα tg α α Ángulo mitad Proposición: a) α sen ± b) c) α + cos ± α tg ± + Demostración: a) Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble: cos α cos α sen α sen α sen α sen α ( ) Fórmula fundamental de la trigonometría sen α + cos α cos α sen α Luego: cos α sen α sen α cos ( α ) cos α α senα ± sen ± sen cos α α cqd Página 3 de 9

14 b) Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble: ( α ) cos α α cos sen cos α ( cos α ) cos α + cos α cos α Luego: ± Fórmula fundamental de la trigonometría sen α + cos α sen α cos α cos α cos α + cos + α cos ± ( α ) + cos + α cqd α sen ± α c) tg ± α + + cos ± cqd Ejercicios propuestos: 3.- Demuestra que sen3α 3senα cos α sen α π.- Calcula tg 8 Solución:.-.- Página 4 de 9

15 7. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS Ejercicios:.-.- Página 5 de 9

16 8.- ECUACIONES Y SISTEMAS TRIGONOMÉTRICAS Ecuaciones: Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las que la incógnita es el ángulo que se quiere calcular. Estas ecuaciones normalmente tendrán infinitas soluciones que podremos expresar en grados sexagesimales o en radianes. Una vez averiguado el cuadrante en el que se encuentra el ángulo, mediante arco seno (arcsen), arco coseno (arccos) o arco tangente (arctg); hallaremos el ángulo, conociendo el valor de la razón trigonométrica. Recuerda: Veamos algunos ejemplos sencillos: 3.- sen x Como sen x es positivo, el ángulo que buscamos estará en el primer o tercer cuadrantes. 3 x arcsen 60º ( en el primer cuadrante). Pero x 0º (º cuadrante) también es solución de la ecuación. Todas las demás soluciones se obtendrán sumando o restando vueltas completas a estas soluciones. Luego x 60º + 360º k, π k Ζ o en radianes x º + π k, 3 x 0º + 360º k, k Ζ x π º + π k, 3 k Ζ k Ζ.- sen x + cosx Solución: Página 6 de 9

17 Sistemas: Los resolveremos usando los métodos habituales de sustitución o reducción. Importante: Hay que comprobar las soluciones por si en el proceso de resolución se han añadido soluciones erróneas. Ejemplo: 9.- TEOREMA DEL SENO. TEOREMA DEL COSENO. TEOREMA DE LA TANGENTE APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Teorema del seno: Teorema del Coseno: Página 7 de 9

18 Teorema de la tangente: Resolución de un triángulo cualquiera: Resolver un triángulo es calcular lo que miden sus lados y sus ángulos. Para ello podemos usar, dependiendo del caso en el que nos encontremos: - Razones trigonométricas - Teorema del Seno - Teorema del Coseno - Para triángulos rectángulos: - Teorema del cateto b a n c a m - Teorema de la altura h m n - Teorema de Pitágoras. a b + c Veamos algunos casos que pueden presentarse y qué teoremas aplicar para resolver el triángulo. Página 8 de 9

19 RESUMEN DE TEMA 3: TRIGONOMETRÍA Página 9 de 9