Tutorial MT-b9. Matemática Tutorial Nivel Básico. Trigonometría en triángulo rectángulo

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1 M ate m ática Tutorial MT-b9 Matemática 006 Tutorial Nivel Básico Trigonometría en triángulo rectángulo

2 Matemática 006 Tutorial Trigonometría en triangulo rectángulo.un poco de historia: Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre Júpiter y Marte, o una distancia que no podía ser medida de una forma directa. Su origen se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia, y se usaban para efectuar medidas agrícolas y además en la construcción de las pirámides. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a estudiarse como una rama de las matemáticas.. Definición: de un modo resumido podemos decir que la trigonometría es la parte de las matemáticas elementales puras, que trata de la resolución analítica de los triángulos, relacionando sus ángulos y lados. El triángulo ABC es rectángulo en C y lo utilizaremos para definir las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.. Seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.. Coseno es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa..4 Tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente, además equivale a la razón entre seno y coseno. A b c Sen = b c Cos = a c C a B Tg = b a Ejemplo: Sen = 5 5 Cos = Tg = 4

3 . Triángulos trigonométricos: Dos triángulos muy utilizados en trigonometría son el triángulo rectángulo de ángulos 0º, 60º y 90º (medio triángulo equilátero) y el triángulo rectángulo isósceles, estos triángulos son utilizados principalmente para encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos 0º y 60º en el primer caso y del ángulo de 45º en el segundo caso. 0º 45º Matemática º 45º De donde se desprende que: Sen 0º = Cos 60º = Cos 0º = Sen 60º = tg 0º =, racionalizando: tg 60º = Sen 45º = Cos 45º =, racionalizando: tg 45º =. Secante, Cosecante y Cotangente: Otras funciones trigonométricas utilizadas son:. Secante es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.. Cosecante es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.. Cotangente es la razón entre el cateto adyacente y el opuesto, además equivale a la razón entre coseno y seno.

4 Matemática 006 Tutorial O sea: Secante = Cosecante = Cotangente = hipotenusa cat. adyacente = coseno hipotenusa cat. opuesto cat. adyacente cat. opuesto = seno = coseno seno = tg Ejercicios:. corresponde a un ángulo interno agudo de un triángulo rectángulo, si sen = 5, cos = A) B) C) D) 5 E) 5. corresponde a un ángulo interno agudo de un triángulo rectángulo, si cos = 9, sen + tg = 5 A) 5 B) 9 C) 5 D) E) 9 4

5 . y β corresponden a los ángulos internos agudos de un triángulo rectángulo, si sen = 6 0, sen β = A) B) Matemática 006 C) 0 8 D) 8 E) sen 45º - cos 45º + sen 0º = A) B) C) D) E) 5. cotg 45º + cosec 0º = A) B) C) D) E) No se puede calcular 5

6 Matemática 006 Tutorial 6. Cuánto mide el sen, del siguiente triángulo? A) 5 B) 0 C) 6 0 D) 4 5 E) Otro valor Cuánto mide sen + cos?, en el siguiente triángulo: A) B) 5 C) 7 4 D) 6 0 E) Cuánto mide la expresión sen cos β 5?,en el siguiente triángulo: 6 A) 4 0 B) 6 5 β C) 4 D) 0 E)

7 9. Se tiene un triángulo rectángulo de catetos 5 y 0, el seno y coseno del ángulo agudo mayor corresponden a: A) sen = 5 B) sen = 4 5 C) sen = 5 4 cos = 4 5 cos = 5 cos = 5 Matemática 006 D) sen = 4 cos = 4 E) sen = 4 5 cos = 4 0. Señale cuál es la alternativa FALSA. A) Si uno de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es 45º y uno de sus catetos mide cm es posible conocer el valor de la tangente de 45º. B) La cosecante equivale a sen. C) La tangente de 45º equivale a la cotangente de 45º. D) Si el seno de un triángulo rectángulo es 0 50 el coseno es E) Conocidos los tres ángulos interiores de un triángulo es posible resolver el triángulo.. Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 0º según se muestra en la figura. A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de kilómetros? A) 500 metros B) 000 metros C) 6000 metros d D) 500 metros Km. E) 000 metros 0º 7

8 Matemática 006 Tutorial. Al mirar la cumbre del cerro San Cristóbal desde un punto en plaza Baquedano se observa que el ángulo de elevación es de 0º. Al acercarse horizontalmente 580 metros, el ángulo es ahora 60º. Cuál es la altura del cerro San Cristóbal? A) 90 metros B) 580 metros C) 60 metros D) 60 metros E) 580 metros. Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) igual(es) a: sen60º cosec60º? I) II) III) tg 45 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) Sólo I y III 4. Desde un punto A en el piso se forma un ángulo de elevación de 0º con la parte más alta de un edificio, desde otro punto B también en el piso y más cercano al edificio, se forma un ángulo de elevación de 60º con la parte más alta del edificio, como indica la figura. Si la distancia entre el punto A y B es de 0 metros, es posible afirmar que D A) el triángulo ABD es escaleno. B) la altura del edificio es 0 metros. C) la distancia entre A y C es 5 metros. D) la distancia entre A y C es 45 metros. E) la distancia entre B y D es 5 metros. A 0º 60º B C 8

9 5. En la figura, cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? I. tg = 5 II. sen + sen β = 7 5 III. tg β - tg = -7 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III f β 4f Matemática 006 Respuestas Preg. Alternativa B A A 4 D 5 B 6 D 7 C 8 C 9 B 0 E C A E 4 D 5 B 9

10 Matemática 006 Solucionario Solucionario:. Alternativa correcta letra B) Utilizando la definición del seno, uno de los muchos triángulos rectángulos que satisfacen la igualdad sen = 5 es: 5 Utilizando Pitágoras, tenemos que: 5 Finalmente utilizando la definición de coseno, resulta cos =. Alternativa correcta letra A) Utilizando la definición del coseno, uno de los muchos triángulos rectángulos que satisfacen la igualdad cos = 9 5 es: 5 9 0

11 Utilizando Pitágoras, tenemos que el valor del otro cateto es Luego, utilizando la definición de seno y tangente, resulta sen = (Simplificando por ) 5 = 4 5 tg = 9 (Simplificando por ) Matemática 006 = 4 Luego sen + tg = = (Sumando fracciones) = (Sumando el numerador) 5. Alternativa correcta letra A) y β corresponden a los ángulos internos agudos de un triangulo rectángulo, si sen = 6 0, sen β = Utilizando la definición del seno, uno de los muchos triángulos rectángulos que satisfacen la igualdad sen = 6 0 es: β 6 0 Utilizando Pitágoras, tenemos que el valor del otro cateto es 8

12 Matemática 006 Solucionario finalmente utilizando la definición de seno tenemos que: sen β = 8 0 = Alternativa correcta letra D) (Simplificando por ) En este caso utilizamos los valores dados en el marco teórico de esta tutoría, en donde sen 45º = cos 45º = sen 0º =, luego sumando - + = 5. Alternativa correcta letra B) Utilizando la definición en donde cotangente = Cotangente 45º = tg45º = = Utilizando la definición en donde cosecante = que: Cosecante 0º = sen0º = Luego, cotg 45º + cosec 0º = + = = y dado que tg 45º =, tenemos que: tg sen y dado que sen 0º =, tenemos 6. Alternativa correcta letra D) Primero aplicamos teorema de Pitágoras, con lo cual descubrimos que el valor de la hipotenusa corresponde a 0. Luego aplicando la definición de seno, resulta sen = 4 sen = (Simplificando por )

13 7. Alternativa correcta letra C) Utilizando Pitágoras, tenemos que: utilizando la definición de seno y coseno, tenemos que: sen = 4 (Simplificando por ) 6 = cos = 0 (Simplificando por ) 6 Matemática 006 = 5 finalmente sen + cos = = (Sumando fracciones) = 7 8. Alternativa correcta letra C) Utilizando Pitágoras, tenemos que: β utilizando la definición de seno y coseno,tenemos que: sen = 4 (Simplificando por 6) 0

14 Matemática 006 Solucionario = 4 5 cos β = 4 0 (Simplificando por 6) = 4 5 entonces, sen cos β = = (Simplificando) 9. Alternativa correcta letra B) Primero aplicamos teorema de Pitágoras, con lo cual descubrimos que el valor de la hipotenusa corresponde a 5. Gráficamente tenemos: A 5 5 C 0 B Además aplicando la máxima a mayor lado se opone mayor ángulo,debemos calcular seno y coseno del ángulo CAB, luego aplicando la definición de seno y coseno, resulta Seno CAB = 0 (Simplificando por 5) 5 Seno CAB = 4 5 Coseno CAB = 5 5 (Simplificando por 5) Coseno CAB = 5 4

15 0. Alternativa correcta letra E) Con sólo conocer los ángulos interiores de un triangulo no es suficiente para conocer sus lados, ya que existen infinitos triángulos semejantes a uno dado con idénticos ángulos.. Alternativa correcta letra C) Utilizando la definición de seno Sen 0º = d d = sen0º (Despejando d) (Aplicando que sen 0º = ) Matemática 006 d = (Dividiendo) d = 6 km o d = m. Alternativa correcta letra A) Al mirar la cumbre del cerro San Cristóbal desde un punto en plaza Baquedano se observa que el ángulo de elevación es de 0º. Al acercarse horizontalmente 580 metros, el ángulo es ahora 60º. Cuál es la altura del cerro San Cristóbal? En forma gráfica, resulta D A 0º 60º 580 B C 5

16 Matemática 006 Solucionario Completando los ángulos internos tenemos que: A 0º 0º 60º 580 B 0º D C Con lo cual AB = BD Luego sen 60º = altura 580 (Despejando altura) sen 60º 580 = altura (Reemplazando sen 60º = ) 580 = altura (Multiplicando las raíces) 580 altura (Multiplicando y dividiendo) altura = 90. Alternativa correcta letra E) I) II) III) tg 45º Si, sen 60º = cosec 60º = sen 60º = 6

17 Entonces sen 60º cosec 60º = = (Simplificando) luego como = I es verdadera tg 45º = 4. Alternativa correcta letra D) III es verdadera Matemática 006 Desde un punto A en el piso se forma un ángulo de elevación de 0º con la parte más alta de un edificio, desde otro punto B también en el piso y más cercano al edificio, se forma un ángulo de elevación de 60º con la parte más alta del edificio, como indica la figura. Si la distancia entre el punto A y B es de 0 metros es posible afirmar que: D A 0º 60º 0 metros B C Completando los ángulos internos tenemos que: D 0º A 0º 0º 60º 0 metros B C Con lo cual AB = BD Luego cos 60º = BC BD cos 60º = BC 0 (Despejando) 7

18 Matemática 006 Solucionario BC = cos 60º 0 aplicando cos 60º = BC = 0 = 5 Luego AC = AB + BC (Reemplazando) AC = = 45 metros 5. Alternativa correcta letra B) Utilizando Pitágoras, tenemos que: β f 5f 4f Luego utilizando definición de tangente: f tg = simplificando por f, resulta tg = 4f Utilizando definición de seno: 4 con lo cual I es falsa. sen + sen β = = 7, con lo cual II es verdadera. 5 Utilizando definición de tangente: tg β - tg = 4-4 = (Restando las fracciones) 6-9 = 7,con lo cual III es falsa 8

19 Mis notas Matemática 006 9

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