Capítulo 7. Trigonometría del triángulo rectángulo. Contenido breve. Presentación. Módulo 17 Medición de ángulos. Módulo 18 Ángulos notables

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1 Capítulo 7 Trigonometría del triángulo rectángulo Contenido breve Módulo 17 Medición de ángulos Módulo 18 Ángulos notables La trigonometría se utiliza para realizar medidas indirectas de posición y distancias. Presentación Módulo 19 Resolución de triángulos Ejercicios Capítulo 7, módulos 17 al 19 La trigonometría del triángulo rectángulo pudo tener su origen en las mediciones indirectas de los griegos de distancias y, también, de tierras inundadas por el río Nilo en el antiguo Egipto. Originalmente, las funciones trigonométricas se restringieron al dominio de los ángulos internos de un triángulo rectángulo y sus aplicaciones tenían que ver con la medición indirecta de ángulos y de distancias. Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos internos es recto. Se estudiarán en estos módulos las diferentes formas de medir ángulos y se definirán las funciones trigonométricas de estos ángulos interiores en términos de la hipotenusa y los catetos del triángulo rectángulo. 19

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3 17 Medición de ángulos Introducción En este módulo se comienza el estudio de la trigonometría del triángulo rectángulo. Se inicia definiendo qué es un ángulo y cuáles son las formas más utilizadas para medirlo. Se definen a continuación las seis funciones trigonométricas que resultan de relacionar los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Se termina con unos sencillos ejemplos de aplicación. Pitágoras ( a. C.) Filósofo y matemático griego, fundador de un movimiento religioso, político y filosófico conocido como pitagorismo. Los pitagóricos realizaron amplios estudios sobre los números pares e impares, los primos y los cuadrados, esenciales en la «teoría de los números». En geometría se les recuerda por el descubrimiento del conocido «teorema de Pitágoras». Objetivos 1. Definir las funciones trigonométricas. 2. Definir qué es un ángulo y las diferentes formas de medida de ángulos. Preguntas básicas 1. Cómo se definen las funciones trigonométricas? 2. Qué es ángulo?. Qué es un grado? Qué es un radián? 4. Cómo se convierten grados a radianes y radianes a grados? Contenido 17.1 Introducción 17.2 Medición de ángulos Definición de ángulo Medida en grados Medida en radianes Conversión de radianes a grados y de grados a radianes Visite el sitio AlgebraTrigonometria/ Vea el módulo 17 del programa de televisión 195

4 Capítulo 7:Trigonometría del triángulo rectángulo 17.1 Introducción Un triángulo se llama triángulo rectángulo si uno de sus ángulos mide 90 grados (figura 17.1). Como consecuencia de lo anterior, los otros dos ángulos interiores son agudos, o sea menores de 90 grados, ya que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180 grados. Sea el triángulo rectángulo siguiente: Figura Triángulo rectángulo de hipotenusa c En el triángulo anterior, denotando por un ángulo agudo, a es el lado opuesto, b es el lado adyacente y c es la hipotenusa. En el triángulo anteriormente descrito, se introducen seis razones fundamentales de la trigonometría, definidas así: a 1. Seno de, que se denota por sen y se define como sen =. c b 2. Coseno de, que se denota por cos y se define como cos. c a. Tangente de, que se denota por tan y se define como tan. b b 4. Cotangente de, que se denota por cot y se define como cot. a c 5. Secante de, que se denota por sec y se define como sec. b c 6. Cosecante de, que se denota por csc y de define como csc. a Hay que notar que las dos primeras razones cumplen las siguientes desigualdades: 0 sen 1, 0 cos

5 Módulo 17: Medición de ángulos Lo anterior se debe a que en cualquier triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. En la siguiente sección se estudiarán diferentes formas de medidas de ángulos. Ejemplo 1 Supóngase que se quiere medir el ancho de un río, sin mojarse los pies, como lo muestra la figura C x A B Figura Forma indirecta de medir el ancho de un río Se procede así: se localiza un árbol en el punto C de la orilla opuesta y se pone en B una piedra en frente de él en la orilla opuesta. Se pone otra piedra en A a 50 metros de B y con un teodolito se mide el ángulo entre AB y AC. En estas condiciones se tiene que: x tan, o sea que x = 50 tan. 50 Para el trabajo con triángulos rectángulos, que involucran ángulos agudos, se requiere solamente la noción de ángulo adquirida de la geometría euclidiana Medición de ángulos Para obtener un desarrollo más extenso de la trigonometría se necesita una nueva perspectiva porque no solamente se permiten ángulos arbitrariamente grandes, sino también ángulos con medidas positivas y negativas. Se definirán a continuación los conceptos de ángulo y los diferentes tipos de medidas de éstos. Escuche Historia de Pitágoras en su multimedia de Álgebra y trigonometría 197

6 Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Definición de ángulo Un ángulo es el conjunto de puntos sobre dos rayos (o segmentos de recta) que tienen un punto en común O. Los dos rayos que forman un ángulo se denominan lados del ángulo y el punto común se denomina vértice. Se indicarán los ángulos con letras griegas como,, o con tres letras sobre el ángulo, como lo ilustran los esquemas de la figura 17.. B O A O Figura 17.. Formas de representar un ángulo Para formar un ángulo se comienza con un lado denominado lado inicial en una posición fija. Después se comienza con el segundo lado, denominado lado terminal en la misma posición que el inicial y se rota el terminal en un plano alrededor de O hasta encontrar la posición final. Una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo; una rotación en el sentido de las manecillas del reloj, un ángulo negativo (figura 17.4). Lado terminal Lado inicial Lado inicial Lado terminal Figura Ángulos positivos y negativos En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y el lado inicial está en el eje positivo x. El ángulo se menciona con frecuencia en términos del cuadrante en el cual está el lado terminal (figuras 17.5 y 17.6). 198

7 Módulo 17: Medición de ángulos Figura Ángulo en el tercer cuadrante Figura Ángulo en el segundo cuadrante Medida en grados Un ángulo generado por una rotación completa de un lado final sobre el vértice, se dice que mide 60 grados y se escribe 60º. Un ángulo generado por 1/60 de una rotación completa del lado terminal sobre el vértice, se dice que mide 1 grado y se escribe 1º Medida en radianes Si el vértice de un ángulo se pone en el centro de un círculo con radio r 0, y la longitud del arco que subtiende sobre la circunferencia es S, entonces la medida en radianes de está dada por S (figura 17.7). r Figura Medida de un ángulo en radianes Si S r, entonces 1 radián. 199

8 Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Ejemplo 2 Cuál es la medida en radianes de un ángulo central subtendido por el arco de 24 m en una circunferencia de 6 m de radio? S 24 m 4 radianes. r 6m Conversión de radianes a grados y de grados a radianes Si º representa una medida en grados y representa una medida en radianes, entonces: 180º º : conversión de radianes a grados. º: conversión de grados a radianes. 180º Las fórmulas anteriores resultan de saber que una rotación completa son 60º o 2 radianes. La afirmación precedente la da el hecho de que S 2 r 2 radianes. r r Como consecuencia, se puede plantear la siguiente proporción: Ejemplo º, o sea 60º 2 Encuentre exactamente: º. 180º a. La medida en radianes de un ángulo de 240º. b. La medida en grados de un ángulo de radianes. 4 a. º 240º ;. 180º 180º b. 180º 180º 11 º ; º ; º 165º

9 Ejemplo 4 Módulo 17: Medición de ángulos Una correa de transmisión conecta una polea de radio de 2 cm con otra de radio 5 cm. Si la polea mayor gira 10 radianes, cuántos radianes girará la más pequeña. Se dibuja la figura Figura 17.8 Cuando la polea mayor gira 10 radianes, el punto P sobre la circunferencia mayor se moverá la misma distancia o longitud de arco que el punto que se mueve sobre la circunferencia menor. Para la polea mayor se tiene: S ; S r cm. r O sea que los puntos P y se mueven cada uno 50 cm. Para la polea menor se tiene: Ejemplo 5 S r 2 radianes. Encuentre la longitud del arco de un círculo con radio 10 m que subtiende un ángulo central de 0º. Como 0º equivale a radianes, y como S = r, se tiene que: 6 5 S = 10 m

10 Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Ejemplo 6 Un ángulo central en un círculo de radio igual a 4 m está subtendido por un arco de longitud de 6 m. Halle la medida del ángulo en radianes. S 6 Como, se tiene que radianes. r 4 2 Ejemplo 7 Determine las seis razones trigonométricas del ángulo de la figura 17.9: Figura sen ; 5 cos ; 2 tan ; 5 5 cot ; 2 sec ; 5 csc. 2 Ejemplo 8 Si cos, dibuje un triángulo rectángulo con un ángulo,, y determine las otras 4 cinco razones trigonométricas de. En vista de que cos se define como la razón del cateto adyacente y la hipotenusa, dibujamos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 4 y un cateto de longitud adyacente a. Si el cateto opuesto es x, entonces según el teorema de Pitágoras, 2 es decir x 7, por lo que x x 4, 202

11 Utilizamos, por tanto, el triángulo de la figura para determinar las otras cinco razones. Módulo 17: Medición de ángulos Figura sen ; 4 cos ; 4 7 tan ; cot ; 7 4 sec ; 4 csc. 7 Ejemplo 9 Cuantos giros dará una rueda de un automóvil de 1 m de diámetro al recorrer una distancia de 100 m. Como s r, entonces al dar una vuelta completa recorrerá una distancia s m. Lo anterior es debido a que si el diámetro de la rueda es 1 m, su radio es de 0.5 m. Para recorrer 100 m, la rueda debe realizar 100 recorre m. vueltas debido a que en cada vuelta Ejemplo 10 Un pino gigante proyecta una sombra de 150 m de largo. Determine la altura del árbol si el ángulo de elevación del sol es de 0º. Supongamos en la figura que h es la altura del árbol: 20

12 Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Figura h De la figura se observa que tan 0º. 150 Por tanto la altura del árbol será h = 150 tan 0º m. En el módulo siguiente se verá que tan 0º. 204