Módulo 26: Razones trigonométricas

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1 INTERNADO MATEMÁTICA 2016 Guía del estudiante Módulo 26: Razones trigonométricas Objetivo: Conocer y utilizar las razones trigonométricas para resolver situaciones problemáticas. Trigonometría Es la rama de la matemática que analiza los triángulos rectángulos, relacionando sus ángulos y sus lados. La trigonometría es utilizada en el campo de la ingeniería, arquitectura, construcción, astronomía, etcétera, siendo una de sus utilidades el cálculo de distancias. Observa el siguiente problema: Problema Una piedra que está en el suelo se encuentra a 20 metros de un árbol con un ángulo de elevación de 0. Cuál es la altura del árbol? Piedra Con la información que nos proporciona el enunciado del problema y con ayuda de la trigonometría, es posible conocer cuánto es la altura del árbol. 1

2 Antes de resolver el problema es necesario introducir algunos conceptos: Elementos del triángulo rectángulo Consideremos el siguiente triangulo rectángulo, En la figura hay dos tipos de lados, los catetos y la hipotenusa. Los lados denominados catetos son aquellos los lados menores de un triángulo rectángulo, mientras que la hipotenusa corresponde al lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo y es opuesto al ángulo recto. A partir de los catetos, hipotenusa y ángulos interiores, es posible definir las siguientes razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Razones trigonométricas Dado el siguiente triángulo rectángulo en y considerando el ángulo alfa se definen las siguientes razones trigonométricas: Nota: Estas relaciones funcionan con cualquier triángulo rectángulo. CATETO 2

3 Razones trigonométricas recíprocas A partir de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente podemos definir las razones trigonométricas recíprocas: Cosecante, se escribe : Secante, se escribe : Cotangente, se escribe : Ángulo de depresión y ángulo de elevación En la figura, notemos que el observador se ubica de tal manera que puede observar tanto al ave como al perro. Cuando mira hacia el ave, se produce el ángulo de elevación respecto de una linea horizontal y si observa al perro se produce el ángulo de depresión respecto de la misma linea.

4 Ahora si!!, Retomemos el problema. Sabemos que el ángulo de elevación de la piedra al tope del árbol es, la distancia entre el árbol y la piedra es de metros. Si dibujamos las medidas de distancia con una línea punteada nos daremos cuenta que se forma un triángulo rectángulo, lo que nos indica que podemos utilizar la trigonometría para resolver el problema. x Para resolver el problema, debemos tener en cuenta la siguiente tabla de valores para ciertos ángulos, conocidos como ángulos notables Indefinido Reescribiendo los datos del problema utilizando el triangulo rectángulo:... Si utilizamos la trigonometría para calcular la altura del árbol Cuál(es) de las razones trigonométricas nos sirve para obtener el valor de la altura de manera inmediata? Veamos! 4

5 Si ocupamos la razón trigonométrica seno, tenemos lo siguiente: Si analizamos lo anterior, representa la altura que queremos obtener y la hipotenusa la desconocemos, tenemos dos incognitas lo que impide obtener el resultado. Si ocupamos la razón trigonométrica coseno, tenemos lo siguiente: Si analizamos lo anterior, nos damos cuenta que el valor de la altura del arbol no aparece dentro de la igualdad, por lo tanto no obtenemos el valor de la altura del arbol de manera inmediata, de hecho obtenemos la distancia que hay entre la piedra y el tope del arbol. Por lo tanto, la razón trigonometrica que nos entrega de manera casi inmediata el valor de la altura es la tangente, esto es: tan 0 x 20 x 20 x x 11, 54 / 20 Por lo tanto, la altura del arbol es de 11,54 metros aproximadamente. 5

6 Con ayuda de la trigonometría obtén solución a los problemas que se presentan a continuación, si es necesario haz un bosquejo de cada situación presentada, indica qué razón trigonométrica es la que más conviene usar en cada caso 1) Una persona se encuentra en la parte superior de un faro de 0 metros de altura y observa un gato que se encuentra en el techo de una casa de 5 metros de altura, con un ángulo de depresión de 0º. Cuál es la distancia entre el gato y la persona? 2) Una persona que se encuentra a 7 metros de un árbol observa el alto de éste con un ángulo de elevación de 60. Haga un bosquejo de la situación y determine la distancia entre el observador y la punta del árbol. ) Un halcón se lanza en picada de 100 metros de altura para atrapar un conejo, con un ángulo de depresión de 0, si el conejo no arranca, quedándose siempre en el mismo lugar, cuanto recorrió el halcón en el aire para alcanzarlo. 4) Una persona de 1,70 metros de estatura, se encuentra de pie frente a un edificio a una distancia de 55 metros. Si está mirando a la cima del edificio con un ángulo de elevación de 60, cuándo mide aproximadamente el edificio de alto? 6