TRIGONOMETRÍA. π radianes. 1.- ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS. 1.1 Los ángulos orientados

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1 TRIGONOMETRÍA.- ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS. Los ángulos orientados Son aquellos que además de tener una cierta su amplitud ésta viene acompañada de un signo que nos indica un orden de recorrido (desde la semirrecta que se considera su comienzo (origen) hacia la que nos da su final (extremo)). - El recorrido positivo es el del giro contrario al de las agujas del reloj. - Los ángulos pueden tener una amplitud mayor que un ángulo completo (360º). - Los ángulos se suelen representar con su vértice en el centro de una circunferencia dividida en 4 cuadrantes mediante dos ejes de forma que se hace coincidir su comienzo con la parte derecha del eje horizontal. Ángulo positivo Ángulo negativo. El grado - Es el ángulo central al que le corresponde una longitud de arco equivalente a 360 de la longitud total de la circunferencia. - En una circunferencia hay 360º, un ángulo llano tiene 80º y uno recto 90º.3 El radián - Es el ángulo central al que le corresponde una longitud de arco que mide lo mismo que el radio. - En una circunferencia está π veces el radio ya que su longitud es r π y por tanto habrá π radianes. Un ángulo llano tiene π radianes y uno recto π radianes. rad 90º - La equivalencia más cómoda de utilizar es: 80º equivale a π radianes. El este tema utilizaremos ambas unidades continuamente.

2 .-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS. Definiciones de razones directas O B B A A AB Seno de : sen = = OB A' B' OB ' OA OA' Coseno de : cos = = OB OB ' AB A' B ' Por el Teorema de Tales el resultado no depende de la recta tomada Cuando el ángulo es uno de los ángulos agudo de un triángulo rectángulo estas definiciones se enuncian cateto opuesto sen = hipotenusa así: cateto contiguo cos = hipotenusa cateto opuesto tag = cateto contiguo. Definiciones de razones inversas hipotenusa sen cosecante de cosec = = sen cateto opuesto hipotenusa cos secante de sec = = cos cateto contiguo cateto contiguo tag cotangente de cotag = = tag cateto opuesto.3 Funciones inversas de las razones trigonométricas Se utilizan cuando conocemos el valor de una razón trigonométrica y queremos hallar el ángulo. sen = a = arc sen a cos = a = arc cos a tag = a = arc tag a cosec = a = arc cosec a sec = a = arc sec a cotag = a = arc cotag a Arco seno a se define como el ángulo cuyo seno vale a. De forma análoga serían las demás..4 Razones trigonométricas de ángulos conocidos Razones 0º 30º 45º 60º 90º seno 0 3 coseno 3 0

3 tangente No existe Las razones de 30º y 60º se deducen de usar las definiciones en un triángulo equilátero de lado dividido en dos triángulos rectángulos mediante la altura de uno de sus lados; y la de 45º tomando el triángulo rectángulo que resulta de dividir un cuadrado de lado mediante su diagonal. Para calcular las razones de 0º y 90º habría que tener en cuenta las definiciones que se dan a continuación 3.-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA 3. Definiciones Tomemos un ángulo representado en una circunferencia de radio unidad. Se definen sus razones trigonométricas directas como la medida de cierto segmento que indicaremos a continuación, acompañado de un signo. Cuando el segmento es vertical y está situado sobre el eje horizontal le corresponde el signo + (el signo en caso contrario). Si el segmento es horizontal los que están situados a la derecha del eje vertical se consideran positivos y los que están a la izquierda negativos. sen cos tag Además tenemos: sen tag =, cotag = cos tag cosec = sen Radio = (El coseno se representa habitualmente en esta segunda posición para que él y el seno formen parte deun mismo triángulo rectángulo) 3. Fórmula fundamental de la trigonometría Al formar parte el seno y el coseno de un mismo triángulo rectángulo con hipotenusa, si aplicamos el teorema de Pitágoras se tendrá que sen + cos = La fórmula anterior nos sirve para obtener el coseno cando tenemos el seno y viceversa. Si en ella dividimos todos los sumandos por el coseno al cuadrado obtenemos la siguiente fórmula que nos permitiría calcula la tangente en función del coseno tag + = = sec cos 3. Reducción de ángulos al primer cuadrante - Consiste en utilizar ángulos del primer cuadrante para calcular las razones trigonométricas de los ángulos situados en los demás cuadrantes. 3

4 - Se representaría el ángulo que tiene la misma medida para el seno y el coseno (pero con signo positivo) que el ángulo que nos dan y se utilizarían sus valores. - Un proceso parecido al de reducir ángulos al primer cuadrante es el cálculo de las razones trigonométricas de los ángulos asociados a un ángulo (que tomaremos del primer cuadrante aunque podría ser de cualquier otro). Estos ángulos asociados son los que resultan de coger un número completo de cuadrantes ( ± 90º, ± 80º, ± 70º, ) y sumarle o restarle el ángulo dado. Sus razones trigonométricas se relacionarían de la siguiente forma sen cos π. se denomina complementario de π π + π sen = cos cos = sen sen + = cos cos + = sen sen cos π = sen π = cos π + 3π 3π + π sen cos π + = sen π + = cos sen = cos cos = sen sen + = cos cos + = sen sen cos ( ) ( ) = sen = cos 4.- FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Mediante propiedades geométricas y transformando las fórmulas halladas llegamos a: Razones trigonométricas de la suma Razones trigonométricas de la diferencia 4

5 sen + β = sen cos β + sen β cos cos + β = coscos β sen sen β tg tag + tag β + = tag tag β ( β) sen β = sen cos β sen β cos cos β = coscos β + sen sen β tg tag tag β = + tag tag β ( β) Razones trigonométricas del ángulo doble Razones trigonométricas del ángulo mitad sen = sen cos ( ) cos = cos sen tg tag = tag cos sen =± + cos cos =± cos tg =± + cos Otras fórmulas poco utilizadas Transformaciones de sumas en productos Transformaciones de productos en sumas sen A+ sen B = sen cos sen A sen B = cos sen cos A+ cos B = cos cos cos A cos B = sen sen sen A sen B = cos A+ B cos A B sen A cos B = ( sen ( A+ B) + sen ( A B) ) cos A cos B = ( cos( A+ B) + cos( A B) ) ( ) 5.- ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son ecuaciones que llevan la x dentro de al menos una razón trigonométrica. Par resolverlas actuaremos de la siguiente forma: ) Si la ecuación tiene la forma sen f x = a y son y los ángulos del primer giro cuyo seno vale a, las soluciones, en general, saldrán de despejar la x en: f x = + kπ f x k = + π k De forma análoga se razona con el coseno y la tangente. En caso de que se pase de una solución a otra π sumando ángulos de medida π,, podemos poner la primera solución y sumar múltiplos de ángulos de ese tamaño. 5

6 Ejemplo: cos( ) x = x cos ( x) π π x= + kπ x= + kπ 3 3 = 4π π x= + kπ x= + kπ 3 3 ) Si la ecuación lleva la x dentro de varias razones trigonométricas se utilizan las fórmulas trigonométricas y los mecanismos propios de la resolución de ecuaciones para pasar de la ecuación que teníamos a una o varias del modelo anterior y se resuelven como en el punto primero. 6.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo es hallar la medida de todos sus lados y todos sus ángulos. - Para resolver triángulos rectángulos se utilizan las definiciones de razones trigonométricas. - Para resolver triángulos oblicuángulos se utilizan unas fórmulas que damos a continuación denominadas Teorema del seno y Teorema del coseno. - Además de las fórmulas nombradas antes podemos utilizar las propiedades propias de los triángulos (suma de sus ángulos o Teorema de Pitágoras). Teorema del seno C Teorema del coseno sen A sen B sen C = = a b c ó A b c a B a = b + c bccos A b = a + c accosb c a + b abcosc Cálculo del área de un triángulo Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (suponemos que los lados conocidos son a y b y el ángulo es C, en caso de ser otros la fórmula sería análoga a esta). Área = ab sen C Si tenemos los tres lados se usa la llamada Fórmula de Herón Área = p ( p a)( p b)( p c) siendo Problemas de cálculo de longitudes y ángulos Se resuelven usando las propiedades mencionadas antes a+ b+ c p = (el semiperímetro) 6