Unidad 4: TRIGONOMETRÍA

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1 Unidad 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS La palabra tri-gono-metría significa medida de las figuras con tres esquinas, es decir, de los triángulos. La trigonometría estudia las relaciones entre las longitudes de los lados de un triángulo y las medidas de sus ángulos. Por ello, las razones trigonométricas se definieron originariamente mediante triángulos rectángulos. No obstante, interesa definirlas usando la circunferencia unidad, es decir, en la llamada circunferencia goniométrica. Unidades para medir ángulos Las unidades más utilizadas para medir ángulos son: º = grado sexagesimal (un grado sexagesimal es la medida del ángulo central correspondiente a una de las 60 partes en que se divide una circunferencia) Rad = radián (un radián es la medida del ángulo central que subtiende un arco igual al radio) Para convertir grados sexagesimales en radianes, y viceversa, basta tener en cuenta la siguiente relación: 80º rad En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un ángulo agudo son las distintas razones (cocientes) que hay entre los lados. a c Hipotenusa Cateto contiguo b Cateto opuesto Razones trigonométricas fundamentales: cateto opuesto b sen hipotenusa a cateto contiguo c cos hipotenusa a Otras razones trigonométricas: cateto opuesto b sen tg cateto contiguo c cos hipotenusa a cosec cateto opuesto b sen hipotenusa a sec cateto contiguo c cos cateto contiguo c cotg cateto opuesto b tg

2 Matemáticas I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA En un sistema de ejes coordenados consideremoss una circunferencia de radio unidad y un ángulo que tenga uno de sus lados sobre el eje OX. Entonces, a dicho ángulo se le puede asociar de manera única unn punto, sobre la circunferencia, de coordenadas xy, de manera que x, y cos,sen y cos x, y cos,sen sen x La circunferencia anterior se s llama circunferencia goniométrica. Dependiendo del cuadrante en el que trigonométricas fundamentales son: se encuentre el ángulo, los signos de las razones Reducción de ángulos al primer cuadrante Sea el ángulo del primerr cuadrante relacionado, en cada caso, con el ángulo. Si es un ángulo del segundoo cuadrante, entonces sen sen cos cos Si es un ángulo del tercer cuadrante, entonces sen senn cos cos Si es un ángulo del cuarto cuadrante, entonces sen senn cos cos Ángulos mayores de 60º Si es un ángulo mayor de 60º, entonces y, donde 0º,60º es el resto de dividir entre 60º, tienenn las mismas razones trigonométricas.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS 0º sen 0 cos 0º 45º Trigonometría 60º 90º 9 0

3 4. RELACIONES ENTREE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS sen cos :sen :cos Relación fundamental (teorema de d Pitágoras) cotg cosec tg sec 5. REDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (i) Ángulos complementarios: y 90º sen 90º cos cos 90º º sen (ii) Ángulos suplementarios: y 80º sen 80º sen cos 80º cos (iii) Ángulos que difieren en 80º: y 80º sen 80º sen cos 80º cosc (iv) sen cos Ángulos opuestos y o que suman 60º: y 60º sen 60º sen cos 60º cos 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA, DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD (i) Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

4 Matemáticas I sen sen cos cos sen cos coscos sen sen tg tg tg tg tg (ii) (iii) Razones trigonométricas del ángulo doble sen sen cos tg tg cos cos sen tg Razones trigonométricas del ángulo mitad cos sen cos tg cos cos cos El signo + o depende del cuadrante en el que se sitúe. 7. TRANSFORMACIONES sen sen sen cos sen sen sen cos cos cos cos cos cos cos sen sen sen cos sen sen cos cos sen sen cos cos cos cos sen sen cos cos Trigonometría 4

5 8. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que aparecen una o varias razones trigonométricas. Para resolverlas hay que expresar dicha ecuación en función de un mismo ángulo y de una sola razón trigonométrica, o factorizarla. Para ello se usarán las fórmulas vistas en los apartados anteriores. En este tipo de ecuaciones siempre hay que comprobar que los valores obtenidos verifican la ecuación original, es decir, son solución. 9. SISTEMAS TRIGONOMÉTRICOS Un sistema de ecuaciones es trigonométrico cuando al menos una de sus ecuaciones lo es. Para resolverlos: ) Utilizaremos lo visto en el apartado anterior correspondiente a la resolución de ecuaciones trigonométricas y ) Los métodos que conocemos para resolver sistemas de ecuaciones. 5

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