Funciones trigonométricas básicas. Propiedades básicas de las funciones trigonométricas: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

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1 Funciones trigonométricas básicas Propiedades básicas de las funciones trigonométricas: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. José de Jesús Angel Angel MathCon c

2 Contenido. Introducción.. Ángulos en grados y radianes La función sen(x) 4.. El valor del seno para algunos ángulos comunes El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para El valor del seno para Construcción de la gráfica del seno Propiedades básicas de la función sen(x) La función cos(x) 6.. El valor del coseno para valores comunes Gráfica de la función coseno Propiedades básicas de la función cos(x) La función tan(x) 4.. El valor de la Tangente para valores comunes Gráfica de la función tan(x) Propiedades básicas de la función tan(x) La función cot(x) Gráfica de la función cot(x) El valor de la cotangente para valores comunes Propiedades básicas de la función cot(x)

3 6. La función sec(x) Gráfica de la función sec(x) El valor de la secante para valores comunes Propiedades básicas de la función sec(x) La función csc(x) Gráfica de la función csc(x) Propiedades básicas de la función csc(x) Resumen de valores comunes 4 9. Relaciones trigonométricas 4 0. Funciones trigonométricas inversas La función arc sen Gráfica de la función arc sen La función arc cos Gráfica de la función arc cos La función arctan Gráfica de la función arctan La función arccot Gráfica de la función arccot La función arcsec Gráfica de la función arcsec La función arccsc Gráfica de la función arccsc La función a sen(bx + c) + d 47. La función a cos(bx + c) + d 48. La función a tan(bx + c) + d Funciones hiperbólicas Identidades trigonométricas 5 6. Aplicaciones 5

4 Introducción Las funciones trigonométricas tienen una larga historia y lista de aplicaciones, en esta lección aprenderemos a encontrar los valores más comunes de la funciones trigonométricas básicas, como seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. También aprenderemos a dibujar sus gráficas, y listaremos algunas de sus propiedades más básicas... Ángulos en grados y radianes Las dos maneras más comunes de denotar un ángulo es por grados y por radianes(números reales). La relación que tienen los ángulos con los radianes se muestra en la siguiente tabla. Valores entre grados y radianes más comunes π π π π π 4 π π π π

5 La función sen(x) La función seno puede ser definida de diferentes maneras, la forma más común de hacerlo es a partir de un triángulo rectángulo. La función seno de un ángulo α se define, como el cociente del cateto opuesto al ángulo α, sobre la hipotenusa del triángulo. Sen(α) = a c c Α a b Figura : El valor del seno y coseno en el círculo unitario... El valor del seno para algunos ángulos comunes Para calcular el valor del seno en algunos ángulos comunes, hay que trasladar al triángulo en consideración al círculo unitario, ya que de esta manera se podrán obtener algunos valores de la función seno de forma explícita. Como sen(α) = a c donde a es el cateto opuesto y c la hipotenusa, por ser el círculo unitario c =. Por lo tanto sen(α) es igual a la longitud del segmento rojo de la figura.

6 .. El valor del seno para algunos ángulos comunes 5 Círculo Unitario Sen Α Α Cos Α Figura : El valor del seno y coseno en el círculo unitario. Los valores de ángulos más simples a obtener, son los valores siguientes: 0, 90, 80, 70, 60. Como se observa en la figura, el seno toma los valores de 0,, 0,, 0 respectivamente para estos primeros ángulos.

7 .. El valor del seno para algunos ángulos comunes 6 Sen Sen Α Α Sen Α Α Α Sen 60 0 Sen 70 Figura : El valor del seno para 0, 90, 80, 70, 60. En las siguientes subsecciones calcularemos el valor explícito del seno para otros ángulos comunes. Se trabajaran esencialmente dos triángulos, el triángulo rectángulo de 0 y 60 como ángulos internos, y el triángulo rectángulo isosceles de 45.

8 .. El valor del seno para El valor del seno para 0 El valor del seno en α = 0 se calcula considerando los triángulos ACB, ABD en círculo unitario como se muestra en la figura 4:. El ángulo BAC es el ángulo de 0.. El ángulo ACB, es de 90, porque el triángulo ACB es rectángulo.. Por lo tanto el ángulo B, es de También el ángulo D, es de 60, derivado del reflejo del triángulo ACB. 5. Así el triángulo ABD es equiangular, por lo tanto equilátero. 6. Entonces el lado DB tiene como longitud. 7. Como el ángulo es de 0, entonces el segmento AC biseca al lado BD, entonces la longitud de BC es. 8. Lo anterior muestra que el seno de 0 es. B Sen 0 A 0 C D Figura 4: Sen(π/6) = sen(0 ) =... El valor del seno para 45 El valor del seno en α = 45, se calcula al considerar el triángulo ACB, en el círculo unitario como se muestra en la figura 5:. El ángulo A es el ángulo de 45.. El ángulo C, es de 90, porque el triángulo ACB es rectángulo.

9 .4. El valor del seno para Por lo tanto el ángulo B, es de Por lo tanto el triángulo ABC es isosceles. 5. Entonces el lado AC tiene la misma longitud del lado BC. 6. Por el teorema de pitágoras, AC + BC =, pero AC = BC, es decir BC =, entonces BC es. 7. Lo anterior quiere decir que el seno de 45 es, multiplicando por a. B Sen 45 A 45 C.4. El valor del seno para 60 Figura 5: sen(π/4) = sen(45 ) = El valor del seno en α = 60, se calcula al considerar el triángulo ACB en el círculo unitario como se muestra en la figura 6:. El ángulo A es el ángulo de El ángulo C, es de 90, porque el triángulo ACB es rectángulo.. Por lo tanto el ángulo B, es de Entonces, del triángulo de la figura 4, del seno de 0, tenemos que el lado AC =.

10 .5. El valor del seno para Por el teorema de pitágoras, AC + CB =, pero AC =, entonces CB = 4, lo que implica que CB = 4, o sea CB =. 6. Lo anterior quiere decir que el seno de 60 es. Sen 60 B A 60 C Figura 6: sen(π/) = sen(60 ) =.5. El valor del seno para 0 El valor del seno en α = 0, se calcula considerando el triángulo ACB en el círculo unitario como se muestra en la figura 7:. En seno del ángulo 0, es la longitud del segmento BC.. El ángulo A es de 60.. Por lo tanto el ángulo B, es de El triángulo ACB es congruente al ACB del caso Por lo tanto BC = 6. Lo anterior quiere decir que el seno de 0 es..

11 .6. El valor del seno para 5 0 B C A 0 Sen 0 Figura 7: sen(π/) = sen(0 ) =.6. El valor del seno para 5 El valor del seno en α = 5, se calcula considerando el triángulo BCA en el círculo unitario como se muestra en la figura 8:. En seno del ángulo 5, es la longitud del segmento BC.. El ángulo A es de 45.. Por lo tanto el ángulo B, es de El triángulo BCA es congruente al BCA del caso Por lo tanto BC = 6. Lo anterior quiere decir que el seno de 0 es..

12 .7. El valor del seno para 50 B C A 5 Sen 5 Figura 8: sen(π/4) = sen(5 ) =.7. El valor del seno para 50 El valor del seno en α = 50, se calcula considerando el triángulo BCA en el círculo unitario como se muestra en la figura 9:. En seno del ángulo 5, es la longitud del segmento BC.. El ángulo A es de 45.. Por lo tanto el ángulo B, es de El triángulo BCA es congruente al BCA del caso Por lo tanto BC = 6. Lo anterior quiere decir que el seno de 0 es..

13 .7. El valor del seno para 50 B C A 50 Sen 50 Figura 9: Sen(5π/6) = Sen(50 ) =.

14 .8. El valor del seno para 0.8. El valor del seno para 0 El valor del seno en α = 0, se calcula considerando el triángulo en el círculo unitario como se muestra en la figura 0:. En seno del ángulo 0, es la longitud del segmento BC. En este caso la longitud es negativa.. El triángulo a considerar es congruente al caso de 0. Lo anterior quiere decir que el seno de 0 es. Sen 0 B C A 0 Figura 0: Sen(7π/6) = Sen(0 ) =.

15 .9. El valor del seno para El valor del seno para 5 El valor del seno en α = 5, se calcula considerando el triángulo en el círculo unitario como se muestra en la figura :. En seno del ángulo 0, es la longitud del segmento BC. En este caso la longitud es negativa.. El triángulo a considerar es congruente al caso de 0. Lo anterior quiere decir que el seno de 0 es. Sen 5 C A 5 B Figura : Sen(5π/4) = Sen(0 ) =.

16 .0. El valor del seno para El valor del seno para 40 El valor del seno en α = 40, se puede calcular considerando el triángulo en el círculo unitario como se muestra en la figura :. En seno del ángulo 40, es la longitud del segmento BC. En este caso la longitud es negativa.. El triángulo a considerar es congruente al caso de 0. Lo anterior quiere decir que el seno de 40 es. Sen 40 C A 40 B Figura : Sen(4π/) = Sen(40 ) =.

17 .. El valor del seno para El valor del seno para 00 El valor del seno en α = 00, se puede calcular considerando el triángulo en el círculo unitario como se muestra en la figura :. En seno del ángulo 00, es la longitud del segmento BC. En este caso la longitud es negativa.. El triángulo a considerar es congruente al caso de 0. Lo anterior quiere decir que el seno de 00 es. Sen 00 A 00 C B Figura : Sen(4π/) = Sen(40 ) =.

18 .. El valor del seno para El valor del seno para 5 El valor del seno en α = 5, se puede calcular considerando el triángulo en el círculo unitario como se muestra en la figura 4:. En seno del ángulo 5, es la longitud del segmento BC. En este caso la longitud es negativa.. El triángulo a considerar es congruente al caso de 45. Lo anterior quiere decir que el seno de 00 es. Sen 5 A 5 C B Figura 4: Sen(7π/4) = Sen(5 ) =.

19 .. El valor del seno para El valor del seno para 0 El valor del seno en α = 0, se puede calcular considerando el triángulo en el círculo unitario como se muestra en la figura 5:. En seno del ángulo 0, es la longitud del segmento BC. En este caso la longitud es negativa.. El triángulo a considerar es congruente al caso de 0. Lo anterior quiere decir que el seno de 5 es. Sen 0 0 A C B Figura 5: Sen(7π/4) = Sen(5 ) =.

20 .4. Construcción de la gráfica del seno 9.4. Construcción de la gráfica del seno La construcción de la gráfica del seno se puede realizar de la manera como se muestra paso a paso en las siguientes figuras. Se considera que la función es continua y derivable, es decir que no hay saltos en la gráfica y la línea de la función es una curva. En esta construcción debe observarse que la línea azul en el círculo se mueve girando varios ángulos que al trasladarlos a la línea del eje x estos ángulos se convierten números reales. La gráfica que se forma (la línea roja) se dibuja de manera continua, cosa que podemos suponer libremente aquí. Finalmente debemos observar que de esta manera dibujamos la gráfica del seno en el intervalo de ángulos [0, 60 ] o equivalentemente [0, π], sin embargo esto mismo lo podemos extender a todos los ángulos. El periodo de π del seno se sigue por la periodicidad del círculo. Sen 0 Α Figura 6: sen(0 ) = sen(π/6) =. Sen 45 Α Figura 7: sen(45 ) = sen(π/4) =.

21 .4. Construcción de la gráfica del seno 0 Sen 60 Α 60 0 Figura 8: sen(60 ) = sen(π/) =. Sen 90 Α 90 0 Figura 9: sen(90 ) = sen(π/) =. Sen 0 Α 0 0 Figura 0: sen(0 ) = sen(π/) =.

22 .4. Construcción de la gráfica del seno Sen 5 Α Figura : sen(5 ) = sen(π/4) =. Sen 50 Α Figura : sen(50 ) = sen(5π/6) =. Sen 80 0 Α 80 0 Figura : sen(80 ) = sen(π) = 0.

23 .4. Construcción de la gráfica del seno Sen 0 Α Figura 4: sen(0 ) = sen(7π/6) =. Sen 5 Α Figura 5: sen(5 ) = sen(5π/4) =. Sen 40 Α Figura 6: sen(40 ) = sen(4π/) =.

24 .4. Construcción de la gráfica del seno Sen 70 Α 70 0 Figura 7: sen(70 ) = sen(π/) =. Sen 00 Α Figura 8: sen(00 ) = sen(5π/) =. Sen 5 Α Figura 9: sen(5 ) = sen(7π/4) =.

25 .4. Construcción de la gráfica del seno 4 Sen 0 Α Figura 0: sen(0 ) = sen(π/6) =. Sen 60 Α Figura : sen(60 ) = sen(π) = 0. Finalmente la gráfica del seno queda de la siguiente manera: Amplitud Período Figura : sen(x). 5

26 .5. Propiedades básicas de la función sen(x) 5.5. Propiedades básicas de la función sen(x) De la gráfica de la función seno podemos inferir algunas de sus propiedades básicas, como las siguientes:. La función seno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [, ] sen(x) : R [, ].. La función seno es impar, es decir sen( x) = sen(x).. La función seno tiene un periodo π, es decir sen(x) = sen(x + kπ). 4. La función seno esta acotada por, es decir sen(x). 5. La función seno tiene máximos (el ) en x = π + πk, k Z. 6. La función seno tiene mínimos (el ) en x = π + πk, k Z.

27 La función cos(x) En esta sección haremos lo que corresponde para la función coseno. Observación Es muy importante observar que con el trabajo hecho para la función seno, es posible calcular una gran cantidad de valores similares para otras funciones trigonométricas como cos, tan, cot, sec, csc. Lo que hay que hacer es simplemente usar las relaciones de triángulos rectángulos. De la definición del coseno y siguiendo la misma figura de como se calculó el seno para valores comunes, obtenemos los siguientes valores. Α Cos Α Sen Β Β Sen Α Cos Β Figura : El valor del seno y coseno en el círculo unitario.

28 .. El valor del coseno para valores comunes 7 Observación De la figura observamos lo siguiente: el seno"de un ángulo es igual al coseno"del ángulo complementario (su suma es 90 ). Es decir sen(α) = cos(90 α) cos(α) = sen(90 α) ya que sen(α) = cos(β) y cos(α) = sen(β) con α + β = 90. De hecho podemos usar esta relación y los valores obtenidos del seno para obtener los valores del coseno, como se hace en la siguiente subsección... El valor del coseno para valores comunes Aunque de manera didáctica podemos deducir los valores del coseno de la misma manera que se obtuvieron los del seno, a partir de las figuras. Aquí lo haremos usando las fórmulas de la observación, por dos razones, la primera: evitar aumentar el número de figuras y la segunda: para mostrar una manera diferente en la obtención de los valores del coseno. Además podemos considerar ángulos negativos, por definición los ángulos negativos giran en sentido contrario (en sentido a las manecillas de un reloj) a los ángulos positivos (en sentido contrario a las manecillas de un reloj). Círculo Unitario Α Α Sen Α Sen Α Figura 4: El valor del seno y seno.

29 .. Gráfica de la función coseno 8 cos(α) = sen(90 α) cos(0 ) = sen(90 0 ) = sen(90 ) = cos(90 ) = sen(90 90 ) = sen(0 ) = 0 cos(80 ) = sen(90 80 ) = sen( 90 ) = cos(70 ) = sen(90 70 ) = sen( 80 ) = 0 cos(60 ) = sen(90 60 ) = sen( 70 ) = cos(0 ) = sen(90 0 ) = sen(60 ) = cos(45 ) = sen(90 45 ) = sen(45 ) = cos(60 ) = sen(90 60 ) = sen(0 ) = cos(0 ) = sen(90 0 ) = sen( 0 ) = cos(5 ) = sen(90 5 ) = sen( 45 ) = cos(50 ) = sen(90 50 ) = sen( 60 ) = cos(0 ) = sen(90 0 ) = sen( 0 ) = cos(5 ) = sen(90 5 ) = sen( 5 ) = cos(40 ) = sen(90 5 ) = sen( 50 ) = cos(00 ) = sen(90 00 ) = sen( 0 ) = cos(5 ) = sen(90 5 ) = sen( 5 ) = cos(0 ) = sen(90 0 ) = sen( 40 ) =.. Gráfica de la función coseno De la teoría general de gráficas y con la fórmula cos(α) = sen(90 α) podemos obtener la gráfica de la función coseno. Es la misma gráfica que el seno pero recorrida sobre el eje x, 90, es decir π/ (ver tutorial sobre gráficas). Hay varias formas de constatar que la gráfica de la función coseno es la misma gráfica que la función seno recorrida π/. Lo que hay que mostrar es que cos(x) = sen(x 90 ).. Sabemos que cos(x) = sen(90 x), pero la función seno es impar, es decir sen(90 x) = sen(x 90 ). Por tanto para obtener la gráfica del coseno hay que tomar la gráfica del seno recorrerla 90 y hacer una reflexión respecto del eje x.

30 .. Gráfica de la función coseno 9 5 sen(x) 5 sen(x 90 ) 5 sen(x 90 ). Otra forma de ver la relación del seno y el coseno se deriva del triángulo unitario donde se puede observar la relación de triángulos semejantes que hay entre el que se forma con un ángulo α y con el ángulo α De hecho la gráfica la podemos también obtener recorriendo la gráfica del seno 90 a la izquierda.

31 .. Propiedades básicas de la función cos(x) 0 Α 90 Α Sen Α Sen Α 90 Cos Α Figura : Cos(x). Por todo lo anterior, la gráfica del coseno queda de la siguiente forma: Amplitud Período Figura : Cos(x). 5.. Propiedades básicas de la función cos(x) De la gráfica de la función coseno podemos inferir algunas de las propiedades básicas, como las siguientes:. La función coseno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [, ] cos(x) : R [, ].. La función coseno es par, es decir cos( x) = cos(x).

32 .. Propiedades básicas de la función cos(x). La función coseno tiene un periodo π, es decir cos(x) = cos(x + kπ). 4. La función coseno esta acotada por, es decir cos(x). 5. La función coseno tiene máximos (el ) en x = πk, k Z. 6. La función coseno tiene mínimos (el ) en x = πk, k Z.

33 4 La función tan(x) las propiedades básicas de la función tangente se pueden derivar de su definición. tan(x) = sen(x) cos(x) De la siguiente figura se tiene que los triángulos OAB y OCD son semejantes, por lo tanto se cumple la relación AB OA = CD. Por otra parte la definición de la función tangente dice que tan(α) = OC sen(α) cos(α) = AB CD, por la anterior igualdad tan(α) =, pero OC =, entonces tan(α) = CD. De la OA OC misma manera, si consideramos el triángulo OBE es semejante, de hecho igual al triángulo OCD, esto quiere decir que la tangente es también la longitud del segmento BE. D B Tan Α Sen Α O Α A Cos Α C E El valor del seno y coseno del círculo unitario.

34 4.. El valor de la Tangente para valores comunes 4.. El valor de la Tangente para valores comunes Los valores comunes de la función tangente pueden ser derivados inmediatamente de la definición y de los valores correspondientes del seno y coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos pueden verse en la tabla del resumen de valores. 4.. Gráfica de la función tan(x) 0 Obtención de la gráfica de la tangente.

35 4.. Propiedades básicas de la función tan(x) 4 Período Gráfica de la función tangente. 4.. Propiedades básicas de la función tan(x) A partir de la gráfica de la función tangente podemos inferir algunas de las propiedades básicas, como las siguientes:. La función tangente no esta definida en los puntos x = π + kπ con k Z.. La función tangente tiene dominio R {x x = π +kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales R tan(x) : R {x x = π + kπ} R.. La función tangente es impar, es decir tan( x) = tan(x). 4. La función tangente tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x + kπ). 5. La función tangente no esta acotada. 6. La función tangente no tiene máximos. 7. La función tangente no tiene mínimos.

36 5 La función cot(x) Las propiedades básicas de la función tangente se pueden derivar de su definición. 5.. Gráfica de la función cot(x) cot(x) = tan(x) = cos(x) sen(x) Período Gráfica de la función cotangente. 5.. El valor de la cotangente para valores comunes Los valores comunes de la función cotangente pueden ser derivados inmediatamente de la definición y de los valores correspondientes del seno y coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos pueden verse en la tabla del resumen de valores.

37 5.. Propiedades básicas de la función cot(x) Propiedades básicas de la función cot(x) A partir de la gráfica de la función cotangente podemos inferir algunas de las propiedades básicas, como las siguientes:. La función cotangente no esta definida en los puntos x = kπ con k Z.. La función cotangente tiene dominio R {x x = kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales R tan(x) : R {x x = kπ} R.. La función cotangente es impar, es decir cot( x) = cot(x). 4. La función cotangente tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x + kπ). 5. La función cotangente no esta acotada. 6. La función cotangente no tiene máximos. 7. La función cotangente no tiene mínimos.

38 6 La función sec(x) las propiedades básicas de la función secante se pueden derivar de su definición. 6.. Gráfica de la función sec(x) sec(x) = cos(x) Período Gráfica de la función secante. 6.. El valor de la secante para valores comunes Los valores comunes de la función secante pueden ser derivados inmediatamente de la definición y de los valores correspondientes del coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos pueden verse en la tabla del resumen de valores.

39 6.. Propiedades básicas de la función sec(x) Propiedades básicas de la función sec(x) A partir de la gráfica de la función secante podemos inferir algunas de las propiedades básicas, como las siguientes:. La función secante no esta definida en los puntos x = π + πk con k Z.. La función secante tiene dominio R {x x = π + πk} y rango (imagen del dominio) a los reales R (, ) tan(x) : R {x x = π + πk} R (, ).. La función secante es par, es decir sec( x) = sec(x). 4. La función secante tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x + kπ). 5. La función secante no esta acotada. 6. La función secante no tiene máximos globales, pero en los intervalos se alcanza el máximo local en (k + )π. ((k + )π π, (k + )π + π ) 7. La función secante no tiene mínimos globales, pero en los intervalos se alcanza el mínimo local en (k)π. ((k)π π, (k)π + π )

40 7 La función csc(x) las propiedades básicas de la función cosecante se pueden derivar de su definición. 7.. Gráfica de la función csc(x) sec(x) = sen(x) Período Gráfica de la función cosecante. 7.. Propiedades básicas de la función csc(x) A partir de la gráfica de la función cosecante podemos inferir algunas de las propiedades básicas, como las siguientes:. La función cosecante no esta definida en los puntos x = kπ con k Z.

41 7.. Propiedades básicas de la función csc(x) 40. La función cosecante tiene dominio R {x x = kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales R (, ) csc(x) : R {x x = kπ} R (, ).. La función cosecante es impar, es decir csc( x) = csc(x). 4. La función cosecante tiene un periodo π, es decir csc(x) = csc(x + kπ). 5. La función cosecante no esta acotada. 6. La función cosecante no tiene máximo global, pero tiene máximos locales, en 7. La función cosecante no tiene mínimo global, pero tiene mínimos locales, en π( + 4k). π( + 4k).

42 8 Resumen de valores comunes grados radianes sen cos tan cot sec csc no existe no existe 0 π 6 45 π 4 60 π 90 π 0 π 5 4 π π 0 no existe 0 no existe 80 π 0 0 no existe no existe π π 40 4 π π 0 no existe 0 no existe 6 π π 0 6 π 60 π 0 0 no existe no existe

43 9 Relaciones trigonométricas sen α cos α tan α cot α sec α csc α sen α cos α tan α cot α sec α csc α cos tan α sec α α + tan α + cot α sec α csc α sen cot α csc α α + tan α + cot α sec α csc α sen α cos α sec α sen α cos α cot α csc α sen α cos α csc α sen α cos α tan α sec α + cot + tan α csc α α sen α cos α cot α csc α + tan α + cot α sen α tan α cos α sec α sec α

44 0 Funciones trigonométricas inversas Todas las funciones trigonométricas antes mencionadas tienen inversa en un intervalo donde la función sea biyectiva. 0.. La función arc sen La función arc sen esta definida en el intervalo [, ]. arc sen : [, ] [ π, π ]. 0.. Gráfica de la función arc sen Gráfica de la función arcoseno.

45 0.. La función arc cos La función arc cos La función arc cos esta definida en el intervalo [, ]. arc cos : [, ] [0, π] Gráfica de la función arc cos Gráfica de la función arcoseno.

46 0.5. La función arctan La función arctan La función arctan esta definida en R. arctan : R [ π, π ] Gráfica de la función arctan Gráfica de la función arcotangente La función arccot La función arccot esta definida en R. arccot : R ( π, 0) (0, π ) Gráfica de la función arccot Gráfica de la función arcocotangente.

47 0.9. La función arcsec La función arcsec La función arcsec esta definida en R. arcsec : R [0, π ) ( π, π] Gráfica de la función arcsec Gráfica de la función arcosecante. 0.. La función arccsc La función arccsc esta definida en R. arccsc : R [ π, 0) (0, π ]. 0.. Gráfica de la función arccsc Gráfica de la función arcoseno.

48 La función a sen(bx + c) + d

49 La función a cos(bx + c) + d

50 La función a tan(bx + c) + d

51 4 Funciones hiperbólicas

52 5 Identidades trigonométricas

53 6 Aplicaciones Solicite información acerca de la versión completa de este documento de 00 hojas.

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