1.5 Funciones trigonométricas

Transcripción

1 .5 Funciones trigonométricas Haciendo uso de las razones trigonométricas vistas anteriormente, se puede definir un nuevo tipo de función, que llamaremos f unciones trigonométricas. Notemos que para cada ángulo en posición estándar o normal, cua medida se encuentre epresada en radianes ( radianes), eiste un valor asociado para cada una de las razones trigonométricas, lo que nos permite definir con éstas las funciones trigonométricas Definición Se definen las funciones trigonométricas básicas de la siguiente manera:. Función seno: sen: R [, ] 7 sen donde sen es el seno del ángulo de medida, en radianes.. Función coseno: cos: R [, ] 7 cos donde cos es el coseno del ángulo de medida, en radianes. 3. Función tangente: tan: R A R 7 tan donde tan es la tangente del ángulo de medida en radianes, A = n R/ =(k +) o,con k Z Si analizamos los valores de A como ángulos sobre el círculo trigonométrico, podemos notar que el lado terminal de cada uno de ellos está ubicado sobre el eje (a sea en la parte positiva o la parte negativa del mismo), sabemos que para estos ángulos el valor del coseno es cero, por lo que tan = sen cos está indefinida si A. 4. Función cotangente: cot: R B R 7 cot donde cot es la cotangente del ángulo de medida, en radianes, B = { R/ = k, con k Z} Si analizamos los valores de B como ángulos sobre el círculo trigonométrico, podemos notar que el lado terminal de cada uno de ellos está ubicado sobre el eje (aseaenlapartepositivaolapartenegativadel mismo), sabemos que para estos ángulos el valor del seno es cero, por lo que cot = cos está indefinida sen si B. 8

2 5. Función secante: sec: R A R ], [ 7 sec donde sec es la secante del ángulo de medida, en radianes, A = n R/ =(k +) o,con k Z Nota: por la justificación dada en la función tangente tenemos que la secante esta indefinida para valores, tal que A. 6. Función cosecante: csc: R B R ], [ 7 csc donde csc es la cosecante del ángulo de medida, en radianes, B = { R/ = k, con k Z} Nota: por la justificación dada en la función cotangente tenemos que la cosecante esta indefinida para valores, tal que B..5. de la funciones trigonométricas Claro que todas las propiedades e identidades vistas para las razones trigonométricas en las secciones anteriores siguen siendo válidas al considerarlas como funciones trigonométricas. Pero además tenemos algunas otras propiedades que estudiaremos a continuación. Paridad de las funciones trigonométricas Definición (paridad de una función) Sea f una función real de variable real, se dice que f es una función par si sólo si f ( ) =f (), para toda en el dominio de la función, se dice que f es una función impar si sólo si f ( ) = f (), para toda en el dominio de la función. Se dice que las funciones coseno secante son funciones pares, mientras que las restantes funciones trigonométricas son impares. Observe la siguiente tabla: sen ( α) = sen α cos ( α) =cosα tan ( α) = tan α cot ( α) = cot α sec ( α) =secα csc ( α) = csc α Ejemplo 4. Utilice la calculadora verifique que las siguientes igualdades se cumplen. sen ( ) = sen 4. cos ( 30 )=cos30. ³ tan = tan µ sec =sec cot ( 60 )= cot csc ( 45 )= csc 45 9

3 Periodicidad de las funciones trigonométricas Definición (periodicidad de una función) Sea f : D C, una función, se dice que f es una función periódica, si eiste un número real p>0 tal que f ( + p) =f (), para todo D. Al menor número p que tiene la propiedad anterior se llama el período de f. Una de las características más importante de las funciones trigonométricas es su periodicidad. Teorema (Periodicidad de las funciones seno coseno) Las funciones trigonométricas seno coseno son periódicas, de período. Es decir, para todo número real t, setieneque: cos (t +) =cost sen (t +) =sent es el menor número real con esta propiedad. Demostración : Sean α β dos ángulos en posición estándar, con medidas t t + respectivamente; como se muestra en las siguientes figuras: - t P(,) t+ P(,) Seno coseno son periódicas Se tiene que α β son ángulos coterminales, de modo que tanto el seno como el coseno son funciones periódicas, pues se puede observar que: sen (t +) =sent, cos (t +) =cost Teorema (Periodicidad de algunas otras funciones trigonométricas) Las funciones secante cosecante son periódicas de período las funciones tangente cotangente son periódicas de período. Es decir: sec (t +) =sect ; csc (t +) =csct tan (t + ) =tant ; cot (t + ) =cott De estos teoremas se puede deducir que para todo número entero k todonúmerorealt, en el que las funciones estén bien definidas, se cumple que: sen (t +k) =sent tan (t + k) =tant sec (t +k) =sent cos (t +k) =cost cot (t + k) =cott csc (t +k) =csct Definición (Amplitud) Sea f una función periódica, con período p, seam el máimo valor que puede tomar f m el mínimo valor que puede tomar f, sedefine la amplitud de la función como amplitud = M m Es decir, la amplitud se define como el promedio entre el valor máimo el valor mínimo que puede tomar la función. 0

4 Ejemplo Gráficas de las funciones trigonométricas Las propiedades de paridad periodicidad son mu útiles para cuando trabajamos con la gráficas de las funciones trigonométricas. Gráfica de la función seno. Observemos la gráfica de la función f definida por f () =sen, enlaque podemos observar las propiedades de la función trigonométrica seno estudiadas anteriormente algunas otras que se pueden deducir de su gráfica: f()=sen() El dominio de la función seno es R.. El ámbito de la función seno es [, ]. De donde podemos concluir que sen. 3. La función seno es periódica, de período. Lo que quiere decir que para todo número real en el dominio, se cumple que sen ( +k) =sen 4. La amplitud de la función seno es. 5. Corta el eje en los puntos (k, 0) con k Z. 6. Corta el eje en el punto (0, 0). Gráfica de la función coseno. Observemos la gráfica de la función g definida por g () =cos, enlaque podemos observar las propiedades de la función trigonométrica coseno estudiadas anteriormente algunas otras que se pueden deducir de su gráfica: g()=cos(). El dominio de la función coseno es R.. El ámbito de la función coseno es [, ]. De donde podemos concluir que cos.

5 3. La función coseno es periódica, de período. Lo que quiere decir que para todo número real en el dominio, se cumple que cos ( +k) =cos 4. La amplitud de la función coseno es. 5. Corta el eje en los puntos ³(k +) 0, con k Z. 6. Corta el eje en el punto (0, ). Observando las gráficas de la función seno la función coseno, podemos determinar que una corresponde a una traslación horizontal de la otra de unidades. Por lo que se puede verificarque,paratodonúmeroreal, ³ se tiene que sen + ³ =cos, obien,sen =cos +. Ejemplo 6. (se omite) Gráfica de la función tangente. Observemos la gráfica de la función h definida por h () =tan, enlaque podemos observar las propiedades de la función trigonométrica tangente estudiadas anteriormente algunas otras que se pueden deducir de su gráfica: h()=tan(). El dominio de la función tangente está constituido por todos los números reales menos aquellos de la forma (k +), con k un número entero.. El ámbito de la función tangente es R. 3. La función tangente es periódica, de período. Lo que quiere decir que para todo número real en el dominio, se cumple que tan ( + k) =tan. 4. Corta el eje en los puntos (k, 0) con k Z. 5. Corta el eje en el punto (0, 0). Gráfica de la función cotangente. Observemos la gráfica de la función f definida por f () =cot, en la que podemos observar las propiedades de la función trigonométrica cotangente estudiadas anteriormente

6 algunas otras que se pueden deducir de su gráfica: f()=cot() El dominio de la función cotangente está constituido por todos los números reales menos aquellos de la forma k, con k un número entero.. El ámbito de la función cotangente es R. 3. La función cotangente es periódica, de período. Lo que quiere decir que para todo número real en el dominio, se cumple que cot ( + k) =cot. 4. Corta el eje en los puntos ³(k +) 0, con k Z. 5. No corta al eje. Gráfica de la función secante. Observemos la gráfica de la función g definida por g () =sec, enlaque podemos observar las propiedades de la función trigonométrica secante estudiadas anteriormente algunas otras que se pueden deducir de su gráfica: g()=sec(). El dominio de la función secante está constituido por todos los números reales menos aquellos de la forma (k +), con k un número entero.. El ámbito de la función secante es R ], [. De donde podemos concluir que sec ó sec, para cualquier en el dominio. 3. La función secante es periódica de período. Lo que quiere decir que para todo número real en el dominio, se cumple que sec ( +k) =sec. 4. No corta al eje. 5. Corta el eje en el punto (0, ). 3

7 Gráfica de la función cosecante. Observemos la gráfica de la función h definida por h () =csc, enla que podemos observar las propiedades de la función trigonométrica cosecante vistas anteriormente algunas otras que se pueden deducir de su gráfica: h()=csc(). El dominio de la función cosecante está constituido por todos los números reales menos aquellos de la forma k, con k un número entero.. El ámbito de la función cosecante es R ], [. De donde podemos concluir que csc ó csc, para cualquier en el dominio. 3. La función cosecante es periódica de período. Lo que quiere decir que para todo número real en el dominio, se cumple que csc ( +k) =csc. 4. No corta al eje. 5. No corta al eje..6 Funciones trigonométricas inversas En los temas anteriores, trabajamos encontrando el valor de una razón trigonométrica para un ángulo dado. Tarde o temprano necesitaremos encontrar el ángulo para el cual una razón trigonométrica tome un cierto valor. Para esto, necesitamos definir para cada una de las funciones trigonométricas una función que reciba el valor de dicha función retorne la medida del ángulo. A estas funciones se conocen como funciones inversas de la funciones trigonométricas. Por ejemplo, si a la función seno se le restringe el dominio a, que es un intervalo donde la función es creciente se toma el codominio como [, ], que corresponde al ángulo de la función seno, entonces se tiene que la función es biectiva, por lo que la función seno con ese dominio ese codominio posee una función inversa. Inversadelafunciónseno h arcsen: [, ], i R 7 arcsen R = θ donde θ =arcsenr si sólo si sen θ = R h, Es decir, arcsen R es un ángulo en radianes en el intervalo i, para el cual el valor del seno es R. Otra manera de denotar la función inversa del seno de R es con sen R. Es importante indicar que sen R no es un potencia, sino, es la notación de función inversa, como lo es f (). 4

8 Recuerde que al componer dos funciones mutuamenteh inversas, el resultado es la función identidad, por lo que al componer sen arcsen, paraunr [, ] θ, i, se tiene que: sen (arcsen ) = arcsen (sen θ) = θ En la siguiente figura, podemos observar la gráfica de la función arcseno su función inversa seno, que nos permite observar la simetría de ambas respecto a la recta =. g()=sen() - f()=arcsen() - En la gráfica anterior, podemos observar algunas características de la función arcseno.. El dominio de la función es [, ].. El ámbito de la función es,. 3. La función siempre es creciente. 4. Corta a los ejes coordenados en el punto (0, 0). Inversa de la función coseno arccos: [, ] [0,] R 7 arccos R = θ donde θ = arccos R si sólo si cos θ = R De la misma manera que la función inversa del seno, la función inversa del coseno se puede denotar por cos R corresponde a un ángulo en [0,] cuo coseno sea R. Además tenemos que si R [, ] θ [0,], se tiene que: cos (arccos ) = arccos (cos θ) = θ En la siguiente figura, podemos observar la gráfica de la función arcocoseno su función inversa coseno, que 5

9 nos permite observar la simetría de ambas respecto a la recta =. f( ) = arccos() - g()=cos() En la gráfica anterior, podemos observar algunas características de la función arcocoseno.. El dominio de la función es [, ].. El ámbito de la función es [0,]. 3. La función siempre es decreciente. 4. Corta al eje en el punto (, 0). ³ 5. Corta al eje en el punto 0,. Inversa de la función tangente arctan: R, R 7 arctan R = θ donde θ =arctanr si sólo si tan θ = R De la misma manera que las funciones inversas del seno el coseno, la función inversa de la tangente se puede denotar por tan R corresponde a un ángulo en, cua tangente sea R. Además tenemos que si R R θ,, se tiene que: tan (arctan ) = arctan (tan θ) = θ En la siguiente figura, podemos observar la gráfica de la función arcotangente su función inversa tangente, que nos permite observar la simetría de ambas respecto a la recta =. f()=arctan() - g()=tan() 6

10 En la gráfica anterior, podemos observar algunas características de la función arcotangente.. El dominio de la función es R.. El ámbito de la función es,. 3. La función siempre es creciente. 4. Corta a los ejes coordenados en el punto (0, 0) Ejemplo 7. Sin hacer uso de la calculadora, determine el valor numérico de las siguientes epresiones à Ã!! cos arccos 3 µ µ sen arcsen µ µ 5 arccos sen 4 Solución: Notemos que [, ], por lo que: 3 à Ã!! cos arccos = 3 3 Notemos que [, ], por lo que: µ µ sen arcsen = µ µ 5 5 Sabemos que sen =cos 4 4 µ 3 =cos,además arccos µ µ 5 sen 4 = arccos = 3 4 [0,], por lo que tenemos que: µ µ 3 cos 4 7