EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

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1 EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener distintos valores en el área del mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada (variable independiente: la l) y otra que si depende de los valores elegidos en la l (variable independiente: la A). Puedes pues construir una tabla con algunos valores: l A / /4 0,5 0,5 En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues el lado de un cuadrado nunca puede tener una medida negativa. Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no puede ser negativa. Además siempre eiste un cuadrado que tenga por área cualquier número positivo (bastará construir un cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área elegida) Calcula la imagen de los números 0,,, y 0 en las siguientes funciones: Ejemplos Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:.- f()/ En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en los que intervenga la variable, podemos calcular la imagen a cualquier número real. Por tanto D(f)R.- Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos eigir:

2 3.- Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son: -0 luego Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos el : D(f)R\{} 4.- Tengo que eigir de nuevo: Ejercicios Calcula el dominio de las siguientes funciones: Ejemplos.- Hallar los puntos de la curva y -5+6 que pertenecen al eje de abscisas o al eje de ordenadas..- Representar la gráfica de la función f de R en R dada por Ejemplos.- Estudiar la eistencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en caso afirmativo calcularla: f()+ g() + En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la función compuesta eiste y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f. Por tanto, en este caso la función compuesta eiste y Dom(gof)Dom(f) R Además gof()g(f())(f()) +(+) Estudiar la eistencia de gof en el caso: En este caso, Dom(g)R luego el la función gof eiste siendo además Dom(gof)Dom(f) 3.-Dadas las funciones estudiar la eistencia de gof y de fog

3 a)gof Dom(g)R\{0}. Por tanto, si eiste algún punto del dominio de f tal que f()0 entonces no eistirá gof. Veámoslo:. Por tanto, como eiste un punto verificando eso, la función gof no eiste en este caso. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de f los puntos que verifican que f()0. Dom(f)R\{-} Y Dom(gof)R\{-,} b)fog Dom(f)R\{-}. Por tanto habrá que comprobar si eiste algún punto tal que g()-:. Como eiste un punto en esas condiciones, no eiste fog. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de g los puntos que verifican que g()-. Dom(g)R\{0} Y Dom(gof)R\{-/5,0} Ejercicios.- Dadas las funciones f()3-7 y g()+k, determinar k para que goffog..- Dadas la funciones, calcular si es posible la función gof. 3.- Dada la función, comprobar que (fofof)() 4.- Estudia la función gof siendo f() Estudiar las funciones gof y fog en el caso Ejercicios.-Comprobar analíticamente si las siguientes funciones son inyectivas o no: Ejemplos.- Calcular si es posible la función inversa de. En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no:

4 Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto eiste f -. Calculémosla: Ejercicios.- Calcular si es posible la función inversa de..- Eiste la función inversa de f()? 3.- Dada la función f()4-6; se pide: a) Eiste f -? b) calcular f - c) Calcular f - (f(3)) y f(f - (3)) 4.- Dadas las funciones f() + y g()+4. Calcular sus inversas si es posible. Ejercicios Estudiar la paridad de las siguientes funciones: Ejemplos.- Estudiar el crecimiento y acotación de la función y-. Veamos en primer lugar su representación gráfica:

5 Esta función es monótona decreciente en todo su dominio y no está acotada ni inferior ni superiormente..- Idem con la función f() -4 Veamos en primer lugar su representación gráfica: En este caso vemos que la función no es monótona creciente ni decreciente. Lo que si podemos afirmar es que es decreciente en (-inf,0) y creciente en (0,+inf) Observa que esta función no está acotada superiormente pero si lo está inferiormente siendo una cota inferior suya -5. Observa también que su mínimo es -4. Ejercicios.- Estudiar el crecimiento y acotación de las siguientes funciones:

6 .- Estudiar la monotonía y acotación de las siguientes funciones en R, en [-,], en [-,] y en [-3,3]: 7.- Límites de funciones En el caso de una función yf(), la variable independiente es un número que pertenece a los números reales. Por tanto, las posibilidades de movimiento a lo largo del eje de abscisas son tres:.- Nos podemos dirigir hacia un punto concreto del eje de abscisas ( 0 ) viendo el comportamiento de la función cuando nos acercamos a ese punto Por ejemplo nos podemos plantear cual es el comportamiento de la función y en el caso de que la variable independiente se acerque a Observa que en este caso la función se acerca a 4. En este caso diremos que. Además podemos comprobar este hecho construyendo una tabla de valores que se aproime a

7 f() Ejercicios Calcula por este procedimiento:. Realiza una interpretación geométrica..- Se puede estudiar el comportamiento de la función cuando la variable tiende hacia +inf. Ejercicio Utilizando una tabla de valores, estudia el comportamiento de la función f() cuando la tiende hacia +inf, es decir, estudia. Realiza una interpretación geométrica. 3.- De la misma forma cuando la tiende hacia -inf. Ejercicio Utilizando una tabla de valores, estudia el comportamiento de la función cuando la tiende hacia -inf, es decir, estudia. Realiza una interpretación geométrica. Observa que estudiar el límite de una función en cualquiera de los casos anteriores por el procedimiento utilizado, además de ser un trabajo pesado, no tiene mucha fiabilidad. Solo te puede servir para intuir cual será el límite. Es por esto, por lo que a partir de ahora veremos procedimientos para calcular límite de funciones de una manera mucho más rápida y precisa. Distingamos varios casos: CASO Supongamos que tenemos que calcular el límite de una función en un punto y que además se verifica:.- La función f no está definida a trozos..- El punto 0 está en el dominio de la función. En este caso se tiene que. Ejemplos

8 .- Calcula. En este caso Dom(f)R. Luego como el punto 8 está en el dominio de la función f y además f no está definida a trozos, se tiene que..- puesto que f no es función definida a trozos y Dom(f)R\{-4} por lo que - sí está en el dominio de la función. CASO Supongamos ahora que f se trata de una función definida a trozos. Antes de comenzar a calcular límites en estos casos, veamos algunos conceptos previos. Anteriormente, hemos visto que para estudiar el límite de una función en un punto estudiábamos el comportamiento de la misma acercándonos al punto por ambos lados. Análogamente podemos preguntarnos que le ocurre a la función cuando la variable se acerca a un punto pero solo por un lado. Es por esto por lo que podemos plantearnos el límite de una función por la derecha y por la izquierda. Los notaremos. Propiedad Una función yf() tiene límite en el punto 0 si y solo si eisten los límites laterales de la función en ese punto y son iguales. En ese caso:. Ejercicios.- Dada la función.- Calcula el límite de las siguientes funciones (si eiste) en los puntos determinados..

9 3.- Se sabe que la gráfica de la función es Calcular según la gráfica 4.- Dada la función estudiar en su gráfica Ejercicio

10 Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones: Ejercicio Representa gráficamente las siguientes funciones estudiando sus simetrías y períodos: Ejercicio 3 Dadas las funciones f()+ y g() 3, escribir las funciones compuestas: a)fof b)fog y gof. Es conmutativo? c)fofog Ejercicio 4 Hallarlas funciones recíprocas de a)y b)y+3 c)y d)ysen Ejercicio 5 Representar la función f(). A partir de ésta, dibujar la gráfica de la función. Partiendo de este ejemplo, indicar cómo se pasa de una función a la función valor absoluto de la misma. Ejercicio 6 Una función es par si f()f(-) y es impar si f()-f(-). Probar que si f() es par y g() es impar, entonces (fg)()f()g() es impar y (ff)()f()f() es par. Ejercicio 7

11 Dibujar por traslación las gráficas de las funciones: Ejercicio 8 Conociendo la gráfica de la función f()e eplicar, de una manera razonada, cómo se obtendría la gráfica de la función g()3+f(-). Realizar un dibujo aproimado de las dos gráficas. Ejercicio 9 Calcular los siguientes límites de funciones: Ejercicio 0 Calcular los siguientes límites de funciones: Ejercicio Calcular los siguientes límites de funciones: Ejercicio Calcular los siguientes límites de funciones: Ejercicio 3 Calcular los siguientes límites de funciones utilizando funciones equivalentes en 0: Ejercicio 4 Determinar los puntos de intersección de la curva un esbozo de la representación gráfica. con las asíntotas. Hacer Ejercicio 5

12 Se considera en el plano la recta. Encontrar dos funciones cuyas gráficas admitan a dicha recta como asíntota y tengan distintas posiciones respecto a ella. Representar dichas posiciones. Ejercicio 6 Determinar a para que se verifique EJEMPLO: Vamos a ver la gráfica y propiedades de las funciones y, e y(/) Dominio: R Creciente Pasa por (0,) POSITIVA lim f () lim 0 Dominio: R Dereciente Pasa por (0,) POSITIVA lim 0 lim f () EJERCICIOS Representa las gráficas de las siguientes funciones: y3, y4, y5, y(/3), y(/4), y(/5),... EJERCICIOS Hallar el dominio de la siguientes funciones: a) a) f() 3-4+ d) d) b) b) + e) e) + c) c) f) f) 8 3 +

13 g) g) j) j) m) m) p) p) h) h) k) k) f() n) n) + q) q) f() i) i) l) l) o) o) f r) r) f() ( ) + s) s) f() 3 + t) t) f() u) u) 5 + v) v) w) w) + ) ) + EJERCICIO Estudiar la paridad de las siguientes funciones. a) f()/ b) f()+ EJERCICIOS Calcula (g f)() y (f g)(), siendo f y g las siguientes funciones: f()+3 f() + g()+. g( ) g( ) + g()/(-). f() g() -. g( ) + +

14 EJERICIOS Halla la inversa de las siguientes funciones: a)f() - 4 ; - b)g() ; + c)h() d)i() + e)j() ; ; EJEMPLO I Consideremos la función f() si < si > lim Esta función no está definida en el punto. Cuando nos aproimamos a este punto por la izquierda, la función se aproima a. Decimos por tanto que el límite de f() cuando tiende a por la izquierda es, y lo epresamos: lim + 0 Del mismo modo al aproimarnos a por la derecha (tomando valores mayores que ) la función se aproima a 0. Por tanto "el límite de f() cuando tiende a por la derecha es 0", lo epresamos: EJEMPLO II 3si < f() - 4 si - + si > lim + 0 En este caso: lim f()-4 EJEMPLO III

15 3 - + si i < lim + 0 f()0 lim Fijarse que en los tres casos el límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, sin embargo el valor de la función en el punto es distinto en cada caso; o incluso puede no estar definida en ese punto (Ejemplo I). Es decir, a la hora de calcular el límite de una función en un punto no nos interesa el valor de la función en ese punto sino en sus cercanías. EJEMPLO IV 5 si < 3 si 3 lim 3 lim+ 3 cuando el límite por la izquierda y por la derecha coincide se dice que eiste el límite de f() cuando tiende a y es igual a ese número. Escribiremos: lim 3 Ejemplo f()/ Esta función tiene como gráfica la de la figura, se puede observar que a medida que nos acercamos al punto cero por la derecha la función se dispara a infinito, mientras que si nos acercamos por la izquierda la función se dispara a menos infinito. Analíticamente: lim (f()) lim ) ( +

16 lim (f()) lim ) ( EJERCICIOS a) lim + ( + ) b) lim ; 4 + c) lim 3 ; 4 d) lim + e) lim ( + ) ) lim ( + f ) 3 g) lim ( 3 ) h) lim + 6 EJERCICIOS: ) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 0 si Z a) f() si Z si 0 e) - 3si > 0 i) si < + si b) f() f) f() j) f() - +si -si si 3 0 < 0 si c) f() g) f() j) f() 4 +si -si > +si < 3 si 3 < 4 0 si 4 d) f() h) f() k) f() +si -si si -si si < si 0 < 0 si > > ) Calcula el valor de "k" para que las siguientes funciones sean continuas: k si 0 + si a) f() b) f() 4 si 0 3- k si > 3 + Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones reales de variable real:

17 a) b) c) Ejercicio. Solución a) La función, es una función racional, y por tanto su dominio vendrá epresado por todos los valores reales que no anulen al denominador. Por tanto: Lo cual quiere decir que el dominio de esta función se puede epresar como: b) La función, es una función compuesta de función racional y función irracional, por lo que la condición que han de cumplir los valores que pertenezcan al dominio son:, por tanto, y el dominio vendrá epresado por el intervalo abierto: c) La función es una función irracional, y la condición que han de cumplir los valores de su dominio es:. La resolución de esta inecuación sería:. Esta inecuación da tres intervalos cuyos signos, tomando cualquier valor de dicho intervalo, es: negativo positivo negativo

18 positivo Por tanto el dominio de la función será: d) La función es una función trigonométrica, concretamente tangencial, y por tanto los valores del dominio han de cumplir que hagan que la tangente sea distinta de (siendo k cualquier número entero). Por tanto en este caso: Por tanto el dominio de la función será:, siendo Ejercicio 3. Enunciado Sean las funciones: y, calcula: a) b) c) d) Ejercicio. Solución Para saberlo hay que calcular f(-) y f(). a) Como, la función es impar. b) Como, la función es par. c)

19 Como y, la función no es par ni impar. d) Como, la función es impar Ejercicio 3. Solución a) b) c) d) Para el cálculo de la función inversa de g(), pondremos la función como:. Ahora habrá que despejar en función de y: haciendo el cambio de por y, nos queda que:, y por tanto: Ejercicio 4. Enunciado Representar la función: Ejercicio 4. Solución Es una función cuadrática en valor absoluto, por lo que, por un lado hay que calcularle el vértice, y por otro lado los puntos de corte con el eje de abscisas: Vértice:

20 Puntos de corte: Esto quiere decir que la función en el intervalo (,3) tendría la forma: y en el resto del dominio, sería. El vértice en el intervalo (, 3) sería: La gráfica sería: Ejercicio 5. Enunciado La cantidad de carbono-4 presente en un organismo vivo permanece sensiblemente constante. A partir del momento de la muerte, sin embargo, va disminuyendo por desintegración de acuerdo con la función:, donde C es la cantidad de carbono-4 final, C0 es la cantidad de carbono-4 inicial, y t el tiempo transcurrido. Construye la gráfica de la función y la de su inversa, escribiendo sendas tablas de valores de en0.000 años y de 0% en 0% respectivamente. Ejercicio 5. Solución La función es una función eponencial, monótona y decreciente, debido a que la base está elevada a una potencia negativa (y por tanto dicha base sería menor que ). Para la construcción de la primera tabla tomaremos como variable

21 dependiente el cociente: y como variante independiente el tiempo t: La construcción de la gráfica en función de estos datos sería: t Para la construcción de la segunda tabla habrá que calcular primero la función inversa:

22 en este caso la variable dependiente será el tiempo, y la variable independiente será el cociente. La tabla sería la siguiente: La gráfica según los datos sería: T Ejercicio 7. Enunciado Demostrar que la función polinómica en R+, y es estrictamente decreciente en R-. es estrictamente creciente

23 Ejercicio 7. Solución Sean y dos puntos cualesquiera de R+, se debe cumplir que:, es decir: evidentemente Análogamente se demuestra que para que sea estrictamente decreciente en R-, ha de cumplirse que:, para cualquier par de puntos y de R-.

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