Capítulo 2: Concepto y Cálculo de Límites

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1 Capítulo : Concepto y Cálculo de Límites Geovany Sanabria Contenido Concepto de Límite Una definición intuitiva de Límite Ejercicios 6 Problemas con la utilización de sucesiones para calcular límites 7 Cálculo de Límites 8 Propiedadesprincipalesdelosites 8 No siempre el ite es sustituir! Formasindeterminadas Conciente indeterminado 0 : 0 Diferencia indeterminada : Producto indeterminado 0 : 4 Potencias indeterminadas 0 0, 0, : 4 Maniobras algebraicas para la forma indeterminada Ejercicios 5 5 LimitesLaterales 5 5 Ejercicios 7 6 Limites infinitos 7 6 Ejercicios 9 7 Enresumen 9 8 Limitesdefuncionestrigonométricas 0 8 Ejercicios 9 Limites al infinito 9 Ejercicios 4 0Otroslímites 5 0 Ejercicios 8

2 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Concepto de Límite Una definición intuitiva de Límite De acuerdo a la definición de límite utilizando sucesiones se tiene la siguiente definición de límite Definición Se dice que el límite de f, cuando se acerca a b, es L yseescribe f () =L b si para toda sucesión de números:,,, que se acerca a b ydistintosdeb, setienequela sucesión f ( ),f( ),f( ), se acerca a L Gráficamente: f ( ) f ( ) f ( ) De acuerdo a esta definición, bajo ciertas restricciones (asumiendo la eistencia del límite), por medio de una tabla tomando algunos valores de una sucesión que se acerca a b, se puede obtener el valor del límite Ejemplo Calcular ( +) Sea f () = +, y consideremos una sucesión n queseacerquea: n n f ( n ) 4, 9 6, 7, 99 6, 97 4, 999 6, 997 Por lo tanto ( +)=7 b f () =L si y solo si ( n) convergente a b, tal que {n N, n = b}es finito, se tiene que f ( n ) converge a L

3 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Para tener más seguridad en el valor del límite se puede consideras dos sucesiones: una sucesión creciente con valores menores a b (acercamiento por la izquierda o negativo) y otra decreciente con valores mayores a b (acercamiento por la derecha o positivo) Ejemplo Calcular Sea f () = Por lo que = PorlaIzquierda Porladerecha n f ( n ) n f ( n ) Lo anterior permite introducir la idea de ite lateral Definición (Límite lateral) Se dice que el límite de f por la izquierda, cuando se acerca a b, es L yseescribe f () =L b si para toda sucesión de números:,,, que se acerca a b y menores de b, setienequela sucesión f ( ),f( ),f( ), se acerca a L Similarmente se define el límite por la derecha: f () =L b + Ejemplo Calcular Sea g () = Así, 9 9 Por la Izquierda n g ( n ) = 06 = 6 Calcule + 9

4 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Ejemplo 4 Sea m () = En este caso, se tiene que: si 5 +6 si < Calcular m () PorlaIzquierda Porladerecha n f ( n ) n f ( n ) m () =6 y m () =, + entonces m () NO EXISTE El concepto de infinito se combina con el concepto de límite en las siguientes definiciones Definición (Límite al infinito) Se dice que el límite de f, cuando crece indefinidamente y de manera positiva, es L yseescribe f () =L si para toda sucesión de números creciente y no acotada:,,,,setienequelasucesiónf ( ), f ( ),f( ), se acerca a L Similarmente se define el límite a menos infinito: f () =L M N f () =N y f () =M Definición 4 (Límite infinito) Se dice que el límite de f, cuando se acerca a b, es + yse escribe f () =+ b si para toda sucesión de números:,,, que se acerca a b ydistintosdeb, setienequela sucesión f ( ),f( ),f( ), crece indefinidamente y de manera positiva Similarmente se define 4

5 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites el límite: f () = b 0 8 c f () =+ b Ejemplo 5 Calcular Sea h () = - b f () = c PorlaIzquierda Porladerecha n h ( n ) n h ( n ) Entonces =+ + Ejemplo 6 Calcular + + Sea j () = + n j ( n )

6 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites + Entonces + = Ejemplo 7 De acuerdo a la gráfica de la función k () calcule los siguientes límites k () = 5 k () = 5 + k () = k () = + Cuál es el dominio de la función? k () = + k () = + k () = + k () = Ejercicios Calcule los siguientes ites utilizando sucesiones:

7 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Dé la definición de los siguientes límites y brinde una representación gráfica para cada uno: f () =+ b f () =+ f () =+ f () = b + Realice los ejercicios de la práctica: "Ejercicios sobre Límites" de las páginas - Problemas con la utilización de sucesiones para calcular límites La utilización de sucesiones, en la sección anterior, nos ayuda a tener una intuición sobre el valor del límite Sin embargo, esa intuición puede ser engañosa ³ π Ejemplo 8 Calcular sen 0 + ³ π Sea f () =sen Se tiene que: n n f ( n ) 0, 0 0, 0 0 0, , ³ π yerróneamentesepuedeconcluirque sen =0, cuando este límite no eiste, basta ver la 0 gráfica de f : -5 5 Conforme se acerca a 0, la función comienza a oscilar entre y más rápidamente - Es así, como nuestra primera definición de límite no es confiable para calcular límites En general, se suele utilizar una definición menos intuitiva de límite: Definición 5 Se dice que el límite de f() es L cuando tiende a b yseescribe f () =L si b cuando se acerca a b, f() se acerca a L Así, surge la interrogante cómo calcular límites? Esta pregunta será contestada en el siguiente apartado 7

8 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Cálculo de Límites Propiedades principales de los ites Teorema Sea c una constante y suponga que los límites: f () y g () eisten y, tienen como resultado un número real: entonces: f () =L, g () =M, L,M R a) [f ()+g ()] = f () + g () =L + M b) [f () g ()] = f () g () =L M c) [c f ()] = c f () =c L d) [f () g ()] = f () g () =LM e) f () = g () f () g () = L,si M 6= 0 M Nota: estas propiedades son válidas para límites laterales + Ejemplo 9 Sabiendo que = 4 y sen =, determine utilizando las propiedades 0 principales los siguientes ites: µ sen µ + 0 ( +7 + ) sen µ sen sen 0 8

9 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Ejemplo 0 Considere el siguiente gráfico: 4 y=f() y=g() - Determine los siguientes límites: f () [f () g ()] 0 g () + [f () g ()] f () 5g () π 9

10 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Ejemplo Determine si es verdadera siempre o no, cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si f () =0 y g () = entonces f () g () =0 b b 0 4f (y) g (y) b) Si f () =5 y g (t) = entonces = t y 4 c) Si t () = y v () = entonces [t ()+v ()] = 5 Teorema Otras propiedades fáciles de intuir son: a) c = c c) n = b n, n N b) = b d) n = n b, n N e) p q n f () = n f (),n N, yencasodequen es par f () 0 Ejemplo A partir de estas propiedades justifique las siguientes a) n = b n, n N,b6= 0 b) n m = b n m, n Z,m N Ejemplo Calcule los siguientes límites y justifique sus pasos a) 4 c) b) 6 d) 5 e) + + Del último límite se puede intuir el siguiente teorema: 0

11 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Teorema Si P () es un polinomio entonces P () =P (b) Ejemplo 4 Calcule los siguientes límites y justifique sus pasos r + + No siempre el ite es sustituir! ½ si 6= Ejemplo 5 Sea f () = Note que f () = 5, sin embargo si entonces 5 si = 6=, por lo tanto, de acuerdo a las propiedades anteriores: f () =( ) = En las funciones que están definidas por partes se debe tener mucho cuidado al identificar la parte a utilizar Ejemplo 6 Sea g () = ½ + si < +4 si Observe los siguientes límites: Formas indeterminadas g () = += 0 0 g () = +4=6 g () = += Una forma indeterminada es un cierto límite cuyo valor en un primer momento se desconoce o puede no eistir Para determine su valor en caso de que eista, se requiere realizar algunas maniobras algebraicas A continuación se eponen las formas indeterminadas principales

12 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Conciente indeterminado 0 0 : f () Si f () =0 y g () =0 entonces b b b g () =? Con "?" se quiere decir que el límite da "cualquier cosa", puede dar cualquier número real e incluso no eistir Esto se puede mostrar fácilmente con el siguientes ejemplos: a) =0, 0 b) =0, 0 c) =0, =0 y 0 0 =0 y 0 0 Diferencia indeterminada : = = ( ) =0 y 0 = 0 = ( ) = {z } NO EXISTE entonces b Si f () b = (o ) y g () = (o ) b [f () g ()] =? Ejemplos: a) ( ) =, b) ( +)=, Producto indeterminado 0 : = y = y 0 0 ( ) = = 0 ( +) = = 0 Ejemplos: Si f () =0 y g () =± entonces f () g () =? b b b a) b) =0, 4 =0, = y 0 = y 0 = 4 = 4=4 0 0 = 4 Potencias indeterminadas 0 0, 0, : Si Si Si f () = 0 y g () =0 entonces f b b b ()g() =? f () = y g () =0 entonces f b b b ()g() =? f () = y g () = entonces f b b b ()g() =?

13 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Un ejemplo para el primer caso: a) e =0, b) e =0, =0 y 0 (e ) =0 y 0 (e ) = e = e 7 0 = 0 e = e Maniobras algebraicas para la forma indeterminada 0 0 Si f () es una función no definida por partes formada por las operaciones: +,,,, () n, n, yse desea calcular el f () pero al sustituir b en f () se obtiene una forma indeterminada, se debe realizar alguna manipulación algebraica (factorización, racionalizar,) para calcular el límite En el caso de la forma indeterminada 0, si para el límite 0 f () se tiene que f (b) =0 0 esto significa que la epresión ( b) es un factor común del numerador y denominador de f (), por lo tanto, se debe tratar de factorizar f () Ejemplo 7 Sea f () = 5 5 µ, note que f = 0 (forma indefinida), entonces Cómo se 0 averigua f ()? Simplifiquemos f () Por lo tanto µ = = f () = µ = µ = 5 5 = 5 Ejemplo 8 (Cuidado con la definición de función) Considere la siguiente función f () = Simplificando se obtiene que (realícelo): = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) Sin embargo note que f () 6= Por qué? Sea g () =, aunque al + + simplificar la fórmula de la función f se obtiene la fórmula de la función g, estas funciones son

14 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites diferentes, basta ver su dominio máimo: El dominio de f es R {}, pues su denominador se hace cero en El dominio de g es R Así debe quedar claro que al simplificar una fórmula de una función f () se obtiene una nueva función g, donde f 6= g, pero f () = g () a a Ejemplo 9 Calcule Note que al sustituir la por 0 se obtiene la forma indeterminada 0 Racionalizando la función se 0 obtiene que 7 9 = 7, por lo tanto: 0 Ejemplo 0 Calcule = 0 7 =0 Note que al sustituir la por 0 se obtiene la forma indeterminada 0 Racionalizando la función se 0 obtiene que = ++ +, por lo tanto Ejemplo Calcule h 0 Note que: h = = 4 h h + " h = h + h 0 h h + # h + + h ++ h + + h ++ i h h h + + h ++ = h 0 h + ³ = h 0 h + + h ++ =9 4

15 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites + 0 Ejemplo Calcule = = = 6 = 6 4 Ejercicios ( + 0) ( +4) 6 6 ( 0 + )( +4) ³ ( 0) ( +4) ( 6) ( ( +4) = ) 6 ( 6) ( 0 ) ( 6) ( 5) ( +4) = 6 ( 6) ( 0 ( 5) ( +4) = ) 6 ( 0 = 9 8 =9 ) 8 Calcule los siguientes límites +5 + R/ R/ 0 5 R/ t 0 + R/ t +4 t R/ 4 a h +h 6 h 0 h + ha + R/a +a 0 7 R/ R/ Limites Laterales Un teorema muy importante en el cálculo de límites es el siguiente: Teorema 4 El f () =L si y sólo si f () =L y f () =L + 5

16 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Para el cálculo de límite este teorema gracias al si y solo si ( ) lo podemos utililizar de dos maneras: A) FORMA = : Si el f () =L entonces f () =L y f () =L + Este forma la utilizamos para calcular límites laterales si se sabe como calcular el ite general Ejemplo Calcule 4 + :Note que 4 = ½ 4 si 4 0 ( 4) si 4 < 0 Como se acerca a, entonces 4 se acerca a, por lo tanto se puede supone que a partir "de cierto momento" 4 < 0, así 4 = ( 4) Ejemplo 4 Calcule = 4 ( 4) = + Note que si se sustituye en la función se obtiene la forma indeterminada 0 Simplificando el denominador: p 0 4 = p 4 ( ) = Como se acerca a 0, entonces se puede suponer que <0, y p 4 = Por lo tanto: B) FORMA =: 0 4 = 0 = Para que el f () =L es necesario que se cumpla = f () =L y + f () =L Este forma es útil cuando la función esta definida por partes (se parte en b) y particularmente cuando la fórmula de la función contiene una epresión similar a b = b ½ +6 si >5 Ejemplo 5 Sea g () = Determine g () si 5 5 Calculemos los límites laterales: 5 Por el teorema 5 g () =9 p g () = =9 y g () = +6=

17 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites ½ Ejemplo 6 Sea f () = 5 si b 4 si < Determinemos los límites laterales: Determine el valor de b para que f () eista f () = b 4=b 4 y f () = + 5= + Así, el límite eiste si b 4=,de donde se obtiene que b = 7 Ejemplo 7 Calcule 6 4 Los límites laterales son: 6 4 = 6 4( ) = ( ) = 4( ) 6 4 = 6 4( ) = ( ) = 4( ) = 6 + 4( ) = ( ) 4( ) = 6 Por lo tanto, NO EXISTE 4 5 Ejercicios Calcule los siguientes límites R/ 9 7 R/ NO EXISTE 7 7 R/0 4 4 Sea f () = ½ b 4 si b +si < Determine los valores de b para que f () eista R/, 5 6 Limites infinitos Teorema 5 Si el f () =C, donde C esunaconstantediferentedeceroyel g () =0, f () entonces para el valor de eisten tres posibilidades: g () f () f () =+ o = o no eiste g () g () 7

18 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites El teorema anterior indica una manera de distinguir un ite infinito, además establece la necesidad de hacer uso de los límites laterales para ver si el ite eiste o no Dado que se quiere dejar de lado las tablas y pasar de la intuición que estas nos brindan a un punto de vista más formal introduciremos la siguiente notación Notación Si f () =0(o f () =0)yf se va acercando por la derecha a cero entonces + se dice que el límite es equivalente a 0 + Gráficamente: f () = g () =0+ Del mismo modo si f () =0(o f () =0)yf se va acercando por la izquierda + a cero entonces se dice que el límite es equivalente a 0 Gráficamente: f () =0 - g () =0 + Ejemplo 8 Note que =0, 5 = 0 +, q ( 5) =0 + + =0+, 8

19 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Teorema 6 Si c es una constante distinta de 0 entonces Si c > 0 : Si c < 0 : c 0 + =+ c 0 = c 0 + = c 0 =+ +5 Ejemplo 9 Determine 5 5 Al sustituir se obtiene la forma c, entonces se recurre a los límites laterales: 0 Por lo tanto, Ejercicios Calcule: En resumen = 0 +5 = y = =+ NO EXISTE R/ NO EXISTE R/ + R/ f() f() Suponga que se desea calcular, donde la epresión no esta definida por partes, entonces: g() g() Si f(b) g(b) = c f (),d6= 0entonces d g () = c d Si f(b) g(b) = 0, entonces es necesario realizar una maniobraalgebraicaparacalcular 0 f () g () Si f(b) g(b) = c f (),c6= 0, entonces es +, onoeiste,estesedebeaveriguarutilizado 0 g () límites laterales 9

20 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites 8 Limites de funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas utilizadas serán las definidas en radianes y no en grados estudiar estos límites se señalan dos resultados importantes Antes de Teorema 7 a) Si f() <g() cuando se acerca a b, f() y g() eisten, entonces f() g() Teorema 8 (Teorema del emparedado) Si f() < g() < h() y f()= h() =L entonces g() =L Ejemplo 0 Dado que sen, si >0 entonces Como 0 0 sen = =0, por el teorema del emparedado, se tiene que + + Teorema 9 Algunos límites trigonométricos importantes son: 0 sen = senb cos = cosb 0 tan = tanb, si b 6= nπ, n N sen cos = 0 sen = = 0 sen =0 0 + La mayoría de los límites trigonométricos se calculan utilizando los límites anteriores y las identidades trigonométricas Algunas identidades trigonométricas son: sen θ+cos θ = sen θ = r cos θ, cos θ r +cosθ = sen θ =senθ cos θ, cos θ =cos θ sen θ ³ π θ 4 sen =cosθ, ³ π θ cos =senθ 5 cos (θ + α) =cosθ cos α sen θ sen α, sen (θ + α) =senθ cos α +cosθ sen α 6 cos (θ α) =cosθ cos α +senθ sen α, sen (θ α) =senθ cos α cos θ sen α 0

21 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Ejemplo Calcule 0 sen sen 5 Note que sen sen 5 = sen sen 5 = sen 5sen5 5 Dado que sen sen sen y = = = =, 0 0 y 0 y realizando el cambio de variable y = (Note que si 0 entonces y 0) y además, similarmente entonces: Ejemplo Calcule 0 tan Note que tan = 0 0 Ejemplo Calcule 0 sen tan 5sen5 =5, 0 5 sen 0 sen 5 = 0 sen cos = 0 sen 5sen5 5 = 5 cos sen = = 0 µ sen µ cos sen sen tan cos cos 0 = 0 = 0 sen (cos ) cos + sen cos = 0 = cos cos + 0 cos (cos +) sen = 0 cos (cos +) Como sen +cos =, entonces cos = sen, continuando: sen tan sen cos 0 = 0 cos (cos +) = sen 0 cos (cos +) ³sen = = 0 cos (cos +)

22 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites tan (π) Ejemplo 4 Calcule + Realiuzando el cambio de variable y = + se obtiene que tan (π) tan (πy π) = + y 0 y Como la tangente es una función periodica de periodo π entonces tan (πy π) =tan(πy), así tan (π) + tan (πy π) tan (πy) = = y 0 y y 0 y sen (πy) π = y 0 πy cos (πy) = π = π 8 Ejercicios Calcule 0 sen R/0 0 sen R/0 0 sen sen( ) tan tan( ) R/ sen () R/ 9 Limites al infinito Teorema 0 Si c es una constante y r es un número racional positivo, entonces Similarmente c =0 c r = c + =0 Ejemplo 5 Calcule = 4 5 = 4 5 = 4 5 Ejemplo 6 Calcule + 5

23 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Note que si se sustituye por infinito se obtiene una forma indeterminada Desracionalizando se tiene que: por lo tanto + 5 = 5 5 = = 5 5, 5 5 = 5 + =0 Ejemplo 7 Calcule Notequesisesustituye por infinito se obtiene una forma indeterminada Desracionalizando se tiene que: = (realícelo), por lo tanto = Sin embargo si se sustituye por infinito se obtiene de nuevo otra forma indeterminada Note que + = = µ µ s + s Ãr r! + Como +, se puede suponer que >0, entonces =, así Ejemplo 8 Calcule + = + = + = 0 + = 4 ³p p 4 Ãr r! + r + r! = Ãr r 4! Ãr r 4 = = =

24 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Ejemplo 9 Calcule 4 = 5 Factorizando se obtiene que Ãr r! 4 r 5 = r r r 5 4 = Recordemos la gráfica del arcotangente: π π De acuerdo a su gráfica se tiene que Ejemplo 40 Calcule tan = π tan y tan = π tan = π = π 0=0 9 Ejercicios Calcule + + R/+ R/0 + + R/ R/

25 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites R/ +0 8 R/ 7 R/ sin Utilice el teorema del emparedado para probar que =0 R/ R/ 0 R/ 0 Otros límites Recuerde que se define la parte entera de :[ ] como el máimo entero menor o igual que Ejemplo 4 Se tiene que: [ ] =, note que [ ] NO EXISTE [ ] =, + [ ] = +, En algunas un cambio de variable del límite puede permitir epresarlo como el cociente de dos polinomios Ejemplo 4 Calcule Si se sustituye se obtiene la forma indeterminada 0 El mínimo común múltiplo de los índices de las 0 raíces es 60, por lo tanto realizando el cambio de variable = y 60 para einar las raíces Cuando 0 +, note que y 0 (y puede ser positivo o negativo), sin embargo como 4 = y 5 debe ser positivo, entonces y 0 + : = y y 5 y 0 + y 0 +y = +y y 0 + y (y 5 +) 5 = y +y y 0 + y 5 (y 5 +) 5

26 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Si se sustituye y por 0, en este último límite, se obtiene la forma c, dado que ya es un límite lateral, 0 se obtiene: +y y 0 + y (y 5 +) = 0 + =+ Por lo tanto, el =+ 5 + Ejemplo 4 Calcule Realizando el cambio de variable = y para einar las raíces, se obtiene: = y = y 5 y + y 4 +y y5 = = 9 y y + 4 y 5 y + y + 0 Ejemplo 44 Calcule 6 4 Anteriormente se calculo este límite racionalizando y desracionalizando También se puede calcular de una manera más simple realizando un cambio de variable Sea = y, note que si 6 entonces y 4, por lo tanto: + 0 y + y 0 (y 4) (y +5) = = = (y +5)=9 6 4 y 4 y 4 y 4 y 4 y 4 Para el calculo de límites de funciones eponenciales y logarítmicas es necesario tener presente sus gráficas: Función eponencial a 0 <a< a> a =0 a =+ - a =+ a =0 6

27 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites Función logaritmo log a 0 <a< a> - - log a = log 0 + a =+ log a =+ log 0 + a = Ejemplo 45 Note que: a) = e =0 0 b) + ln ( ) = 6 =0 µ e + µ e c) + = + + µ =+ 6 ( + ) + d) + 5ln + = + 5ln ( + ) =5 ln 0 + =0 sen Ejemplo 46 Calcule 5 Note que 5 sen Utilizando el Teorema del Emparedado se tiene que sen

28 Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - Límites ycomo 5 = + 5 = µ µ =0 5 5 µ µ + =0 5 5 sen entonces 5 =0 + tan Ejemplo 47 Calcule Note que + π + tan + + π además, dado que, entonces se puede supones que > yporlotanto = ( ) < 0, así + + π + tan Utilizando el Teorema del Emparedado se tiene que entonces + tan Ejemplo 48 Suponga que 0 = µ f () L = 0 sen ( ) µ = 0 sen ( ) 0 Ejercicios + tan f () ( =4CalculeL = 4) 0 µ f () ( ) = 0 + π, con > = 0 f () sen ( ) sen ( ) f () µ sen ( ) = 0 sen ( ) f () 0 ( = 4= 8 4) Calcule los soguientes límites: (a) sen f () ( 4) Realice los ejercicios de la práctica: "Ejercicios sobre Límites" de las páginas 4-5 8

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