Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. n N, ( a 0 ) m a. m Z, n N

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1 EXPONENCIALES Y LOGARITMOS FUNCIÓN EXPONENCIAL Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. Potencias de eponente natural: a n = a. a. a... a n N n veces Potencias de eponente nulo: a 0 = ( a 0 ) Potencias de eponente entero negativo: a -n = Potencias de eponente fraccionario: a m/n = n y conocemos sus propiedades básicas: a n. a m = a n+m (a n ) m = a n.m n, m Q n a m a n N, ( a 0 ) m Z, n N Es posible dar sentido a epresiones tales como π, 3 y estimar su valor a partir de una aproimación del eponente irracional. Las propiedades antes mencionadas se etienden para el caso en que n y m son números reales cualesquiera. Con esto, podemos definir la función eponencial. Dado a > 0, llamamos función eponencial de base a a la función f : R R definida por f () = a. Su comportamiento es muy distinto según sea a >, a <, a =. Ejemplo: Analizar la gráfica de la función eponencial de acuerdo al valor de a. a) Si a >, por ejemplo y = En este caso la función es creciente. b) Si 0 < a <, por ejemplo y = Aquí la función es decreciente. La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de estas dos funciones

2 = = Ejercicio : Qué pasa cuando a =? Ejercicio : Graficar: a) y = 3 b) y = c) y = 5 - La función eponencial aparece con frecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos evolutivos. Ejemplo: Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproimadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Calcular el número de amebas que habrá según pasan las horas. Tiempo (hs) Nro. de amebas 8... El número total al cabo de horas será y = Si al comienzo del proceso había k amebas, el número total sería:

3 y = k Ejercicio 3 : Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras sustancias. Sustancia radiactiva radiaciones + otra sustancia. Este proceso se realiza con el paso del tiempo y a un ritmo que varía según el tipo de sustancia. La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva se mide mediante su "período de desintegración", que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial; algunos ejemplos son: uranio: 500 millones de años radio: 60 años actinio: 8 años talio: 3 minutos Si tenemos una masa inicial de un gramo, averiguar qué cantidad de sustancia radiactiva queda al cabo de: Tiempo (años) grs. de sustancia... Cuál es la función que representa este proceso?. Graficar. ECUACIONES EXPONENCIALES A una ecuación en la que la incógnita aparece en un eponente se la llama ecuación eponencial. Ejemplos: Resolver a) 5 3- = 5 Observemos que 5 3- = 5 3, entonces 3 - = 3, luego = 0 b) 3 = 7 3 = 3 = = -3 = = = = - Ejercicio : Encontrar el valor de que verifica: 3

4 + a) + = 8 b) 3 = 0,5 3+ FUNCIÓN LOGARÍTMICA - LOGARITMOS Ejemplos: Resolver 0 - = = Observemos que no podemos epresar al segundo miembro como potencia de 0, lo que nos permitiría resolver la ecuación. Nuestra pregunta es: cómo podemos resolver ecuaciones del tipo 0 = k?, o en general a = k?. Podemos hacerlo si conocemos la función inversa de y = 0. A esta nueva función se la llama función logarítmica en base 0 y se denota y = log 0. Ahora, podemos decir que, si 0 = k entonces = log 0 k es decir, el logaritmo de un número en base 0 es el eponente al que hay que elevar la base 0 para obtener dicho número. Generalizando: Sea a > 0 y a, e y > 0, llamaremos logaritmo en base a de y al único número que verifica a = y. Es decir, log a y = a = y. Ejemplo: Para cada una de las siguientes igualdades eponenciales escribir la correspondiente igualdad logarítmica. a) 7 = 8 7 = 8 log 8 = 7 b) 8 /3 = 8 /3 = log 8 = 3

5 Ejemplo: Calcular a) log 6 log 6 = y y = 6 = y = b) log 3 log 3 = y y = 3 = 5 y = 5 Ejemplo: Resolver 0 - = = 30 - = log 0 30,77 luego - 0,77 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Recordemos algunas propiedades de los logaritmos:.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores log a (. y) = log a + log a y.- El logaritmo de una potencia es igual al eponente por el logaritmo de la base log a ( y ) = y. log a A partir de estas dos propiedades se pueden deducir las siguientes: 3.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. log a = log a - log a y y Observar que log a = log a. y y.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. log y a = loga = y Observar que log y a = log a ( /y ) log a y 5

6 Observemos los siguientes hechos importantes:.- El logaritmo de la base es siempre log a a = por qué?.- El logaritmo de es 0 en cualquier base log a = 0 por qué? Ejemplos: Calcular: a) log (8. ) log (8. ) = log 8 + log = 3 + = 5 b) log 6 log 6 = log - log 6 = 0-3 = -3 Ejercicio 5 : Calcular log 8 Ejercicio 6 : Calcular log Ejercicio 7 : Mostrar con un ejemplo que en general, a) log a ( + y) log a + log a y b) log a ( - y) log a - log a y CAMBIO DE BASE Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Los logaritmos decimales son los logaritmos de base 0, y se acostumbra denotar log 0 = log omitiendo la base. El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e,78 y se denota log e = ln. Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar un cambio de base. 6

7 Ejemplo: Calcular log 3 Llamemos = log 3, entonces = 3, aplicando logaritmo decimal a ambos miembros log 3 obtenemos log = log 3, finalmente, =,589. log El procedimiento general es: y = log a a y = y log b a = log b y = log log b b a ECUACIONES EXPONENCIALES Y ECUACIONES LOGARITMICAS Ya hemos resuelto ecuaciones eponenciales del tipo 5 3- = 5 3 y del tipo 0 - = 30 utilizando logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades del logaritmo y cambio de base. Ejemplo: Hallar el valor de en las siguientes ecuaciones eponenciales: a) 3. 5 = Aplicando logaritmo decimal a ambos miembros de la igualdad, obtenemos: log ( 3. 5 ) = log log 3 + log 5 = log. log 3 + log 5 = log. 0, ,699 0,60. 0,77 +.,398 0,60. (0,77 +,398) 0,60.,875 0,60 0,3 b) = = = = = = 79,3 7

8 c) = -7 log 3 = log 79,3 = (3 ) = 0 log 79,3 log 3 6,0003 Si z = 3 reemplazando en la ecuación, obtenemos z - z + 7 = 0 las raíces de esta ecuación son z = 9, z = 3. Por lo tanto 3 = 9 = y 3 = 3 = d) = = 0 (5 ) + 5 = 0 Si z = 5 z + z - 0 = 0 Raíces de la ecuación cuadrática: z =, z = -5. Luego 5 = log 5 = log 0,863 Si consideramos 5 = -5, vemos que no hay valores de que cumpla la ecuación, pues ninguna potencia de 5 puede ser negativa. Ejemplo: Hallar el valor de en las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log 5 = log 5 = = 5 = 5 b) log 9 ( + ) + log 9 9 ( + ) = log 9 ( + ) + log 9 9 ( + ) = log 9 9 ( + ) = 9 ( + ) = 9 8

9 ( + ) = 9 + = 3 + = 3 = + = -3 = - Observemos que log 9 (- 3) = 9 = - 3 igualdad que no se verifica para ningún valor de. c) log - 0 log + 8 = 0 Llamamos z = log, sustituyendo en la ecuación obtenemos z - 0 z + 8 = 0 cuyas soluciones son z =, z = log = = = 6 log = = = d) 3 log - log = Necesitamos que todos los logaritmos involucrados en esta ecuación estén epresados en la misma base. Epresamos todos los logaritmos en base. log = y = y log = y log log = y. y = log Reemplazando en la ecuación obtenemos 3 log - log = log = log = = EJERCICIOS DE APLICACIÓN Ejercicio 8 : La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo t = 0, esta población es de habitantes. Dar una fórmula para la población P(t) como función del tiempo t. Cuál es la población después de a) 00 años? b) 50 años? c) 00 años? 9

10 Ejercicio 9 : Las bacterias en una solución se duplican cada 3 minutos. Si hay 0 bacterias al comienzo, dar una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. Cuántas bacterias hay después de a) 3 minutos? b) 7 minutos? c) hora? Ejercicio 0 : Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento f (t) después de un tiempo t satisface la fórmula f (t) = ,0 t. a) Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso? b) Qué cantidad queda después de 500 años? c) Qué cantidad queda después de 000 años? d) Qué cantidad queda después de 000 años?. Ejercicio : Graficar las siguientes funciones. a) y = 3. b) y = 3 - c) y = - 3 d) y = -. 3 Ejercicio : Resolver aplicando la definición de logaritmo. a) log log b) log log/ c) log7 9 - log 6 d) log + log log 0,00 e) log log / - log /3 9 Ejercicio 3 : Sabiendo que log 5,3, calcular aplicando las propiedades del logaritmo. a) log 0 b) log,5 c) log 5 d) log 5 Ejercicio : Calcular realizando cambio de base 0

11 a) log 0 b) log 5 c) log / 0 d) log 0, Ejercicio 5 : Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas a) log = 3 log b) log - log 3 = c) 5 log - log 3 = log 3 d) log = log - 5 e) log 0 = 5-3 log - f) log = g) 0 log 5-5 log = 0 h) log 3 + log 3-6 = 0 i) ln - ln 3 = 8 j) log - 5 log = 0 Ejercicio 6 Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales a). 3 - = 0 b) = 0 c) e - e - 6 = 0 d) - - = 0 e) = 9 f) + = 7 g) = h) = 5 i) e - 5 (e - e) - e + = 0 j) = 0 Ejercicio 7 : Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula r(t) = c e -7 t c es una constante. En cuánto tiempo habrá eactamente un tercio de la cantidad inicial?. donde

12 Ejercicio 8 : Una población de bacterias crece de acuerdo a la fórmula B(t) = c e kt donde c y k son constantes y B(t) representa el número de bacterias en función del tiempo. En el instante t = 0 hay 0 6 bacterias. En cuánto tiempo habrá 0 7 bacterias, si en minutos hay. 0 6 bacterias?. Ejercicio 9 : En 900 la población de una ciudad era de habitantes. En 950 había habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula P(t) = c e kt donde c y k son constantes. Cuál fue la población en 98?. En qué año la población es de habitantes?. Ejercicio 0 : La presión atmosférica como función de la altura está dada por la fórmula P(h) = c e kh donde c y k son constantes, h es la altura y P(h) es la presión en función de la altura. Si en el barómetro se lee 30 al nivel del mar y a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 0000 pies. Ejercicio : El azúcar se descompone en el agua según la fórmula A(t) = c e -kt donde c y k son constantes. Si 30 kilos de azúcar se reducen a 0 kilos en horas, cuánto tardará en descomponerse el 95% del azúcar?. Ejercicio : Una partícula se mueve con velocidad S(t) = c e -kt donde c y k son constantes. Si la velocidad inicial en t = 0 es de 6 unidades por minuto, y en minutos se reduce a la mitad, hallar el valor de t cuando la velocidades de 0 unidades/minuto. Ejercicio 3 : Qué relación debe eistir entre a y b para que se verifique que log a + log b = 0?.

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