LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f ()

2 f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f () 4 +

3 k) f () l) π f () + π f () 0 π + Página. Si u () y v () cuando, calcula el ite cuando de: a) u() + v () b) v ()/u () c) 5 u () d) v () e) u () v () f) u () v () a) [u() + v()] + ( ) b) u() c) 5 u() 5 5 d) v () no eiste e) [u() v ()] ( ) 6 f) u (). Si u () y v () 0 cuando, calcula el ite cuando de: a) u() v () b) v () u () c) v ()/u () d) log v () e) u () v () f) u () a) [u() v ()] 0 b) [v () u()] 0 ( ) c) v () 0 u() 0

4 d) log v () si v () 0 + no eiste si v () 0 e) [u() v ()] 0 0 f) u () Página 4. Indica cuáles de las siguientes epresiones son infinitos (± ) cuando : a) 5 + b) 0,5 c),5 d) log e) /( + ) f ) g) 4 h) 4 i) 4 a) ( 5 + ) + Sí b) 0,5 0 No c) (,5 ) Sí d) log + Sí e) + 0 No f) + Sí g) 4 + Sí h) 4 0 No i) 4 Sí 4. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: log 5,5 4 b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula: log 5,5 a) 4,5 5 log 4

5 log b) 0 5,5 + 0 Página 5 5. Sabiendo que, cuando, f () +, g () 4, h (), u () 0, asigna, siempre que puedas, ite cuando a las epresiones siguientes: a) f () h() b) f () f () c) f () + h() d) f () e) f () h() f) u () u () g) f ()/h() h) [ h()] h() i) g () h() j) u ()/h() k) f ()/u () l) h ()/u () m) g ()/u () n) + f () ñ) f () h() o) + h() p) h () h() q) a) ( f () h ()) + ( ) b) f () f () (+ ) + + c) ( f () + h ()) + + ( ) Indeterminado d) f () e) ( f () h ()) + ( ) f) u () u() 0 0 Indeterminado g) f () + h () Indeterminado h) [ h ()] h() [+ ] 0 i) g () h() 4 0 j) u() 0 0 h () k) f () + ± u() (0) 5

6 l) h() ± u() (0) g() 4 m) u() (0) ± n) ( + f ()) + +(+ ) + ñ) f () h() (+ ) 0 o) ( + h ()) + +( ) Indeterminado p) h () h () ( ) No eiste q) (+ ) 0 Página 6 6. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto 7 (página anterior). Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el ite: a) f () + h() b) f ()/h() c) f () h() d) f () h() e) f () u() f) u() h() g) [g ()/4] f () h) g () f () a) ( f () + h ()) + +( ). Indeterminado. f () + b). Indeterminado. h() c) f () h() (+ ) + + d) f () h() (+ ) 0 e) f () u() (+ ) (0). Indeterminado. f) u() h() 0 ± g() 4 g) [ ] f () +. Indeterminado. h) g () f ()

7 Página 7. Calcula los siguientes ites: a) b) c) 6 + d) a) b) c) 6 0 d) Calcula: a) ( + ) ( ) b) ( + ) c) d) 5 + a) ( + ) ( ) ( + ) ( ) b) ( + ) c) d) ( + ) Página 8. Sin operar, di el ite, cuando, de las siguientes epresiones: a) ( + ) b) ( ) c) + d) e) 5 8 f) log 5 4 a) ( + ) + b) ( ) + c) ( ) + d) ( ) + 7

8 e) (5 ) + f) ( log 5 4 ) + 4. Calcula el ite, cuando, de las siguientes epresiones: a) b) c) + + d) ( + 5) e) ( ) f) ( ) a) ( ) ( + ) ( + ) b) ( ) + c) ( ) + d) ( + 5) 5 + (+ ) + + e) ( ) ( ) + + f) ( ) + ( ) + 0 Página Halla el de las siguientes epresiones: a) b) a) ( + 5)( ) (4 )( + ) ( + )( ) b) No eiste, pues el radicando toma valores negativos cuando

9 . Halla el de las siguientes epresiones: a) 5 + b) c) + a) b) ( ) ( ) c) Página 4. Si f () y g (), di el valor del ite cuando tiende a de las siguientes funciones: a) f () + g () b) f () g () f () c) g () d) f () g () e) g () f ) 4 f () 5 g () a) ( f () + g ()) + 5 b) ( f () g()) 6 f () c) g() d) f () g() 9 e) g() f) (4f () 5g()) 0 9

10 . Si f () l y g () m, entonces [ f () + g ()] l + m. a a a Enuncia las restantes propiedades de los ites de las operaciones con funciones empleando la notación adecuada. Si f () l y g () m, entonces: a a ) [ f () + g()] l + m a ) [ f () g()] l m a ) [ f () g()] l m a f () l 4) (Si m 0). a g() m 5) Si f () > 0, [ f ()g() ] l m a 6) Si n es impar, o si n es par y f () 0 f () a 7) Si α > 0 y f () > 0, [log α f ()] log α l a. Si p () +, q () +, r () y s () 0, di, en los casos que sea posible, el valor del de las siguientes funciones: (Recuerda que las epresiones (+ )/(+ ), (+ ) (+ ), (0) (+ ), () (+ ), (0)/(0) son indeterminaciones). a) p () + q () b) p () q () r () p () c) d) p () p () s () p () e) f ) g) s () p () h) s () q () q () r () i) p () r () j) r () s () k) l ) [ ] s () m) r () p () n) r () q () r () ñ) ( ) p () r () o) ( ) a) [p() + q()] + +(+ ) + b) [p() q()] + (+ ). Indeterminado. c) r () 0 p() + r () s () n n l r () p () 0

11 d) p() p() e) s() 0 0 q() + f ) p() +. Indeterminado. q() + g) [s() p()] 0 (+ ). Indeterminado. h) S() r() 0 0 i) p() r() + + j) r() s() 0 k) r () 0. Indeterminado. s() (0) 0 l) ( ) s() 0 m) r() p() + + n) r() q() 0 ñ) ( ) p() +. Indeterminado. r () o) ( ) p(). Indeterminado. r () r () Página 4 4. Calcula los ites siguientes: a) b) a) ( + )( + 5) 6 7 ( + )( 7) b)

12 5. Calcula: ( ) 0 0 ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + )( 5 + ) ( + )( + + ) 0 ( + )( + ) ( + )( + ) ( 7 + 0) 0 ( + )( + ) 0 ( + )( + ) ( + )( + ) Página 49 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Sabemos que f () +, g () y h (). En cuáles de los siguientes casos hay indeterminación para? En los casos en que no la haya, di cuál es el ite: a) f () + g () b) g () + h () f () c) h () f () d) g () e) [h ()] g () f ) [ h ()] f () a) ( f () + g()) ( f ()) + (g()) + +( ) + (+ ) Indeterminación. b) (g() + h()) g () + h() + c) f () + + g() f () + d) g() Indeterminación. e) [h()] g() 0 + f ) [ h()] f () 0 (+ ) Indeterminación.

13 Calcula los ites cuando de las siguientes funciones: a) f () b) g () + c) h() 4 d) i () a) b) c) d) Calcula los siguientes ites comparando los eponentes del numerador y denominador: a) + 6 b) c) d) + a) b) c) 0 d) Calcula estos ites observando cuál es el infinito de orden superior: a) (e ) b) + e c) ( ) d) a) (e ) + ln ( + )

14 b) + 0 e c) ( ) + + ln ( d) + ) Calcula los siguientes ites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a) (0,5 + ) b) + a) (0,5 + ) (0,5 + ) + b) Si p () + q () r () s () 0 di, en los casos que sea posible, el valor de los siguientes ites: s () a) b) [s () q ()] p () c) [r ()] q () d) [p () q ()] s() 0 a) 0 p() + b) [s() q()] 0 ( ) Indeterminado. c) [r()] q() 0 d) [p() q()] + ( ) + +(+ ) + 7 Calcula: a) ( + ) b) [ ] 0 ( ) ( ) 4

15 a) ( ) 0 Hallamos los ites laterales: ; b) [ ] + ( ) ( ) + 0 ( ) ( ) + ( ) Hallamos los ites laterales: ; +. ( ) + ( ) 0 (0) (0) + ( ) 8 Calcula los ites de las siguientes funciones cuando : 5 a) f () + + b) g () ( ) log + c) h () d) i () + 5 a) ( ) b) + log c) + d) Calcula los siguientes ites: a) ( 5 + ) b) g () ( ) c) (, + 4 ) d) ( ) ( + ) ( + ) a) ( ) ( )

16 b) ( ) 0 c) (, ) d) ( ) ( ) Página 50 0 Calcula: ( ) a) b) 5 c) + d) ( ) 0 a) b) ( 6)( ) ( 6) 5 c) + ( + )( ) + ( ) d) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Averigua si estas funciones son continuas en : si < a) f () b) f () si 6 si + si > a) f () ( ) 4 f () (6 ) f () 6 4 b) f () ( ) + f () + ( + ) 5 f () es continua en, puesto que f () f (). f () no es continua en, puesto que no eiste f (). 6

17 Estudia la continuidad de las dos funciones siguientes: a) f () si < / si < b) f () 4 si si a) f () si < 4 si Si Es continua, pues está formada por funciones continuas. En : f () 4 f () 4 4 f () f () f () es continua en. + + f () 4 Por tanto, f () es continua en todo Á. b) El dominio de la función es D Á {0}. Si 0 y La función es continua. En 0: Es discontinua, puesto que f () no está definida para 0. Además, f () y f () +. Hay una asíntota vertical en En : f () f () ( ) + + f () f () es continua en, pues f () f (). PARA RESOLVER a) Calcula el ite de la función f () cuando 0,,,, : f () b) Representa gráficamente los resultados. a) f () f () 0 6 ( )( ) f (). (0) 7

18 Hallamos los ites laterales: f () ; f () + + f () f () 0; f () 0 b) 4 a) Calcula el ite de la función y 9 en los puntos en los que no está definida. b) Halla su ite cuando y cuando. c) Representa la función con la información que obtengas. d) Cuáles son los puntos de discontinuidad de esta función? a) El dominio de la función es: D Á {0, }, pues el denominador se anula en: 0 ( ) 0 0 y (0) ( + )( ) ( ) + + Hallamos los ites laterales: ; b) ; c) 8

19 d) La función es discontinua en 0 (tiene una asíntota vertical) y en (no está definida; tiene una discontinuidad evitable). 5 Sea la función f () 4 +. a) Calcula: f (); f (); f (); f () 0 b) Cuál es la función que coincide con f () ecepto en 0 y en? c) En qué puntos no es continua f ()? f () 4 + ( )( ) ( ) a) f () [( )] f () [( )] 0 f () + f () + b) g() ( ) c) En 0 y en. La función no está definida en estos valores (hay discontinuidades evitables). 6 Calcula el ite de la función f (). 8 cuando 0, y 0 f () f (). Hallamos los ites laterales: (0) f () ; f () f (). Hallamos los ites laterales: (0) f () + ; f () + 9

20 7 Calcula el ite de la función f () + cuando, y +. f () + f () + f () +. Hallamos los ites laterales: (0) f () + ; f () + 8 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean continuas: + si + k si 0 a) f () b) f () k si > si > 0 a) Si, la función es continua. En : f () ( + ) f () (k ) k Para que sea continua, ha de ser: + + k k 5 f () + b) Si 0, la función es continua. En 0: f () ( + k) k 0 0 f () ( ) Para que sea continua, ha de ser: k f (0) 0 + k k 9 Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua: 4 si si < a) f () b) f () k si k si a) Si, la función es continua. Si : f () 4 ( )( ) ( ) 0

21 ( ) 4 f () k Para que sea continua, ha de ser k 4. b) Para que f () sea continua en, ha de ser f () f (). Para, f () es continua (pues está formada por funciones continuas). Hallamos k para que f () f (): f () ( + )( ) ( + ) ( ) f () + f () k Ha de ser k. k k + 0 Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los S distintos valores del parámetro a: a) f () + a si e b) f () a si 0 a si > + a si > 0 a) En, la función es continua. En : f () ( + a) 4 + a f () (a ) a 4 Para que sea continua, ha de ser: a a 4 a 8 f () 4 + a Por tanto, la función es continua si a 8, y es discontinua (en ) si a 8. b) En 0, la función es continua. En 0: f () e a 0 0 f () ( + a) a Para que sea continua, ha de ser: a a f (0) Por tanto, la función es continua si a, y es discontinua (en 0) si a.

22 Página 5 Se considera la función f () definida del modo siguiente: + si < f () si < + si > Se desea saber si es continua en todos los puntos o deja de serlo en alguno. Si y la función es continua. Si : f () + f () La función es continua en. + + f ( ) Si No es continua, pues no está definida en ; no eiste f (). Además: f () La discontinuidad es de salto (finito). f () ( + ) + + Estudia la continuidad de las siguientes funciones, represéntalas gráficamente y di cuáles son sus ites cuando y. si < 0 a) f () + si 0 < < b) f () si si si < < 6 0 si 6 a) f () si < 0 + si 0 < < si Continuidad: Si 0 y Es continua, pues está formada por funciones continuas. En 0 f () 0 0 f () f () ( + ) No eiste f (0). Hay una discontinuidad evitable en 0.

23 f () ( + ) En f () ( ) + + f () Discontinuidad de salto finito en. f () ( ) + f () Gráfica: b) f () si si < < 6 0 si 6 Continuidad: Si y 6 Es continua, pues está formada por funciones continuas. f () ( ) 0 En f () ( ) f () 0 f () es continua en. f () ( ) 6 6 En 6 f () f (6) 0 Discontinuidad de salto finito en 6. f () f ()

24 f () 0 0 f () Gráfica: ( ) Representa gráficamente la función f () y estudia su continuidad: S f () + 5 si si 5 0 f () + 5 si 0 5 Dominio [0, 0] 5 si 5 0 Continuidad: Si [0, 5) U (5, 0], es continua, pues está formada por funciones continuas. Gráfica: f () ( + 5) 0 f () f (5) En 5 f () ( 5) 0 Es continua f (5)

25 4 Dada la función: S + b si f () + 4 si < < + 8 si calcula el valor de b para que f () sea continua en. Es continua en? + b si f () + 4 si < < + 8 si Para que f () sea continua en, ha de tenerse que: f () f ( ) f () ( + b) + b f () ( + 4) 7 Ha de ser + b 7; es decir, b f ( ) + b Veamos que la función también es continua en : f () ( + 4) 7 f () f () f () ( + 8) 7 f () es continua en + + f () 7 5 Representa, estudia la continuidad y halla los ites para y S de la función: si < f () si + 4 si > f () si < si + 4 si > Continuidad: Si y Es continua, pues está formada por funciones continuas. 5

26 f () f () f (). En f () f () es continua en. + + f () f () En f () ( + 4) f () Discontinuidad de salto finito en. f () ( + 4) f () 0 Gráfica: si < 6 Sea f () + si S + 8 si > Estudia su continuidad y represéntala gráficamente. f () + + si < + si + 8 si > Continuidad: Si y Es continua, pues está formada por funciones continuas. f () ( + + ) 0 f () f ( ) En f () ( + ) 0 f () es continua + + en. f ( ) 0 6

27 f () ( + ) 6 En f () ( + 8) + + f () 6 Discontinuidad de salto finito en. Gráfica: e si 0 7 Dada f () si 0 < < S + + si Estudia su continuidad y represéntala gráficamente. f () e si 0 si 0 < < + + si Continuidad: Si 0 y Es continua (está formada por funciones continuas). f () e f () f (0) En 0 f () f () es continua en f (0) f () En f () ( + + ) + + f () Discontinuidad de salto finito en. 7

28 Gráfica: El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la S función: P(t) 5 + t, donde t se mide en años transcurridos desde t 0. (t + ) Calcula: a) La población inicial. b) El tamaño de la población a largo plazo. a) P(0) 5 millones de individuos. b) P(t) 5 + t millón de individuos. t + t + (t + ) 9 Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de S euros) en relación con el valor (en cientos de euros) de lo vendido por cada uno. Dicho incentivo sigue la función: 0,0 si 0 00 f () 0 si > a) Estudiar la continuidad de f (). Indicar si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a b) Cuál es la cantidad máima que un empleado podría recibir como incentivo si sus ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta. a) Dominio [0, + ) Si 00 La función es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos definidos. f () 0,0 (00 ) En 00 0 f (), (0 ) f (00) (00 ) 8

29 Hay una discontinuidad de salto finito en 00. Como f () f (), el incentivo recibido por un empleado sí es sensiblemente distinto si el valor de sus ventas es ligeramente superior o inferior a ( 00). 0 b) f () Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de S una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próimos años, por la función 5 000t f (t), siendo t el número de años transcurridos. Se pide: t + a) Tamaño actual de la población. b) Cómo evoluciona el tamaño de la población entre los años 4 y 9? c) Si esta función fuese válida indefinidamente, se estabilizaría el tamaño de la población? Justifica la respuesta. a) f (0) individuos. f (9) f (4) b) T.V.M. [4, 9] Aumenta en 50 individuos, lo que supone un aumento medio de 50 por año t c) f (t) t + t + t + Se estabilizaría en individuos. Página 5 Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta S prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (, en días), obteniéndose que: T() 00, , > 0 ( 5)( 5) a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio. b) Por mucho que se entrene un deportista, será capaz de hacer la prueba en menos de minuto? Y en menos de? 9

30 T() 00 a) La función y es continua, salvo en 0; pero, como solo la + 0 consideramos en 0 0, será continua en el intervalo (0, 0). 5 La función y + es continua, salvo en 5 y en 5; ( 5)( 5) pero como la estamos considerando para > 0, es continua en el intervalo (0, + ). Por tanto, si 0 ( [0, 0) U (0, + )), la función T() es continua. Si 0, tenemos que: 00 T () T (0) 5 5 T () ( + ( 5)( 5) ) Por tanto, T () es continua en su dominio. 5 T () es continua en 0. b) T (0) 0 minutos; y, a mayor tiempo de entrenamiento, menos tardan en realizar la prueba. Además: 00, , > 0 ( 5)( 5) ( 5)( 5) T () ( + ) Por tanto, ningún deportista sería capaz de realizar la prueba en menos de minuto ni en menos de minutos. Se ha comprobado que las pérdidas o ganancias de una empresa se ajustan a 4 la función y, siendo los años de vida de la empresa ( 0) e y + en cientos de miles de. a) Representa la función. b) En qué año deja de tener pérdidas? c) Están limitados sus beneficios? Si lo están, cuál es su ite? 0

31 a) b) (y la función es creciente). + Deja de tener pérdidas en el - o año ( ). 4 c) El beneficio está limitado a Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra la cantidad de 5. No obstante, si se le encargan más de 0 unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada unidades cobra: 5 si 0 < 0 C () a si > 0 a) Halla a de forma que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran muchísimas unidades? El precio de una unidad es C ()/. a) C () (5) C () a C (0) 50 Para que sea continua, ha de ser: 00a a a a 000 a 0 C () a b) ,47 CUESTIONES TEÓRICAS 4 Sea la función f () 4. El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando. Cómo elegir el valor de f() para que la función f sea continua en ese punto?

32 f () 4 ( )( + ) ( + ) 4 ( ) Para que f sea continua en, debemos elegir f () 4. 5 Epresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representación gráfica de cada caso: a) Podemos conseguir que f () sea mayor que cualquier número K, por grande que sea, dando a valores tan grandes como sea necesario. b) Si pretendemos que los valores de g () estén tan próimos a como queramos, tendremos que dar a valores suficientemente grandes. c) Podemos conseguir que h() sea mayor que un número K, por grande que sea, dando a valores suficientemente próimos a. a) f () + b) g() c) h () + 6 De una función g se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, ] y que para 0 < es: Cuánto vale g (0)? g () g() + ( + ) ( + ) Por tanto, g(0). + 7 Escribe una definición para cada una de estas epresiones y haz una representación de f: a) f () b) f () c) f () + d) f () +

33 a) Podemos conseguir que f () esté tan próimo a como queramos sin más que darle a valores suficientemente grandes y negativos. b) Podemos conseguir que f () sea tan negativo como queramos sin más que tomar tan grande como sea necesario. c) Podemos conseguir que f () tome valores tan grandes como queramos sin más que darle a valores tan próimos a (pero menores que ) como sea necesario. d) Podemos conseguir que f () tome valores tan grandes y negativos como queramos sin más que darle a valores tan próimos a (pero mayores que ) como sea necesario. 8 Si una función no está definida en, puede ocurrir que f () 5? Puede ser continua la función en? Sí, puede ser que f () 5, por ejemplo: ( )( + ) ( )( + ) f () es tal que 5; y f () no está definida en. Sin embargo, f() no puede ser continua en (pues no eiste f ()). 9 De una función continua, f, sabemos que f () < 0 si < y f () > 0 si >. Podemos saber el valor de f ()? f () 0 Página 5 40 Dibuja la gráfica de una función que sea negativa si <, positiva si > y que no tenga ite cuando tiende a. Por ejemplo y, cuya gráfica es:

34 4 Sea P un polinomio: P() a + b + c Prueba que P() P(0) tiene ite en 0 y calcula su valor. 0 P() P(0) a + b + c c a + b 0 0 (a + b) (a + b) b Calcula sobre la gráfica de esta función: a) f () ± b) f () c) f () d) f () Y 4 X a) f () b) f () ± c) f () + d) f () + 4 Halla, observando la gráfica de esta función, los siguientes ites: a) f () b) f () Y c) f () d) f () e) f () f) f () X a) f () + b) f () c) f () d) f () + + e) f () f) f () + + 4

35 PARA PROFUNDIZAR 44 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, definiéndolas previamente en intervalos, y represéntalas: a) y b) y c) y d) y e) y f ) y + a) Es continua en Á, pues es la diferencia de dos funciones continuas. y Gráfica: + si < 0 si b) Es continua en Á, pues es la diferencia de dos funciones continuas. y + si < si Gráfica: c) Es continua en Á {}. y si < + si > 5

36 Gráfica: d) Es continua en Á, pues es el producto de dos funciones continuas. y si < 0 si 0 Gráfica: e) Es continua en Á. y Gráfica: si < + si si > f) Es continua en Á, pues es la suma de dos funciones continuas. + si < 0 y + si 0 si > 6

37 Gráfica: Representa y estudia la continuidad de la función siguiente: e f () si si < Continuidad: Si Es continua, pues está formada por funciones continuas. f () e e /e En f () f ( ) /e Hay una discontinuidad de salto finito en. Gráfica: Estudia la continuidad de la función y + en 0. Qué tipo de discontinuidad tiene? En 0, la función no está definida, luego es discontinua. Como: si < 0 y, entonces: ( ) ; ( + ) + si > Por tanto, hay una discontinuidad de salto (finito) en 0. 7

38 47 Dada f (), justifica que f () y f (). + f () si 0 + si > 0 + f () + f () + 48 Calcula ( + ). Multiplica y divide por + + ( ) ( + )( + + ) + 49 Calcula: a) + 4 b) a) ( ) ( ) ( 4) ( + 4)( + + 4) b) ( + 4 )( )

39 50 Calcula: [ + ] ( + )( + + ) ( ) ( + ) ( ) + + ( + + ( ) 0 ) ( + + ( ) 0 ) 5 Calcula los siguientes ites: a) b) a) ( )( + ) ( )( + ) ( ) + ( )( + ) + + ( )( + ) ( + 9 )( ) +9 b) ( ) ( )( + ) ( ( ) ) ( ) (0) Hallamos los ites laterales: ; + ( ( ) ) 9

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