FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido"

Transcripción

1 Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos de corte entre la representación gráfica de una función y los ejes cartesianos. Identifica tramos crecientes y decrecientes, así como máimos y mínimos relativos. Determina el dominio y rango de una función a partir de su gráfica y utilizando la definición. Reconoce y diferencia una función inyectiva de una sobreyectiva. Contenido Qué es una función? Definición de términos básicos o Par ordenado, Producto cartesiano, Relación, Dominio y Rango, Función Notación de función Valor numérico de una función Gráfica de una función o Interceptos con los ejes o Crecimiento y decrecimiento o Máimos y mínimos relativos o Continuidad y discontinuidad o Simetría y periodicidad Determinación del dominio y rango de una función Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva Qué es una función? Una función es, en matemáticas, el término usado para indicar la relación de correspondencia o dependencia entre dos o más cantidades. Como dependencia, se entiende la coneión entre las características de las cantidades. Así, un cambio de una generará un efecto en las otras. Este es un elemento muy importante en la noción de función. Por otra parte, la idea de dependencia está intrínsecamente ligada a la de variación y variable, pues la manera de predecir que una cosa depende de otra es hacer variar cada una a su turno y constatar cuál es el efecto de la variación. Se considera, pues, que los principales elementos de las funciones son la variación, la dependencia y la correspondencia. El matemático y filósofo francés René Descartes ( ) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de variable y función, al realizar una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan. Las funciones numéricas proporcionan una manera de cuantificar y descubrir la dependencia entre variables y también un modelo para el estudio del comportamiento de la situación analizada. Una función, que resulte de la modelación de un hecho, posibilita hacer previsiones y tomar las precauciones necesarias cuando la magnitud que se estudia se acerca a valores que se consideran críticos. Es por eso que resulta muy importante hacer un análisis de las características globales de la función: dónde crece, dónde decrece, cuán rápidamente lo hace, dónde toma valores etremos, qué valor toma en cada punto toma en cada punto, etc. Profesor: Javier Trigoso Página 1

2 Así como los números surgen de la necesidad de contar, las funciones surgen a partir de la observación de la relación eistente entre cantidades que varían, una en dependencia de otras. Cuando realizamos mediciones de magnitudes físicas observamos que eisten muchas situaciones en las que una cantidad depende de otra. Por ejemplo: la estatura de una persona depende de su edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo, de su peso. Todos estos son ejemplos de funciones, decimos que la estatura es una función de la edad y que el costo de enviar un paquete por correo es una función de la masa del paquete. Aunque no eiste una regla simple que relacione la estatura con la edad, sí eiste una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su masa (de hecho, ésta es la que utiliza la oficina de correos). Definición de términos básicos Es importante que definamos de manera precisa cada uno de los siguientes términos: Par ordenado: es un conjunto de dos elementos considerados en un determinado orden (; y) (; y) (y; ) Producto cartesiano: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados (, y) de modo que la primera componente le pertenece al conjunto A y la segunda al conjunto B, es decir: A B (; y) / A y B Relación: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina relación R de A en B (R: A B) a todo subconjunto del producto cartesiano A B, es decir: R A B Dominio: llamado también conjunto de pre imágenes, es el conjunto que tiene por elementos a todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación. Dom(R) D A / (; y) R R Profesor: Javier Trigoso Página

3 Rango: llamado también conjunto de imágenes, es el conjunto que tiene por elementos a todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación. R Ran(R) R y B / (; y) R Variable independiente: se refiere a la variable que representa a los posibles valores del dominio. Variable dependiente: se refiere a la variable que representa a los posibles valores del rango. Función: es una relación tal que a cada elemento del dominio le corresponde eactamente un elemento del rango. Es decir: En términos formales: F (; y) R R / D y F() Si (; y) F (; z) F y z f Notación de una función Si f es una función definida en A con valores en B, que a cualquier Apone en correspondencia un ybcualquiera, se simboliza por: F : A B y F() Donde la ecuación y = f() se denomina REGLA DE CORRESPONDENCIA entre e y, además: A: Conjunto de partida B: Conjunto de llegada : pre-imagen de y o variable independiente y: imagen de o variable dependiente: Valor numérico de una función Dada la función F : A B / y F() Evaluar la función f significa obtener el valor de y mediante su regla de correspondencia, luego de asignarle un cierto valor a. Por ejemplo, para = a, el valor de la función llamado también IMAGEN, que le corresponde será f(a), con lo cual se dice que el par (a; f(a)) pertenece a la función f. En la definición de función la variable independiente desempeña el papel de marcador de posición. Por ejemplo la función f() 3 5 se puede considerar como: f(...) 3(...) (...) 5 Profesor: Javier Trigoso Página 3

4 Es útil considerar una función como una máquina (ver figura). Así cuando se introduce en la máquina, es aceptada como una entrada y la máquina produce una salida f() de acuerdo con la regla de la función. ; Dada la función f() ; 0 Señala el valor de: E = f(-) + f(3) f(-8 + f(7)) A. 4 B. 6 C. 7 D Dadas las funciones f y g tales que f() = a + 3 y g() = b + a Si además f() = g(1) = 13. Halla ab. A. 5 B. 8 C. 13 D. 40 PARA LA CLASE 01. Halla a - b, si F es una función A. 1 B. C. 3 D. 4 F 4;a 3, 4;5 a, a;b, b;a 0. Halla la suma de los elementos del dominio de la siguiente función: F 6;5, m;4, 5;8, 6;m A. -15 B. -10 C. -6 D Dada la función f (1,);(3,6);(4,8);(5,7) Calcula el valor de f(3) f(4) E f(5) A. B. 4 C. 8 D. 9 f(1) 06. Sean dos funciones reales tales que f() = m -1 y g() = 4 - b, si además f(3) = g(-) y f(-) = g(3). Halla P = f() + g(3) A. -4 B. -3 C.- D Si f() es una función definida por f() = a + b + c, tal que: f(0) = 3, f(1) = 8 y f( 1) =. Calcula el valor de f( ). A 3 B. 4 C.5 D La función f() = a + b + a + b, tiene valores: f(0) = 1 y f( 1) = 14. Calcular el valor de f() A. 30 B. 40 C.50 D Dada la función F 3a;5, 11;b, c;10 con regla de correspondencia F() = a. Halla M = a + b + c A. 5 B. 16 D. 19 E. 6 Profesor: Javier Trigoso Página 4

5 10. Dadas las funciones F a ; 19, 1;b y G() = 7 3. Si sabemos que G(h) = F(h) + para todo valor de h. Halla a + b A. - B. -1 C. 0 D. 1 PARA LA CASA 01. Halla a/b, si f es una función f ;a 1, ;b, 5;a b, 5;a A. -1/ B. -1/5 C. 3/5 D. -5/ 0. El conjunto f ;3, 5;a b, ;a b, 5;7 Halla el valor de a + b A. 5 B. 9 C. 34 D. 36 es una función. 03. Halla a b, siendo la función F definida en por: F ;5 ; 3;a ; ;a b ; 3;4 ; b;5 A.-9 B. -6 C. 6 D Calcula.y para que el conjunto de pares ordenados sea una función f ;4, 3; y, 5;6, 3;8, ; y A. 6 B. 8 C. 1 D Dada la siguiente función f 4;k, ;5k, 7 ;k 1, 4;k 1 Halla el valor de k A. 1 B. C. 3 D Halla la suma de los elementos del rango de la siguiente función f 1;5, a ;6, 3;a, 3;a 3 A. 8 B. 9 D. 1 E Sean f y g dos funciones definidas en por: f ;a, b; y g() = Si se sabe que f() + = g(), halla el valor de a + b A. 4 B. 5 C. 6 D Dado el conjunto A 1; ;3;4, se definen las funciones F y G con dominio en A, tales que F 1;k, ;5, 1;3, p;k, 3;5 y G() = k + p. Halla la suma de todos los elementos del rango de G A. 46 B. 48 C. 60 D Si el conjunto de pares ordenados: a b c f 1;a, ;, 3;a b, 3; c bc ac ab calcula el valor de f() A. 1 B. C. 3 D. 4 representa una función, Profesor: Javier Trigoso Página 5

6 10. Si f() = a + b; a < 0; f(0) =, f(f(1)) = 5. Halla f(-) A. -8 B. - D. D Señala el valor de: E = f(-3) + f() - f(f(0)), si: A. 5 B. 7 C. 9 D ; 1 f() 4 3 ; ; Si F() 1 ; 5 3 ; 5, Calcula: P = F(-5) + F(3) + F(8) A. 58 B.63 C. 65 D Dadas las funciones f() = 3 + y g() = Determina el valor de «a», si f(a + 1) = g(a) + 3 A. -4 B. -3 C.- D Dada una función f() = m + b definida mediante la siguiente tabla: 1 3 f() Halla f(-4) A.-9 B. -7 C. -5 D. -3 A. -30 B.-9 C. -8 D Sean f y g dos funciones reales definidas por f() = 5 y g() = 3 + a. Si g(f()) = f(g(), cuál es el valor de a? A.-10 B.- 9 C. -8 D Sabiendo que f() = + + y Determina el valor de «a», si f(a) = g(-8) A.-3 B. - D. E g() Sean f y g dos funciones reales definidas por: f() = 3 + b y g() = - 1. Si (, y) pertenece a ambas funciones; calcula f (-) A. -11 B. -5 C. 5 D Si f() = a + b. Además f(f() = c. Halla el valor de: E = a + b + c A. 4 B.6 C. 8 D Sea f una función definida en R con regla de correspondencia f() =. Si f(a - b) = 5 y además f(a + b) = 3; entonces el valor de f(a b ) es: A. 15 B. 16 C. 17 D Sean f y g dos funciones reales definidas por f() = a + 5 y g() b c. Si (; 17) pertenece a la función f y además f(3) = g(-1). Halla el valor de a - b + c. Profesor: Javier Trigoso Página 6

7 Gráfica de una función La gráfica de una función y = F() es el conjunto de todos los pares ordenados (; y), donde pertenece al dominio de la función e y es el valor que toma la función f en el elemento. Teorema Una relación es una función si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de F a lo más en un punto. Para dibujar la gráfica de una función f se hace una tabla de las coordenadas (; f()) para distintos valores de la variable en el dominio de la función. Después se representan todos esos puntos en el plano cartesiano. Si la función no tiene saltos y no representa cambios bruscos de dirección, se pueden unir todos los puntos con una línea continua, es decir, sin levantar el lapicero del papel. Ejemplo Se quiere dibujar la gráfica de la función f() =. Su dominio es el conjunto de todos los números reales. Se da a continuación una tabla de los pares (; y) tales que y = : L a gráfica de una función f está formada por los puntos de la forma (a; f(a)), donde a es un punto cualquiera del eje X y f(a) se encuentra en el eje Y. Puntos de corte con los ejes Observamos en la siguiente gráfica que la función corta a los ejes de coordenadas en diferentes puntos. Vemos que las coordenadas del punto sobre el eje Y tiene abscisa igual a cero (0), así mismo las coordenadas de los puntos sobre el eje X tienen ordenada igual a cero (0). En general: Si f(0) = b, entonces f() corta al eje Y en el punto (0; b) Si f(a) = 0, entonces f() corta al eje X en el punto (a; 0) Profesor: Javier Trigoso Página 7

8 Ejemplos: Encuentra los puntos de corte con los ejes. f() = 4- Con el eje Y: f(0) = 4 (0) = 4 Punto de corte (0; 4) Con el eje X: 4 = 0.. = Punto de corte (; 0) g() = - 4 Con el eje Y: g(0) = 0 4 = -4 Punto de corte (0; -4) Con el eje X: - 4 = 0.. = - Puntos de corte (-; 0) y (; 0) El crecimiento y decrecimiento de una función son propiedades locales, es decir, no se estudian globalmente, sino por intervalos. Máimos y mínimos en una función h() = 3 4 Con el eje Y: g(0) = 0 3 4(0) = 0 Punto de corte (0; 0) Con el eje X: 3 4 = 0.. ( 4) = 0 ( ) ( + ) = 0 Puntos de corte (-; 0); (; 0) y (; 0) Una función f() tiene en = a un máimo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente. Si adicionalmente, evaluamos la función en otros valores de, podemos bosquejar sus gráficas, como se aprecia en los ejemplos anteriores Crecimiento y decrecimiento de una función Funciones continuas y discontinuas Dada una función f() y dos valores = a y = b tales que a < b: Si f(b) > f(a), la función es creciente entre a y b. Si f(b) < f(a), la función es decreciente entre a y b. Si f(a) = f(b), la función es constante entre a y b. Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad. Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de Profesor: Javier Trigoso Página 8

9 la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad. Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos: Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la función, gráfica a. Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b. Funciones simétricas Una función puede ser simétrica respecto del eje de ordenadas o respecto del origen. Se denominarán funciones pares o impares, respectivamente. Estudiamos dos tipos de simetrías: Simetría respecto del eje de ordenadas (eje OY). Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando f() = f(-). Este tipo de función se llama función par. Simetría respecto del origen. Una función es simétrica respecto del origen cuando verifica que f(-) = -f(). Este tipo de función se llama función impar. Función periódica Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama período y significa que: f() = f( + T) = f( + T) =... = f( + k T), siendo k un número entero. La gráfica de una función periódica es del tipo: Cuando realizamos el estudio completo de una función lo que hacemos es estudiar todas sus propiedades: continuidad, dominio, rango, puntos de corte con los ejes, crecimiento, decrecimiento, máimos, mínimos, simetría y periodicidad. Profesor: Javier Trigoso Página 9

10 Algunas ejemplos Dominio [ - 1; + [ Crecimiento y decrecimiento Creciente [-1;4] Decreciente [4; + [ Máimos y mínimos Máimos: (; 4) Dominio: Dominio f() = R Puntos de corte Eje : (-4,0), (-1,0), (3,0) Eje y: (-3, 0) Continuidad: Es continua en R (no hay saltos) Crecimiento y decrecimiento Miramos el eje X de izquierda a derecha y vemos que: Desde ]- ; -] creciente Desde [-; 0] decreciente Desde [ 0; - [ creciente Máimos y mínimos Máimos: ramas creciente-decreciente Máimo en (-; ) Mínimos: ramas decreciente-creciente Mínimo en ( 0; -3) Dominio f(): R - {0}. En = 0 la función no eiste. Puntos de corte: no corta a los ejes Continuidad: la función es discontinua en = 0, hay un salto. Podemos leer función por la izquierda y por la derecha de = 0 pero no en = 0. Crecimiento y decrecimiento: las dos ramas de la función son decrecientes. Máimos y mínimos: no tiene, la función es siempre decreciente. Dominio f(): R - { -1; 1 } Puntos de corte: no corta a los ejes Continuidad La función es discontinua en = -1, hay un salto. La función es discontinua en = 1, hay un salto. Crecimiento y decrecimiento Crece desde ]- ; -1[ U ]-1; 0] Decrece desde [0; -1[ U ]-1; + [ Máimos y Mínimos: tiene un máimo en el punto (0; -1) Profesor: Javier Trigoso Página 10

11 Determinación del Dominio y Rango de una función En la clase anterior estudiamos el concepto de dominio de una función, y recordando, dijimos que el dominio de una función es el conjunto de números reales que una función puede procesar, o en la cual una función puede operar. El objetivo que perseguimos en esta clase es encontrar este conjunto para una función dada. En general, una función opera por medio de las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias o radicales, y en vista de esto, afirmamos que para encontrar el dominio de una función necesitamos solo conocer las operaciones involucradas en la regla de correspondencia de la función dada. Para la suma, resta, multiplicación y potenciación sabemos que no hay restricción en el conjunto de números que pueden relacionarse por medio de estas operaciones. Para la división si hay una restricción, ya que sabemos que no podemos dividir entre cero. Para la radicación o etracción de raíces, tenemos restricción si el índice de la raíz es par, es decir, debemos restringirnos a operar solo con números reales no negativos; si el índice de la raíz es impar no tenemos restricción. Entonces, solo tenemos problemas de búsqueda de dominios para aquellas funciones que pueden ser comparadas, en su forma, con las siguientes funciones: 1 f() ; f() Busquemos el dominio de estas funciones. Dominio de funciones que contienen fracciones 1 Para la función f definida por la regla: f() tenemos que la división del número 1 entre algún número en R solo es posible si 0Así, el conjunto de números que esta función puede operar es: Ejemplo Encuentra el dominio de la función f() 4 3 R 0 Esta función es comparable con la función 1 según su forma, pues es una división entre una epresión que contiene a la variable. Entonces para buscar el dominio, primero resolvemos la igualdad: + 3 = 0 Despejando la variable, tenemos: = -3. Segundo, eliminamos del conjunto R, este valor, y el conjunto resultante es el dominio buscado. Entonces: Dom(f) R 3 Dominio de funciones que contienen raíces Para la función g definida por la regla: f() tenemos lo siguiente: las raíces pares eisten solo si el radicando es mayor o igual a cero, es decir, es no negativo, entonces debemos resolver la desigualdad: 0. La solución de esta desigualdad nos conduce al intervalo: 0; el cual es el dominio de la función dada. Profesor: Javier Trigoso Página 11

12 Ejemplo Encuentra el dominio de la función f() 5 Si comparamos esta función con la función vemos que son similares en la forma, es decir, f es la obtención de una raíz de índice par. Entonces procedemos a buscar el dominio resolviendo la desigualdad: 5 0 PARA LA CLASE 01. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones: Despejando la variable, tenemos: 5. Y esto nos conduce al intervalo 5; Entonces: Dom(f) 5; Vamos ahora a generalizar esta manera de encontrar dominios. Si la función dada es la división entre una epresión que contiene a la variable, resolvemos la ecuación: Denominador 0 Procedemos a eliminar de R los valores encontrados en la solución de la ecuación anterior, y el conjunto resultante es el dominio. Si la función dada contiene una raíz de índice par, resolvemos la desigualdad: Radicando 0 El conjunto solución resultante es el dominio buscado. Cuando la regla de correspondencia de la función contiene raíces en el denominador, es necesario imponer las dos condiciones anteriores. f() 3 ; 0; 0. Dadas las funciones: g() 1 ; ;5 Halla: Ran(f) Ran(g) A. R B. 4;4 C. D. 4;4 03. Halla el dominio de la función A. R B. R {0} C. R - {-1} D. R - {1} 1 f() 04. Halla el dominio de la función f() 4 A. R - {-;} B. R - {-} C. R - {} D.]-;[ Profesor: Javier Trigoso Página 1

13 05. Calcula el dominio de la función f() 3 Y da como respuesta la suma de sus valores enteros A. -3 B. -1 C. 1 D Halla el dominio de la función f() A. R + B. R - C. ;0 D. 0; PARA LA CASA 01. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones: 07. Halla el dominio de la función f() 1 1 A. R B. 0;1 C. D. 1;0 08. Halla el dominio de la función f() A. 3 3 ; B. 3 3 ; C. ; 3 3 D. ; Halla el rango de la función f() A. R - {0} B. R - {1} C. R - {} D. R - {3} 10. Halla el rango de f, si A. 1;1 C. 1; B. 1; D. 1; f() Calcula el Dom(f) 3 ; 3 Ran(f) para la función: f() ; 3 5 A. ;5 B. ;5 C. ;5 D. ;5 1 ; 3;9 03. Sea la función f() ; 3 ; 5; 4 Halla el Rango de f A. 4;10 B. 0;10 C. 0;9 D. 4;5 04. Si f es una función definida por f() 1 ; 0;8, entonces el rango de f es. A. 0;3 B. 1;3 C. 0; D. 1;8 Profesor: Javier Trigoso Página 13

14 05. Sea A. ;0 C. ; f() 4, halla Ran(f) Dom(f) B. 0;4 D. 0; 4 ; Dada la función g() ; 6 11 Hallar Dom(g) Ran(g) A. ;11 C.,3 4 B. ;3 D. R ;3 07. Dada la función f B. R 1 D. R ;1;3 A. R C. R 3 3 Hallar: Dom(f) Ran(f) 08. Halla el dominio de la función f() su mayor valor entero A. 1 B. C. 3 D Halla el dominio de la función f() 5 6 B. ;3 A. R ;3 C. R ;3 E. R 3 1 Y da como respuesta Halla el dominio de la función A. 1; C. ;1 B. 3; D. ;3 11. Halla el dominio de la función A. 1 B. R 1 C. 0 D. R 0 4 f() f() Halla el dominio de la función f() A. 3; B. 3; 4 C. R 4 D. 3; Indica el dominio de la función: f() 1 A. 0;1 C. 0; B. 0;1 / E. ;1 / 14. Obtén el número de elementos enteros del dominio de: A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 f() Profesor: Javier Trigoso Página 14

15 15. Sea f() 5 1 una función real de variable real, entonces su dominio es: A. ;5 B. ;5 C. ;5 D. ;5 0. Dada la función f según: f() ; 1 5 hallar: Dom(f) - Ran(f) A. 5;16 C. ;5 B. ;1 5;16 D. 1; Si f() negativo de su dominio A. -4 B. -3 C. - D da como respuesta el mayor entero Si f() negativo de su dominio A. -5 B. -4 C. -3 D. - 4 da como respuesta el menor entero Halla el dominio de la función f() A. ; 4; C. ; 3;4 B. ; 3;4 D. R ;3;4 ( 3)( 4) 19. Halla Dom(f) Ran(f) para la función: f() 6 8 ; A. ; C. 1;0 5 B. ;4 D. 1;0 Profesor: Javier Trigoso Página 15

16 Función Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva "Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función. Función Inyectiva Una función puede tomar el mismo valor en diferentes puntos de su dominio, tal es el caso de la función: f() que toma el mismo valor para elementos opuestos de su dominio, por ejemplo: f() 4 y f( ) 4 En el caso de la función: tenemos que. f() 3 5 f(3) 0 y f(5) 0 Las funciones para las que esta clase de repetición no tiene lugar, se denominan inyectivas. Definición Una función es inyectiva o univalente (uno a uno) si y solo si a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas es decir: En forma equivalente: Si f f 1 1 Si f f 1 1 Observa en el gráfico siguiente como TODOS los elementos del conjunto X, tienen diferente imagen en el conjunto Y. Observación En toda función inyectiva se cumple que cualquier recta horizontal intercepta a su gráfica en no más de un punto. Función Suryectiva Es aquella donde cada elemento del conjunto de llegada (Rango) es imagen de algún elemento del conjunto de partida (Dominio). Es decir el conjunto de llegada e imagen son iguales. Definición Sea f: A B una función. La función f es suryectiva o sobreyectiva si para todo y є B, eiste є A, tal que f() = y. Es decir, f es suryectiva si Ran(f) = B. En el gráfico siguiente observa como TODOS los elementos del conjunto Y, son imagen de los elementos del conjunto X. Profesor: Javier Trigoso Página 16

17 Función Biyectiva Sea f: A B una función. La función f es biyectiva si y solo si es inyectiva y suryectiva. PARA LA CLASE 01. Cuántas de las siguientes gráficas corresponden a funciones inyectivas? y y A. 1 B. C. 3 D Halla el valor de y sabiendo que la función f es inyectiva f 5; 1, 3;, y; 1, y ;, ;6 A. 1 B. 4 C. 5 D. 13 y 03. Indica el conjunto de valores de k, de tal manera que la función f sea inyectiva. f ;y R / y y 4 k 1 A. 4 B. R 1 C. R 4 D. R Dada la función f : m;7 n;3m con regla de correspondencia f() = 5, determina el valor de m + n, si f es sobreyectiva. A. -10 B. -8 C. 8 D Dada la función f : a;10 0;b con regla de correspondencia biyectiva. A. 6 B. 18 C. 8 D. 34 f() 4 3. Halla a + b para que f sea 06. ; 1 Dada la función f 3 ; 1 1 Determina si la función es inyectiva y halla su rango. A. Si; 1; 1 B. Si; 1; C. No; 1; 1 D. No; 1; 07. Si f es una función inyectiva definida por f ; / ;k 5 A. k B. k 5 C. k 6 D. k 7 entonces es verdad que: Profesor: Javier Trigoso Página 17

18 08. Sea f 1 una función sobreyectiva cuyo dominio es ;10 y rango a;b 1. Halla el valor de a. A. -1 B. 1 C. 80 D Dada la función f : 0;3 3; B definida por: 7 ; 3 f 5 7 ;0 3 Halla B para que f sea suryectiva. A. 7; B. ; C. ; 7 ; D. 7; ; 10. Dada la función f : R R con regla de correspondencia: 3 ; k f 7 ; k Halla k, si f es biyectiva. A. -10 B. -4/3 C. 4/3 D. 10 PARA LA CASA 01. Cuántas de las siguientes gráficas corresponden a funciones inyectivas? y y A. 1 B. C. 3 D Dada la función f : A A definida por el diagrama sagital. Señala verdadero o falso. I. es inyectiva II. es suryectiva III. es biyectiva A. VVF B. VVV C. FVV D. FFV y A 1 3 f y B a b c 03. Dada la función f : ;5 a;b con regla de correspondencia f() = 5, determina el valor de b a, si f es sobreyectiva. A. 5 B. 8 C. 15 D. 3 Profesor: Javier Trigoso Página 18

19 04. Dada la función f : a;4 9;b con regla de correspondencia f() = + 1, determina el valor de a + b, si f es sobreyectiva. A. B. 5 C. 10 D Si la función f definida por: f : 3;1 1;11 / f k, es biyectiva, calcula f(-) A. -8 B. -4 C. 4 D Dada la función f : 3;k 4;6 con regla de correspondencia: ; 3 1 f 5 ; 1 k Halla k, si f es biyectiva. A. 4 B. 5 C. 6 D Dada la función biyectiva: f : a;b 1;5 con regla de correspondencia A. 0 B. 63 C. 10 D f() 1. Señala el valor de a + b 09. Si f : R B es una función suryectiva tal que f() Halla B A. ; C. ; B. ; D. ;0 10. Si la función f definida por: f : a;4 6;b / f 16 4 es biyectiva, el valor de a + b es: A. 5 B. 6 C. 7 D Con respecto a la función: Calcula M b a, si la función es suryectiva. A. B. 3 C. 4 D. 5 f : 3;8 a;b / f 6 0k 1. Dada la función biyectiva: f : 5;b a;7 con regla de correspondencia f() 8 7 Señala el valor de a + b A. 5 B. 6 C. 7 D Si f es una función definida por: 13. Dada la función: f : ;3 3; B definida por f : 3; ;15 / f Indica si f es sobreyectiva e indica su rango ; 3 A. Si; 1;10 B. No; 1;10 f 5 ; 3 5 C. No; ;11 D. Si; 3 ;15 4 Halla B para que f sea suryectiva. A. 1; B. 0;1 1; C. 5;1 1; D. 5;1 1; Profesor: Javier Trigoso Página 19

20 14. 4 Con respecto a la función: f : ;5 a 1;b / f 3 b a Calcula E a b, si la función es suryectiva. A. 1,5 B. 1,5 C. 1,75 D.,5 15. Sea f : 0;5 1;7 definida por: 4 ;0 3 f 6 ;3 5 Se cumple que: A. f es inyectiva y sobreyectiva B. f es inyectiva pero no sobreyectiva C. f es sobreyectiva pero no inyectiva D. f no es inyectiva ni sobreyectiva 16. Con respecto a la función: f ;y R / y 4 7 es correcto afirmar que: A. Es inyectiva B. Es biyectiva C. Es sobreyectiva D. No es función 17. Dados los conjuntos y la función f : A B. Indica verdadero (V) o A 1;;3 B 1; falso (F) según corresponda: I. II. III. 1;1, ;1, 3; es sobreyectiva 1;, ;, 1;3 es inyectiva 1;, ;, 3;1 es sobreyectiva A. VVV B. VVF C. VFV D. VFF 18. Dada la función: f : 1;1 ;0 con regla de correspondencia 1 f() 1 Qué clase de función es f? A. Inyectiva B. Suryectiva C. Biyectiva D. No es función 19. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. f 3 es inyectiva II. f : 3; 1; con regla de correspondencia f 6 10 es biyectiva III. f es inyectiva ; 1 A. Solo I B. I y II C. II y III D. Solo III 0. Dadas las funciones: f : R A / f g : R R / g 1 Donde A R / 0 Señala la proposición verdadera A. f y g son suryectivas B. f es inyectiva y g es suryectiva C. f y g son inyectivas D. f es suryectiva y g es inyectiva Profesor: Javier Trigoso Página 0

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Teoría de Conjuntos y Funciones

Teoría de Conjuntos y Funciones Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos

Más detalles

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones

Estudio Gráfico de Funciones Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA . NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos

Más detalles

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES Tema 4 Funciones. Características - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente,

Más detalles

Halla dominio e imagen de las funciones

Halla dominio e imagen de las funciones Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Halla dominio e imagen de las funciones y Como no está definido si, es decir, si El recorrido o imagen será el conjunto de todos los

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

Tutorial MT-b15. Matemática 2006. Tutorial Nivel Básico. Relaciones y Funciones

Tutorial MT-b15. Matemática 2006. Tutorial Nivel Básico. Relaciones y Funciones 134567890134567890 M ate m ática Tutorial MT-b15 Matemática 006 Tutorial Nivel Básico Relaciones y Funciones Matemática 006 Tutorial Relaciones y Funciones Marco teórico: 1. Producto cartesiano: El producto

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Interpretación de gráficas símbolos Con la finalidad de reafirmar la relación eistente entre el contenido de un concepto, la notación simbólica utilizada para representarlo

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD 3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Concepto clave: 1. Razones trigonométricas Si A es un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo y su medida es, entonces: sen longitud del cateto opuesto al A

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo Cálculo Contenidos Clase 1: Funciones: Dominio, recorrido, gráfico. Ejemplos. Clase 2: Igualdad de funciones.

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver límites que involucran funciones circulares directas, resulta conveniente conocer los límites de las

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS 3FUNCIONES LOGARÍTMICAS Problema 1 Si un cierto día, la temperatura es de 28, y hay mucha humedad, es frecuente escuchar que la sensación térmica es de, por ejemplo, 32. La sensación térmica depende de

Más detalles

Funciones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Relaciones funcionales...pág. 204. 2.Representación gráfica...pág. 211. 3.Propiedades generales...pág.

Funciones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Relaciones funcionales...pág. 204. 2.Representación gráfica...pág. 211. 3.Propiedades generales...pág. 11 Funciones. Objetivos En esta quincena aprenderás a: Comprender, distinguir y valorar el concepto de función Interpretar y relacionar tabla, gráfica y fórmula de una relación funcional Distinguir los

Más detalles

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta. año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

Funciones reales de variable real: límites y continuidad

Funciones reales de variable real: límites y continuidad Capítulo 3 Funciones reales de variable real: límites y continuidad 3.. Funciones reales de variable real 3... ntroducción Una función f : A B consiste en dos conjuntos, el dominio A = Dom(f) y el rango

Más detalles

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción.

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción. Recuerdas qué es? Coordenadas de un punto Un punto del plano viene definido por un par ordenado de números. La primera coordenada es la abscisa del punto, la segunda coordenada es la ordenada del punto.

Más detalles

Funciones, x, y, gráficos

Funciones, x, y, gráficos Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida

Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida Concepto de integral definida: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INTEGRAL DEFINIDA Sea una función continua definida en [a, b]. Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a, ], [,

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Gráficas. Funciones Reales. Variable Real

Gráficas. Funciones Reales. Variable Real I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Gráficas de Funciones Reales de Variable Real Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del I.E.S.

Más detalles

Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int."

Un Apunte de Funciones Introducción al Cálculo Dif. e Int. Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int." Las funciones son relaciones, las cuales, lo que hacen es tomar un elemento de un conjunto de partida (dominio) y transformarlo en otra cosa,

Más detalles

Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas

Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas CAPÍTULO Funciones.6 Tipos de funciones Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos mu particulares que son importantes en el estudio del cálculo..6. Funciones monótonas Una función

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

Repasando lo aprendido...con una propuesta autoinstruccional

Repasando lo aprendido...con una propuesta autoinstruccional Repasando lo aprendido......con una propuesta autoinstruccional Te propongo un rápido repaso en matemática básica, que te será de suma utilidad para fijar los conocimientos dados. Sólo te brindo una guía

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:

Más detalles

Relaciones entre conjuntos

Relaciones entre conjuntos Relaciones entre conjuntos Parejas ordenadas El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos,

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función TEMA 3 FUNCIONES 3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable

Más detalles

n es la ordenada en el origen, el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas (el vertical, y)

n es la ordenada en el origen, el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas (el vertical, y) Una función es una relación entre 2 magnitudes, de manera que a cada valor de x de la primera le corresponde un único valor de y, de la segunda. Este valor también se designa por f(x) y se conoce como

Más detalles

MATEMÁTICA CPU Práctica 2. Funciones Funciones lineales y cuadráticas

MATEMÁTICA CPU Práctica 2. Funciones Funciones lineales y cuadráticas ECT UNSAM MATEMÁTICA CPU Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas FUNCIONES Damiana al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta Los gráficos hacen

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción Índice general 1. Vectores en el plano 2 1.1. Introducción.................................... 2 1.2. Qué es un vector?................................ 3 1.2.1. Dirección y sentido............................

Más detalles

MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O.

MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O. MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O. Calcular el valor de posición de cualquier cifra en cualquier número natural. Aplicar las propiedades fundamentales de la suma, resta, multiplicación y división

Más detalles

1 Límites de funciones

1 Límites de funciones Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 1 Límites de funciones En general, en la recta real R podemos considerar la noción de distancia entre dos puntos y a dada por la fórmula d (, a) = a

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos

Más detalles

GUÍA DE EJERCICIOS UNIDAD II

GUÍA DE EJERCICIOS UNIDAD II UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Corregido por: Prof. AOUAD Jamil Prof. LAURENTÍN María Prof.

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 4 5 5 6 Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo

Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo Título: Límites de funciones continuidad Autor: c Juan José Isach Mao Fecha:04 Septiembre del 007 Contents Límites 5. Conceptos previos.......................... 5. Límites de una función en un punto................

Más detalles

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica.

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 ) Dadas las funciones f) +4, g) 3 & h), obtener: g/h)), h f)) &g h)), así como sus respectivos dominios. ) Dada la función definida por f) 3 5 5 3,

Más detalles

FUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA

FUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA FUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA Problema : COMPARAR ÁREAS DE CUADRADOS A partir de un cuadrado realizaremos una nueva construcción: se trazan las diagonales y por cada vértice se dibuja una paralela

Más detalles

164 Ecuaciones diferenciales

164 Ecuaciones diferenciales 64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación

Más detalles

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar

Más detalles

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD Función Eponencial y Función Logarítmica 9 Alicia rió. "No sirve de nada intentarlo - dijo -; uno no puede creer cosas imposibles." - "Me atrevería a decir que no tienes

Más detalles

Funciones y sus gráficas

Funciones y sus gráficas Funciones y sus gráficas El concepto de función es de suma importancia en la matemática moderna, debido a esto vamos a estudiar este tema de una manera un poco detallada. Dos conjuntos de números, por

Más detalles

TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL

TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL 4.1 Definición de función real Definición: Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto A en. f : A El dominio de una función es el conjunto

Más detalles