Funciones definidas a trozos

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1 Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad Funciones elementales Funciones polinómicas de primer grado (recta) I. Representación gráfica II. Obtención de la ecuación de una recta, conocidos dos de sus puntos Funciones polinómicas de segundo grado (parábolas) I. Representación gráfica Funciones definidas a trozos

2 Una función es una relación entre dos magnitudes, X e Y, de forma que a cada valor de X de la primera magnitud le corresponde un único valor Y de la segunda. X es la variable independiente Y es la variable dependiente Nota: Se suele denotar y = f(x)

3 1. Descripción verbal: A cada número x, le corresponde su cuadrado menos 3 2. Por una fórmula: 3. Por una tabla de valores 4. Mediante su gráfica

4 Se llama dominio de una función f al conjunto de valores de x para los cuales existe la función. -Imposibilidad de realizar alguna operación. Esto ocurre si en f(x) hay: Denominadores. Los valores que hacen cero un denominador no están en el dominio. Raíces cuadradas. No están en el dominio los valores que hacen que la expresión bajo la raíz sea negativa. -Contexto real del cual se ha extraído la función. Por ejemplo en la ecuación del área de un cuadrado, el dominio es pues la longitud del lado ha de ser un número positivo. -Voluntad de quien propone la función. Así podemos referirnos a la función y=2x definida en (0,4) sin más razón que el hecho de que queramos hacerlo.

5 Los puntos de corte de una función f(x) con el eje OX son aquellos en los que y=0 (ordenada 0) Los puntos de corte de una función f(x) con el eje OY son aquellos en los que x=0 (abscisa 0) Intersección con el eje OX: (-2,0) ; (2,0) Intersección con el eje OY: (0,-4)

6 Una función f es creciente en un intervalo si, en todo este intervalo, al aumentar el valor de la variable x también lo hace el valor de la variable y. Una función f es decreciente en un intervalo si, en todo este intervalo, al aumentar el valor de la variable x disminuye el valor de la variable y. Creciente en los intervalos (-11,-4) y (2,7) Decreciente en el intervalo (-4,2)

7 Una función f tiene un máximo relativo en un punto cuando en él la función toma un valor mayor que en los puntos próximos. (La función es creciente hasta el máximo y decreciente a partir de él) Una función f tiene un mínimo relativo en un punto cuando en él la función toma un valor menor que en los puntos próximos. (La función es decreciente hasta el mínimo y creciente a partir de él)

8 Una función f es continua si su gráfica está formada por un solo trazo. Por el contrario, una función f es discontinua si su gráfica presenta alguna interrupción. Función continua Función discontinua en x=-5 y en x=4

9 Una función es periódica cuando los valores de f(x) se repiten cada cierto intervalo.

10 Una función f es par si cumple f(-x)=f(x). Es simétrica respecto al eje Y. (Si doblamos por el eje Y las dos ramas de la función coinciden) Una función f es impar si cumple f(-x)=-f(x). Es simétrica respecto al origen de coordenadas. (Si giramos la gráfica 180º,respecto del origen, la gráfica se ve igual) Función par Función impar

11 Función Polinómica: Es una función cuya expresión algebraica es un polinomio. Es una función de la forma f(x)= mx+n, y su gráfica es una recta, donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. NOTA: La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX. La pendiente de una recta de la que se conocen dos puntos Y la ecuación de la recta es:

12 y Cálculo de la pendiente: Determinación de la ecuación de la recta: Determinación de la ecuación de la recta:

13 Es una función de la forma Su gráfica es una curva con dos ramas, una creciente y otra decreciente, que se llama parábola. Una parábola tiene estos elementos y características: Vértice: es el punto en el que la función pasa de ser creciente a decreciente, o viceversa, es decir, es un máximo o un mínimo de la función. Eje de simetría: es una recta que pasa por el vértice, y es paralela al eje Y, que divide a la curva en dos partes simétricas. Si a > 0, las ramas de la parábola van hacia arriba, y si a < 0, van hacia abajo. Cuanto mayor se a, más cerradas estarán sus ramas.

14 Determinar si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo. Obtener las coordenadas del vértice. La coordenada y se obtiene sustituyendo el valor de x. Determinar las coordenadas de puntos próximos al vértice. Determinar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

15 Determinar si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo Determinar coordenadas del vértice Cálculo de puntos próximos al vértice x , y , Determinar puntos de cortes con los ejes de coordenadas.

16 Existen funciones que se definen con distintas expresiones algebraicas dependiendo del intervalo. Estas funciones se llaman funciones definidas a trozos. Para describir analíticamente una función a trozos, se dan las ecuaciones de los diversos tramos, enumerados por orden de izquierda a derecha, indicando en cada uno de los tramos los valores de x para los que la función está definida La función se escribe:

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