CALCULO 11-M-1 Primera Parte

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1 CALCULO 11-M-1 Primera Parte Duración 1h 4m Ejercicio 1 (1. puntos) Una isla A se encuentra a 3 kilómetros del punto más próximo B de una costa rectilínea. En la misma costa, a 1 kilómetros de B se encuentra una central eléctrica C. Se quiere comunicar la isla y la central mediante un cable que conste de una parte submarina entre la isla y un punto X de la costa, situado entre B y C, y de una parte subterránea entre dicho punto y la central. El coste del cable submarino es de miles de euros por kilómetro y el del cable subterráneo de 1 miles de euros por kilómetro. 1. Encontrar la función que da el coste total del cable necesario para unir la isla y la central en función de la distancia entre los puntos B y X.. Localizar el punto X para el cual el coste del cable sea mínimo, indicando dicho coste. 1. Esquema Expresando el coste en miles de euros y la distancias en kilómetros se obtiene C AX +1 XC 9+x + 1(1 x) estando x limitada al intervalo [, 1]. 1

2 . Derivando C resulta C x 1 9+x x 1 9+x. 9+x Igualando a cero se obtiene la ecuación De donde se sigue, x 3 9+x. x 3 9+x. Elevando al cuadrado y efectuando operaciones resulta la ecuación equivalente 16x 81 cuyassolucionesson x ± 9 4. Puesto que la solución negativa no pertenece al intervalo [, 1] yla función coste es derivable nos queda un único punto crítico, el x 9/4. Como dicha función es continua sabemos que existen máximo y mínimos absolutos. Estos han de encontrarse necesariamente en los puntos críticos o en los extremos del intervalo. Comparando resulta C() 18 C(9/4) 168 C(1) 19 >. El mínimo coste se alcanza para x 9/4 y el máximo coste para x 1. El coste mínimo es C min 168 euros. Ejercicio (1. puntos) Analizarlagráficadelaecuación y x e x.

3 El dominio es toda la recta real.la función es siempre positiva y corta los ejes coordenados en (, ). Tampoco es par o impar por lo que no presenta simetrías. La función es continua en todos los puntos de su dominio y no presenta asíntotas verticales. Por otra parte lim f(x) + y lim f(x) x x + lim x x + e x lim x x + e x por lo que y es asíntota horizontal por la derecha. La derivada es y xe x x e x x( x)e x lim x + e x Por tanto existen dos puntos críticos: x y x. La siguiente tabla reune el signo de la derivada y los intervalos de crecimiento/decrecimiento de la función x< <x< <x e x x + + x + + y + y por lo que existe un mínimo absoluto en x y un máximo local en x. La derivada segunda es y ( x) e x xe x x ( x) e x ( 4x + x )e x. La ecuación x 4x +tiene dos raíces reales x 4 ± 16 8 ±. 3

4 Análisis del signo de la derivada segunda. Gráfica x< <x<+ + <x e x x x + y + + y x Ejercicio 3 ( puntos) SeaR la región del plano limitada por las gráficas y x x e y 3x. Calcular: 1. El volumen del sólido generado al girar la región R alrededor del eje OY.. El volumen del sólido cuya base es la región R y sus secciones perpendiculares al eje OX son triángulos equiláteros. 1. La primera curva, y 1 x x, es una parábola con vértice en y x es decir en x 1y cuyos cortes en el eje OX se encuentran en x y x. La segunda gráfica, y 3x, corresponde a una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 3. Ambas se cortan en x x 3x x x oseaenx y x. Gráfica de la región R. 4

5 x3 4 6 El volumen generado al girar la región R alrededor del eje OY es V π πx(y y 1 ) dx x(x x ) dx π (x x 3 ) dx ( ) x 3 π 3 x4 4 6π 6.. En este caso el lado de los triángulos equiláteros es l y y 1. Puesto que el área de un triángulo equilátero de lado l es A 1 l (l sin 6o ) 3 4 l

6 se tiene V A(x) dx 3 4 (y y 1 ) dx 3 (x x ) dx 4 3 (x 1x 3 + x 4 ) dx 4 ) 3 ( x x4 4 + x ( ) 3 4 x3 3 1x 4 + x

7 CALCULO 11-M-1 Segunda Parte Duración 1h 4m Ejercicio 4 (1 punto)sea t Escriba t en la forma t De qué tipo de serie se trata? Es convergente? Calcule su suma. Escribiendo, t 9 ( ) observamos que se trata de una serie geométrica de razón r 1. Como r < 1 la serie es convergente siendo su suma t Ejercicio (3 puntos)dadalacurvar cost i sin t j+cosht k determinar la ecuación de la recta tangente en t ylalongituddelacurvaentre t y t π. Derivada r (t) sin t i cos t j + sinh t k. Vector tangente en t r () i 1 j +k. Posición r() 1 i j +1k. Ecuación de la recta tangente x 1 y 1 z 1. 7

8 Ejercicio 6 (3 puntos)sea f(x, y) x + y x y Indicar su dominio y dibujar algunas curvas de nivel. Es posible definir la función en (, ) de tal manera que sea continua?. El dominio es todo el plano excepto los puntos x y,esdecir excepto las rectas y x e y x. Lascurvasdenivelsatisfacen x + y x y k. Reagrupando resulta (1 k)x +(1+k)y obien k 1 y ± k +1 x. Por lo que se trata de rectas que pasan por el origen para k 1 o k 1. La función no posee límite cuando (x, y) (, ) ya que el límite es diferente por cada una de las rectas. En consecuencia no es posible definir la función en el origen de manera que sea continua. Ejercicio 7 (3 puntos) Considere el elipsoide x a + y b + z c Determine la ecuación del plano tangente en un punto P (x,y,z ) de dicho elipsoide.. Plantee un problema de máximos y mínimos que permita determinar el punto P del elipsoide situado en el primer octante tal que el volumen limitado por el plano tangente y los planos coordenados sea mínimo. Sugerencia: Siendo (A,, ), (,B,) y (,,C) los puntos de corte del plano anterior con los ejes coordenados, el volumen es V 1 6 ABC 8

9 3. Calcular dicho punto y el volumen mínimo. Ver la solución en: 9

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