BLOQUE III Funciones

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1 BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales

2 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: + 5 f() = f() = Racional. Polinómica. Aplica la teoría. La siguiente gráfica, es función? Razona la respuesta. y + = 5 9. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa el formulario de los diez apartados. y= + B(, 0) A(, 0) No es una función. Por ejemplo, para = 0 eisten dos valores de y, el y el. La siguiente gráfica, es función? Razona la respuesta. y = + Sí es una función, porque para cada valor de eiste un único valor de y. Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = (,+ ). Continuidad: es continua en todo 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: es simétrica respecto del origen O(0, 0) 6. Asíntotas: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : B(, 0 ),O(0,0),A (, 0 ) Eje : O(0, 0) Signo: Positiva (+): (, ) U ( 0, ) Negativa (): (, 0 ) U (, + ) 44 SOLUCIONARIO

3 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: C(, ) Mínimo relativo: D(, ) Monotonía: Creciente: (, ) Decreciente: (,) U (, + ) 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Curvatura: Convea ( ): (,0) Cóncava ( ): (0, + ) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = = (,+ ) 4. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa el formulario de los diez apartados. y = +. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {0} = (,0) U (0, + ). Continuidad: es discontinua en = 0 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: es simétrica respecto del origen O(0, 0) 6. Asíntotas: Verticales: = 0 Horizontales: no tiene. Oblicuas: y = 7. Corte con los ejes: no corta a ninguno de los ejes. Signo: Positiva (+): (0, + ) Negativa (): (,0) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo:a(, ) Mínimo relativo: B(, ) Monotonía: Creciente: (,) U (, + ) Decreciente: (, 0) U (0, ) 9. Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea ( ): (0, + ) Cóncava ( ): (,0) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = (,] U [, + ). Funciones reales de variable real Piensa y calcula Considera los rectángulos con un lado de triple longitud que el otro. Epresa el perímetro y el área en función del lado menor. P() = 8 A() = TEMA 8. FUNCIONES 45

4 Aplica la teoría 5. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio: y = y = y = Irracional. Dom(f) = [, +@) Racional. Dom(f) = {, } = = (,) U (, ) U (, + ) y = + y = 6. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio: y = y = 5 y = + 4 y = + Polinómica. Dom(f) = = (,+ ) Racional. Dom(f) = {5} = (,5) U (5, + ) Racional. Dom(f) = {, } = = (,) U (, ) U (, + ) Irracional. Dom(f) = [, + ) y = + y = y = ( + ) y = ( + ) y = Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio: y = y = log y = log ( ) y = sen ( + ) y = y = ( ) Eponencial. Dom(f) = = (,+ ) Logarítmica. Dom(f) = (0, + ) Logarítmica. Dom(f) = (, + ) Trigonométrica. Dom(f) = = (,+ ) 8. A partir de la gráfica de y = f(), dibuja la traslación que se pide en cada caso y halla su ecuación. f() + f( + ) f( ) f( ) + y = ( ) y = + y = y = ( ) + y = ( ) + y = SOLUCIONARIO

5 . Operaciones con funciones Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f(), dibuja la gráfica g() simétrica respecto de la recta y = Calcula el dominio y el recorrido o imagen de f() y de g(). Qué relación eiste entre ellos? f() y = Dom(f) = [0, + ), Im(f) = [ 5, + ) Dom(g) = [ 5, + ), Im(g) = [0, + ) Dom(f) = Im(g) y Dom(g) = Im(f) g() f() y = Aplica la teoría 9. Calcula g f y f g en cada uno de los siguientes casos: f() = y g() = + f() = y g() = sen (g f)() = +, (f g)() = + (g f)() = sen ( ) (f g)() = sen sen Par simétrica respecto del eje Ni par, ni impar. Impar simétrica respecto del origen O(0, 0) Ni par, ni impar.. Calcula la composición f g y g f, siendo f() = y, g() = 0. Calcula la función inversa de las siguientes funciones: y = + y = + y = y = + ; 0 f () = f () = + f () = + f () =. Indica si las siguientes funciones son pares, impares o no son ni pares ni impares, y calcula su simetría: y = 9 y = 4 5 y = y = f g() = f ( ) = ( ) = g f() = g( ) = =. Indica si las siguientes funciones son pares o impares analizando la gráfica: y = Impar Simétrica respecto del origen O(0, 0) Par Simétrica respecto del eje y = TEMA 8. FUNCIONES 47

6 4. Funciones polinómicas Piensa y calcula Dibuja una recta que tenga de pendiente y pase por el punto P(0, ) P(0, ) Aplica la teoría 4. Analiza de qué grado pueden ser las funciones polinómicas siguientes. Qué signo tiene el coeficiente principal? y = De er grado. El coeficiente principal es negativo. De 4º grado. El coeficiente principal es positivo. m = 0, ordenada en el origen: y = 5. Representa las siguientes rectas, halla la pendiente y la ordenada en el origen: y = 4 y = y = y = e) y = + f) y = + 4 m = /, ordenada en el origen: 0 y = 4 y = m = 0, ordenada en el origen: 4 m =, ordenada en el origen: 0 48 SOLUCIONARIO

7 e) y = + 7. Escribe la ecuación de cada una de las siguientes rectas: m =, ordenada en el origen: f) y = + 4 m = /, ordenada en el origen: 4 6. Haz un dibujo aproimado de las funciones: y = 6 y = 7 y = 6 y = 7 y = + y = + y = y = 5 TEMA 8. FUNCIONES 49

8 5. Función cuadrática Piensa y calcula b Dada la fórmula del eje de simetría de una parábola =, despeja mentalmente b a En una parábola, se conoce el eje = y a =. Cuánto vale b? b = a b = 6 Aplica la teoría 8. Representa la parábola y =, y, a partir de ella, las siguientes funciones: y = + y = ( + ) y = ( ) + y = y = 5 y = 5 y = + y = 9. Representa las siguientes parábolas: y = y = + y = + 4 y = 6 + y y = ( + ) = = V(, 4) V(, 4) y = ( ) + y = = 50 SOLUCIONARIO

9 . Halla las fórmulas de las siguientes parábolas: = V(, ) V(, 5) 0. Halla las fórmulas de las siguientes parábolas: y = y = 4 y = y = + 6. El número de bolígrafos vendidos en una papelería viene dado por la función f() = 6, siendo el precio en euros. Calcula: la función de ingresos, I() el número de bolígrafos que hay que vender para que los ingresos sean máimos. I() = 6 V(, 9), que es el máimo. Hay que vender bolígrafos. = TEMA 8. FUNCIONES 5

10 6. Funciones racionales e irracionales Piensa y calcula Analiza si la función f() = Dibuja las asíntotas. es impar y dibuja la parte de gráfica que falta. Sí es impar. = 0 y = y = 0 Aplica la teoría. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas. Halla la constante, k, de proporcionalidad inversa: 4 y = y = y = 0 = 0 y = 4. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas. Halla la constante k + y = + 5 y = 5 y = y = + + k = y = + + k = 4 y = 4 y = 0 4 = 0 k = = y = 5 SOLUCIONARIO

11 6. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas: y = + y = k = y = + = = y = + y = Dibuja las siguientes funciones irracionales: y = y = y = + y = + y = k = y = + = y = k = 5. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas: y = y = + TEMA 8. FUNCIONES 5

12 8. Escribe la fórmula de las siguientes funciones irracionales: y = + 5 y = 7. Funciones eponenciales y logarítmicas Piensa y calcula Observando la gráfica correspondiente a y =, dibuja la gráfica correspondiente a y = log, sabiendo que es inversa de la anterior. (, ) y = (0, ) y = y = (, ) (0, ) y = y = log (, ) (, 0) 54 SOLUCIONARIO

13 Aplica la teoría 9. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y sus asíntotas: y = y = log Respecto a qué recta son simétricas? y = y = y = log y = Son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, y = ; por lo tanto, una es inversa de la otra. y = 5 0. Dibuja en los mismos ejes las gráficas de las funciones siguientes y sus asíntotas: y = ( ) y = 0 y = log / Respecto a qué recta son simétricas? y = () y = 0 y = log / y = Son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, y = ; por lo tanto, una es inversa de la otra.. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas: y = + log y = + log / y = log ( + 5) y = log / ( ). Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas: y = + y = 5 + ( ) y = y = ( ) + TEMA 8. FUNCIONES 55

14 . Escribe las fórmulas de las siguientes gráficas: y = + y = + ( ) 4. Escribe las fórmulas de las siguientes funciones: y = L y = log ( ) 8. Funciones trigonométricas Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: sen cos tg π π/ π/ 0 π sen cos tg 56 SOLUCIONARIO

15 Aplica la teoría 5. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y = sen y = + sen y = sen ( ) + π y = + tg y = tg y = + sen y = sen π y = tg ( + ) y = tg π y = sen + ( ) y = sen 6. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y = cos y = + cos y = cos ( ) π 8. Dibuja las siguientes funciones: y = sen y = sen y = cos y = + cos y = cos y = cos π ) ( 7. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y = tg y = + tg y = tg ( ) + π 9. Dibuja las siguientes funciones: y = sen y = sen TEMA 8. FUNCIONES 57

16 40. Dibuja las siguientes funciones: y = cos y = cos y = cos y = cos 58 SOLUCIONARIO

17 Funciones elementales que hay que conocer Halla el tipo de cada una de las siguientes funciones y calcula mentalmente su fórmula 4 Polinómica: y = Eponencial: y = Irracional: y = Racional: y = Logarítmica: y = L Polinómica: y = 0 π/ π 4 Trigonométrica: y = tg π / π π/ π Trigonométrica: y = cos π / π π/ π Trigonométrica: y = sen 9 4 Irracional: y = 4 Racional: y = Polinómica: y = Polinómica : y = Eponencial: y = e Polinómica: y = + Racional: y = Logarítmica: y = log Polinómica: y = Racional: y = + + Irracional: y = Polinómica: y = + 4 TEMA 8. FUNCIONES 59

18 Ejercicios y problemas. Estudio gráfico de una función 4. Indica cuál de las siguientes gráficas es función. y = y = 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Curvatura: Convea ( ): (,) U (, + ) Cóncava ( ): (, ) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = = (,) U (0, + ) 4. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa el formulario de los diez apartados. Sí es función, porque para cada valor de eiste un único valor de y No es función. Por ejemplo, para = 4 eisten dos valores de y C (, 0 ) E 9 y = F D (, 0 ) A(, 0) B(, 0) 9 4. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa el formulario de los diez apartados. y =. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {, } = (,) U (, ) U (, + ). Continuidad: es discontinua en = y en = 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje 6. Asíntotas: Verticales: =, = Horizontales: y = 0 Oblicuas: no tiene. 7. Corte con los ejes: A(0, ) Signo: Positiva (+): (,) U (, + ) Negativa (): (, ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: A(0, ) Monotonía: Creciente: (,) U (, 0) Decreciente: (0, ) U (, + ). Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = (,+ ). Continuidad: es continua en todo 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje 6. Asíntotas: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : A(, 0 ),O(0,0), B (, 0 ) Eje : O(0, 0) Signo: Positiva (+): (, 0 ) U ( 0, ) Negativa (): (, ) U (, + ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: E(, 4), F(, 4) Mínimo relativo: O(0, 0) Monotonía: Creciente: (,) U (0, ) Decreciente: (, 0) U (, + ) 0 9. Puntos de infleión: 0 C(, ) ( 9 ),D, 9 Curvatura: Convea ( ): ( ), Cóncava ( ): ( ), ( ) U,+ 0. Recorrido o imagen: Im(f) = (,4] 60 SOLUCIONARIO

19 . Funciones reales de variable real 44. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio: y = y = 5 + Eponencial. Dom(f) = =(,+ ) Eponencial. Dom(f) = =(,+ ) Logarítmica. Dom(f) = (, + ) Trigonométrica. Dom(f) = =(,+ ) 48. A partir de la gráfica de y = f(), dibuja las gráficas siguientes y halla su ecuación: Racional. Dom(f) = {0} = (,0) U (0, + ) Racional. Dom(f) = = (,+ ) 45. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio: y = 4 + y = + + y = 6 y = + + y = f( + ) y = f() 5 y = f( ) + y = f( + ) Polinómica. Dom(f) = =(,+ ) Racional. Dom(f) = { } = (,) U (, + ) Racional. Dom(f) = {, } = = (,) U (, ) U (, + ) Irracional. Dom(f) = [, + ) 46. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio: y = y = + y = ( ) y = 4 Polinómica. Dom(f) = =(,+ ) Racional. Dom(f) = {, 0} = = (,) U (, 0) U (0, + ) Racional. Dom(f) = {} = (,) U (, + ) Irracional. Dom(f) = (,] 47. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio: y = y = ( ) y = L ( ) y = cos ( π) y = y = 5 y = y = ( + ) y = y = y = 5 y = y = ( ) + TEMA 8. FUNCIONES 6

20 Ejercicios y problemas y = 5. Dadas las funciones f() = sen y g() = +, calcula: g f f g y = + y = ( + ) (g f)() = + sen (f g)() = sen ( + ) 5. Calcula la función inversa de y = f() en los siguientes casos: y = + y = +. Operaciones con funciones 49. Dibuja la función inversa de y = f() en cada caso y halla su fórmula. y = y= + y = y = f () = f () = 5. Calcula la función inversa de y = f() en los siguientes casos: y = y = 4; 0 + f () = f () = Indica si las siguientes funciones son pares, impares o ni pares ni impares, y calcula su simetría: y = y = + y = y = Dadas las funciones f() = 4 y g() =, calcula: g f f g (g f)() = 4 (f g)() = 4 y= + y = y = y = Ó 0 y = y = + log Es impar simétrica respecto del origen de coordenadas O(0, 0) No es par, ni impar. Es impar simétrica respecto del origen de coordenadas O(0, 0) Es par simétrica respecto del eje 4. Funciones polinómicas 55. Analiza de qué grado pueden ser las funciones polinómicas siguientes. Qué signo tiene el coeficiente principal? 6 SOLUCIONARIO

21 De º grado. El coeficiente principal es positivo. De er grado. El coeficiente principal es negativo. 56. Representa las siguientes rectas,halla la pendiente y la ordenada en el origen. y = y = y = + y = 57. Escribe las fórmulas de las siguientes rectas: m =, ordenada en el origen: 0 y = 5 y = Haz un dibujo aproimado de las funciones siguientes: m =, ordenada en el origen: 0 y = y = 4 y = m =, ordenada en el origen: y = 4 m =, ordenada en el origen: TEMA 8. FUNCIONES 6

22 Ejercicios y problemas 5. Función cuadrática 59. Representa la parábola y = ; a partir de ella, las siguientes: y = ( ) y = y = ( + ) y = ( + ) + = V(, ) y = y = ( ) V(, ) y = y = = = V(, 7/) y = ( + ) y = V(, 5) = y = ( + ) + y = 6. Escribe las fórmulas de las siguientes parábolas: 60. Representa las siguientes parábolas: y = 4 + y = + y = + y = SOLUCIONARIO

23 y = + y = y = 4 + y = 4 y = y = + 6 k = = 0 6. Funciones racionales e irracionales 6. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas. Halla la constante, k, de proporcionalidad inversa. y = y = y = + + = y = y = 0 = 0 k = y = 4 + = y = 4 k = = 0 y = 0 k = 4 y = = 0 y = k = k = 6. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas. Halla la constante k + y = + 7 y = + 6 y = + + y = 64. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas: TEMA 8. FUNCIONES 65

24 Ejercicios y problemas y = 5 + y = + y = + y = Dibuja las siguientes funciones irracionales: y = + y = + + y = y = 7. Funciones eponenciales y logarítmicas 66. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y sus asíntotas: y = 4 y = log 4 Respecto a qué recta son simétricas? Son simétricas respecto de la bisectriz del er y er cuadrantes; y = ; por lo tanto, una es inversa de la otra. y = 4 y = y = log Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y sus asíntotas: y = ( ) y = log /4 4 Respecto a qué recta son simétricas? Son simétricas respecto de la bisectriz del er y er cuadrantes; y =, por lo tanto, una es inversa de la otra. y = ( 4 ) y = log /4 66 SOLUCIONARIO

25 68. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas: y = y = + ( ) y = + + y = + ( ) Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas: y = log ( ) y = + log / y = + log ( ) y = + log / ( + ) = y = 0 y = = 0 = y = y = = TEMA 8. FUNCIONES 67

26 Ejercicios y problemas 70. Escribe las fórmulas de las siguientes gráficas: 7. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y=cos π y = + cos y = cos ( + ) y = + cos y = cos y = + y = log / ( + ) y = e y = log ( ) y = cos ( + π ) y = cos 8. Funciones trigonométricas 7. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y = sen π y = + sen y = sen ( ) y = sen 7. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y = tg y = + tg y = tg ( ) π y = tg y = + tg y = + sen y = sen y = sen π ( ) y = tg y = tg ( π/) 68 SOLUCIONARIO

27 74. Dibuja las siguientes funciones: y = sen y = cos Para ampliar 75. Indica cuál de las siguientes gráficas es función: y = Dec () Es función: y = Dec() No es función. 76. Dada la siguiente gráfica, halla todas sus características. Es decir, completa el formulario de los diez apartados.. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {, } = = (,) U (, ) U (, + ) 0 y = + π/ π π/ π Continuidad: es discontinua en = y en = 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje 6. Asíntotas: Verticales: =, = Horizontales: y = Oblicuas: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : no corta. Eje : A(0, ) Signo: Positiva (+): (,) U (, + ) Negativa (): (, ) 8. Máimos y mínimos relativos: g) Máimo relativo:a(0, ) h) Mínimo relativo: no tiene. Monotonía: Creciente: (, ) U (, 0) Decreciente: (0, ) U (, + ) 9. Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea ( ): (,) U (, + ) Cóncava ( ): (, ) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = = (,] U (, + ) TEMA 8. FUNCIONES 69

28 Ejercicios y problemas 77. Dada la siguiente gráfica, halla todas sus características. Es decir, completa el formulario de los diez apartados.. Tipo de función: irracional.. Dominio: Dom(f) = [0, + ). Continuidad: es continua en [0, + ) 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: no es simétrica. 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. Oblicuas: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Signo: Positiva (+): (0, + ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Monotonía: Creciente: (0, + ) Decreciente: 9. Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Convea ( ): Cóncava ( ): (0, + ) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = = [0, + ) y= 79. Halla el dominio de las siguientes funciones: + y = L y = L y = sen y = e Dom(f) = (,) U (, + ) Dom(f) = (0, + ) Dom(f) = {0} = (,0) U (0, + ) Dom(f) = [0, + ) 80. Dibuja la función inversa de y = f() en cada caso: y = f() y = y = + y = y = f() y = y = + y = log ( ) y = 78. Halla el dominio de las siguientes funciones: y = y = 5 Dom(f) = (5, + ) Dom(f) = (,0] U (, + ) 8. Dadas las funciones f() = tg y g() =, calcula: g f f g f f g g (g f)() = (f g)() = tg tg (f f)() = tg (tg ) (g g)() = 70 SOLUCIONARIO

29 8. Calcula la función inversa de la función y = f() en los siguientes casos: y = + y = 5 y = y = y = y = ( ) + y = si 0 y = + 5 y = y = y = 8. Analiza de qué grado pueden ser las funciones polinómicas siguientes. Qué signo tiene el coeficiente principal? y = ( + ) 86. Calcula la función cuadrática que pasa por los puntos siguientes: A(0, ), B(, 5) y C(5, 4) A(, 4), B(4, ) y C(, 4) Es de grado cuatro. El coeficiente principal es negativo. Es de grado dos. El coeficiente principal es negativo. y = 4 y = Calcula la función cuadrática que pasa por los puntos siguientes: 84. Dibuja la recta que pasa por los puntos A(,) y B(6,), y halla su fórmula. A(, 0), B(, ) y C(4, 4) A(, ), B(, ) y C(5, ) A(, ) y = / + y = y = B(6, ) 85. Representa la parábola f() = ; a partir de ella, las siguientes funciones: f( ) + f( + ) 88. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas: TEMA 8. FUNCIONES 7

30 Ejercicios y problemas y = y = ( ) + y = log ( + ) y = log / 90. Dibuja las siguientes funciones: y = sen y = sen y = sen y = sen y = + y = 4 y = + y = Escribe las fórmulas de las siguientes gráficas: 7 SOLUCIONARIO

31 9. Dibuja las siguientes funciones: y = cos y = cos y = cos y = cos y = sen y = sen y = sen y = sen 9. Dibuja las siguientes funciones a partir de y = cos : y = cos y = cos y = cos y = cos y = cos y = cos 9. Dibuja las siguientes funciones a partir de y = sen : y = sen y = sen 94. Dibuja las siguientes funciones: y = cos y = sen ( + π/) Qué observas? TEMA 8. FUNCIONES 7

32 Ejercicios y problemas Se observa que son la misma gráfica, luego: cos = sen ( + π/) Problemas 95. En la gráfica adjunta se representan los ingresos en función del precio de cada cuaderno que fabrica una empresa y que se vende. Describe las características de la gráfica. Dinero (ingresos en millones ). Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = [0, 6]. Continuidad: es continua en su dominio. 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: Simétrica respecto a = 6. Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. Oblicuas: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : O(0, 0) y A(6 0) Eje : O(0, 0) Signo: Positiva (+):A(0, 6) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: B(, 9) Para se alcanzan unos ingresos de 9 millones. Mínimo relativo: no tiene. Dinero (precio en ) Monotonía: Creciente: (0, ) Decreciente: (, 6) 9. Puntos de infleión: no tiene. Curvatura: Cóncava ( ): (0, 6) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = [0, 9] 96. En un cartón rectangular de 8 cm de largo por 6 cm de ancho, se cortan, en los vértices, cuatro cuadrados de cm de lado para construir una caja. Escribe la función que da el volumen de dicha caja en función de la longitud y calcula su dominio de definición. V() = (8 )(6 ) V() = Dom(V) = [0, ] 97. El perímetro de un rectángulo mide 0 m. Epresa el área del rectángulo en función del lado de la base. Calcula el dominio de definición de la función. 74 SOLUCIONARIO

33 A() = (5 ) A() = 5 Dom(A) = [0, 5] 0. La dosis habitual recomendada de un determinado antibiótico para niños es de 0 mg por kilogramo de peso al día, sin sobrepasar los 000 mg al día. Escribe la función que da la cantidad de antibiótico que se debe suministrar en función del peso. Representa la gráfica. 98. El precio de venta al público de una revista en función del número, en miles, de ejemplares editados,, es p() = 4 / Escribe la función de los ingresos que se obtienen, dependiendo de los ejemplares editados, y calcula el dominio de definición. I() = p() = (4 /) I() = 4 / Dom(I) = [0, 8] D() = 0 si 0 Ì Ì si > 50 Dosis (mg/dí Peso (kg) Escribe una función que eprese el área de un rectángulo inscrito en una circunferencia de m de radio en función del lado de la base. Cuál es su dominio de definición? 0. Un tai cobra por bajada de bandera y 0,06 por cada salto de contador. Escribe la fórmula de la función que da el precio de una carrera, en función de los saltos del contador, y representa su gráfica. D() = + 0,06 m 00. Dado un triángulo equilátero de lado, define las funciones del perímetro y el área, en función del lado. Calcula sus dominios de definición. P() = Dom(P) = [0, + ) A() = = Dom(A) = [0, + ) 0. Halla la función que da la longitud del lado de un cuadrado en función del área y calcula su dominio. L() = Dom(L) = [0, + ) A() = 4 Dom(A) = [0, ] 04. Una empresa ha realizado un estudio para determinar las funciones de oferta y de demanda de un producto en función del precio de venta,. La función de oferta es y =,y la de demanda es y = Representa dichas funciones y halla el punto de equilibrio. Precio (euros) Cantidad de producto Nº de pasos y = Demanda Precio (euros) Oferta y = P(4, ) TEMA 8. FUNCIONES 75

34 Ejercicios y problemas 05. Se depositan 000 a un % de interés simple durante un año.escribe la fórmula que da los intereses en función del tiempo. y = Halla el área de un cuadrado en función del lado. Represéntala gráficamente. Intereses (euros) Área del cuadrado (m ) Tiempo (años) y = 0 A() = Longitud del lado (m) 07. Epresa la fórmula que da el producto de dos números que se diferencian en 4 unidades. Representa su gráfica. Un cuadrado de m de lado con un área de 9 m 09. El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B() = + 8 Representa la función B() Determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máimo beneficio. A 4 Área (m ) Beneficio (miles de ) Longitud de la base (m) y = + 8 Precio ( ) 0. Una máquina envasa un pedido de latas de tomate en 8 horas. Se ponen varias máquinas idénticas a trabajar. Halla la función que epresa el tiempo de envasado en función del número de máquinas. Identifica la función obtenida. Representa gráficamente dicha función. y = + 4 y = Con metros de moldura se desea decorar una puerta formando un rectángulo. Escribe la fórmula que epresa el área de dicho rectángulo en función del lado Representa la función. Determina las dimensiones del rectángulo que hacen el área máima. A() = (6 ) ò A() = 6 Función de proporcionalidad inversa Tiempo (horas) y = 8 Nº de máquinas 76 SOLUCIONARIO

35 . Para recoger los higos de una finca, una persona tarda 60 horas. Halla la función que epresa el número de personas en función del número de horas. Identifica la función obtenida. Representa gráficamente dicha función. y = + y = 60 Función de proporcionalidad inversa. 00 Nº de personas y = Tiempo (horas) No es función.. Un cultivo de bacterias se reproduce de forma que el número de bacterias se duplica cada minuto. Epresa la función que representa el número de bacterias en función del tiempo. Suponiendo que inicialmente haya una bacteria y siendo el tiempo en minutos: y =. Se deposita un capital de al 0% anual, de manera que los intereses se acumulan al capital. Epresa la función que da el capital acumulado en función del tiempo. C = 6 000, t 6. Puede tener una función polinómica de cuarto grado solo un mínimo? Pon un ejemplo. Sí, la función potencial: y = 4 7. Puede eistir una función polinómica de tercer grado que no tenga ni máimo ni mínimo? Pon un ejemplo. Sí, la función potencial: y = 8. Una pelota rueda desde una altura de m y cae al suelo a m de distancia. Calcula la fórmula de la curva que sigue al caer. Para profundizar m 4. Dadas las funciones f() = cos y g() = m calcula f g f (f g f)() = (f g)(cos ) = f(cos ) = cos(cos ) 5. Dada la gráfica de la función y = +, dibuja la inversa. y = a + Pasa por el punto P(, 0) 9a + = 0 a = 9 y = + 9 TEMA 8. FUNCIONES 77

36 Ejercicios y problemas 9. Un rectángulo tiene 6 m de área. Halla la función que epresa uno de los lados en función del otro. Identifica la función obtenida. Representa gráficamente dicha función. y = 6 y = 6 Función de proporcionalidad inversa. Longitud de la altura (m) y = 6 Longitud de la base (m) 0. En un cuadrado de m de lado se unen los puntos medios, formando otro cuadrado. En éste se vuelven a unir sus puntos medios para formar un tercer cuadrado, y así se repite el proceso indefinidamente. Epresa la fórmula que da el perímetro de los sucesivos cuadrados. Epresa la fórmula que da el área de los sucesivos cuadrados. Los lados de los cuadrados forman una progresión geométrica de razón. Luego los perímetros serán: P(n) = 4 ( ) n Las áreas serán: A(n) = ( ) n 78 SOLUCIONARIO

37 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso. Dibuja la siguiente función y completa el formulario de los diez apartados: y = + Resuelto en el libro del alumnado.. Representa la función: y = e ; halla la función inversa y represéntala. Representa la recta y = ; observa que la función inicial y su inversa son simétricas respecto de dicha recta. Resuelto en el libro del alumnado.. Internet. Abre: elige Matemáticas, curso y tema. Practica 4. Representa las siguientes funciones y completa los diez apartados del formulario: y = y =. Tipo de función: racional.. Dominio: Dom(f) = {, } = = (, ) U (, ) U (, + ). Continuidad: es discontinua en =, = 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: es simétrica respecto del origen O(0, 0) 6. Asíntotas: Verticales: =, = Horizontales: y = 0 Oblicuas: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Signo: Positiva (+): (, ) U (0, ) Negativa (): (, 0) U (, + ) 8. Máimos y mínimos relativos: no tiene. Monotonía: Creciente: (, ) U (, ) U (, + ) Decreciente: nunca 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Curvatura: Convea ( ): (, ) U (0, ) Cóncava ( ): (, 0) U (, + ) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = = (, + ). Tipo de función: polinómica.. Dominio: Dom(f) = = (, + ). Continuidad: es continua en todo 4. Periodicidad: no es periódica. 5. Simetrías: es simétrica respecto del origen O(0, 0) TEMA 8. FUNCIONES 79

38 Linu/Windows 6. Asíntotas: no tiene. 7. Corte con los ejes: Eje : B(, 0), O(0, 0), A(,0) Eje : O(0, 0) Signo: Positiva (+): (, 0) U (, + ) Negativa (): (, ) U (0, ) 8. Máimos y mínimos relativos: Máimo relativo: C(, ) Mínimo relativo: D(, ) Monotonía: Creciente: (, ) U (, + ) Decreciente: (, ) 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Curvatura: Convea ( ): (0, + ) Cóncava ( ): (, 0) 0. Recorrido o imagen: Im(f) = = (, + ) Identifica las siguientes gráficas y calcula mediante ensayoacierto su fórmula: 6. eponencial, y = polinómica, y = Dibuja la siguiente función, halla su inversa y represéntala. Dibuja la recta y = ; observa que la función inicial y su inversa son simétricas respecto de dicha recta. La inversa es función? y = + trigonométrica, y = + sen 9. La inversa no es función. irracional, y = + 80 SOLUCIONARIO

39 Windows Derive 0.. polinómica, y = + 4. trigonométrica, y = tg Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris o DERIVE: 4. Halla la función que calcula el área de todos los rectángulos de perímetro 8 m Haz la representación gráfica. Qué figura se obtiene? Qué dimensiones tiene el rectángulo cuando el área es máima? logarítmica, y = + log ( + ) Base, altura 4 y = (4 ) y = 4. racional, y = + Una parábola. El rectángulo es un cuadrado de lado = m, y el área máima mide 4 m TEMA 8. FUNCIONES 8