x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

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1 f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim + + No tiene asíntotas horizontales lim Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f() está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. + + lim No tiene asíntotas oblicuas.

2 5. Continuidad - Es un polinomio, así que es continua en R, dado que no cambia de criterio. 6. Paridad Como hay dos grados diferentes, una la función no es ni par ni impar. 7. Crecimiento f ( ) + y una, hay un grado par y otro par, así que + 0,, f ( ) + _ + f ( ) + + Decreciente Creciente f () es creciente en el intervalo, f () es decreciente en el intervalo, Presenta un mínimo en el punto: m, f m, 4 8. Curvatura f ( ) f ( ) + f ( ) + + f ( ) > 0, por lo que f () es cóncava hacia arriba en R No tiene ningún punto de infleión, ya que en ningún punto cambia la curvatura.

3 f ( ) Dominio D (f ) R. Recorrido Im( ) (, 5. Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y y - Con el eje donde y Asíntotas f ] P (0,) Q ( 5,0) R ( + 5,0) - Horizontales lim No tiene asíntotas horizontales - Verticales No presenta asíntotas verticales porque ningún número anula el denominador, ya que no tiene, y en ningún punto cambia su criterio - Oblicuas

4 + 4 + lim Tampoco presenta asíntotas oblicuas 5. Continuidad Como esta función es un polinomio es continua en R 6. Paridad Al tener 7. Crecimiento f ( ) + 4 y no es ni par ni impar (,) (, ) f ( ) f ( ) Creciente Decreciente f () es creciente en el intervalo (,) (), Presenta un máimo en:, (),5 f es decreciente en el intervalo ( ) M ( f ) M ( ) 8. Curvatura f ( ) f ( ) + 4 f ( ) f ( ) < 0, así que es cóncava hacia abajo en R No presenta ningún punto de infleión

5 f ( ) 8 +. Dominio D (f ) R. Recorrido Im(f ) R. Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y y - Con el eje, donde y '05 0' 5 '94 4. Asíntotas P (0,) Q (- 05,0) R (0 5,0) S ( 94,0) - Horizontales lim 8 + No tiene asíntotas horizontales - Verticales No tiene asíntotas verticales porque no tiene denominador para que algún número le anule, y tampoco cambia de criterio. - Oblicuas No hay asíntotas oblicuas porque las funciones polinómicas no tienen asíntotas. 5. Continuidad Al ser una función polinómica y no tener puntos donde cambia el criterio es continua en R.

6 6. Paridad f ( ) 8 + f ( ) La función no es ni par ni impar 7. Crecimiento f ( ) f () es estrictamente creciente en los intervalos (, ),(, ) f () es estrictamente decreciente en el intervalo (, ) 9 + Presenta un máimo en M (, f ( )) M (, ) 9 9 Presenta un mínimo en m (, f ( )) m (, ) 9 8. Curvatura f ( ) 0 0 f () (, ) (, ) (, ) + + f () creciente decreciente creciente (,0) (0, ) f () + f () Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba f () es cóncava hacia arriba en el intervalo ( 0, ) f () es cóncava hacia abajo en el intervalo (, 0 ) 0, f 0 Presenta un punto de infleión I ( ( )) I ( 0,)

7 f ( ) +. Dominio D (f ) R. Recorrido Im(f ) R. Puntos de corte - Con el eje, donde y 0 y + '7549 P ( 7549,0) - Con el eje y, donde 0 y Q (0,-) 4. Asíntotas No tiene ninguna asíntota, ya que las funciones polinómicas nunca tienen asíntotas. 5. Continuidad Al ser una función polinómica y no tener ningún punto donde cambia su criterio es continua en R. 6. Paridad No es ni par ni impar debido a los diferentes grados de las variables. 7. Crecimiento f ( ) 4 + (, ) 4 + 0,, f () + + f () Creciente Decreciente Creciente

8 f () es estrictamente creciente en, U (, ) f () es estrictamente decreciente en, Presenta un máimo en M, f M (, ) 7, f () m (, ) Presenta un mínimo en m ( ) 8. Curvatura f ( ) ,, f () + f () Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba f () es cóncava hacia arriba en, f () es cóncava hacia abajo en, Presenta un punto de infleión en I 5, f I, 7

9 f ( ) ( + ) ( ). Dominio D (f ) R. Recorrido Im(f ) R. Puntos de corte - Con el eje, donde y Con el eje y, donde 0 y 0 0 y P (,0) Q (,0) R (,0) 4. Asíntotas No presenta ninguna asíntota, ya que es una función polinómica. 5. Continuidad Al ser una función polinómica y no presentar ningún punto en el que cambie de criterio es continua en R

10 6. Paridad f ( ) f ( ) + La función no es ni par ni impar. 7. Crecimiento f ( ) 0 f () (, ) (, ) (, ) + + f () Creciente Decreciente Creciente f () es creciente en el intervalo (, ) U (, ) f () es decreciente en el intervalo (-,) Presenta un máimo en (, f ( ) ) M (-, 0) Presenta un mínimo en (, f () ) m (,-4) 8. Curvatura f ( ) (,0) ( 0, ) f () + f () Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Presenta un punto de infleión en I ( 0, f (0) ) I (0,-)

11 4 f ( ) Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im(f ), ). Puntos de corte - Con el eje, donde y P (,0) Q ( 0,0) R (,0) - Con el eje y, donde 0 4 y S (0,0) y 0 4. Asíntotas No tiene asíntotas porque es una función polinómica. 5. Continuidad Es continua en R porque es una función polinómica y no tiene ningún punto donde cambia su criterio. 6. Paridad f ( ) f ( ) Simétrica respecto al eje y. 7. Crecimiento f ( )

12 ( 0 0 ) 0 (, ) (,0) ( 0,) (, ) f () + + f () Decreciente Creciente Decreciente Creciente f () es creciente en el intervalo (,0) U (, ) f () es decreciente en el intervalo (, ) U (0,) 0 f M (0,0) Presenta dos mínimos en m (, f ( )) m (, ) 4 m (, f ()) m (, ) 4 Presenta un máimo en M (, (0)) 8. Curvatura f ( ) 0,, f () + + f () Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo, Cóncava hacia arriba f () es cóncava hacia arriba en, U, f () es cóncava hacia abajo en, 5 Presenta un punto de infleión en I, 6 5 I (, ) 6

13 +. Dominio D (f ) R. Recorrido. Puntos de corte - Con el eje, donde y Im(f ), 0 (0,0) 0 - Con el eje y, donde 0 0 y 0 (0,0) 0 + y 0 4. Asíntotas - Horizontales lim 0 + Presenta una asíntota horizontal de ecuación y 0 - Verticales No presenta asíntotas verticales

14 - Oblicuas No presenta asíntotas oblicuas porque tiene una asíntota horizontal 5. Continuidad () 6. Paridad f es continua en su dominio, por lo que f () es continua en R Como f ( ) f ( ), f ( ) es una función impar. 7. Crecimiento f ( ) ( ( + + ) ) (, ) (, ) (, ) f () + f () Decreciente Creciente Decreciente f () es creciente en el intervalo (, ) f () es decreciente en el intervalo (, ) U (, ) Presenta un mínimo en m (, f ( )) m (, ) Presenta un máimo en M (, f ()) M (, ) 8. Curvatura f ( ) f () es cóncava hacia arriba en ( 0, ) f () es cóncava hacia abajo en (,0) Presenta un punto de infleión en I (0,0) (,0) ( 0, ) f () + f () Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

15 f ( ) +. Dominio D ( f ) R { }. Recorrido Im( f ) (, 4) U (0, ). Puntos de corte - Con el eje, donde y (0,0) - Con el eje y, donde 0 y 0 0 (0,0) 4. Asíntotas - Horizontales lim + No tiene asíntotas horizontales - Verticales lim lim + Tiene una asíntota vertical de ecuación - lim +

16 - Oblicuas m lim : + b lim + 5. Continuidad Tiene una asíntota oblicua en y + Cuando presenta otra asíntota oblicua de ecuación y Es continua en todo su dominio, es continua en R { } 6. Paridad ( ) f (. ) + La función no es ni par ni impar. 7. Crecimiento + f ( ) (, ) (, ) (,0) ( 0, ) f () + + f () Creciente Decreciente Decreciente Creciente f () es creciente en (, ) U ( 0, ) f () es decreciente en (, ) U (,0) Presenta un máimo en M (, f ( )) M (-,-4) Presenta un mínimo en m (0, f (0)) m(0,0) 8. Curvatura f ( ) Igualo el denominador a 0 y saco las raíces del denominador (, ) (, ) f () + f () Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

17 f () es cóncava hacia arriba en (, ) f () es cóncava hacia abajo en (, ) Como las raíces obtenidas no son de la función completa, sino que son del denominador, no presenta puntos de infleión, porque además en - no está definida. f ( ) ln. Dominio D ( f ) R (, ). Recorrido Im( f ) R {0}. Puntos de corte No tiene ningún punto de corte con los ejes 4. Asíntotas - Horizontales lim ln 0 - Verticales Tiene una asíntota horizontal en y 0

18 lim ln límites laterales Tiene una asíntota vertical en lim ln límites laterales Tiene una asíntota vertical en - Oblicuas. Como tiene asíntotas horizontales y verticales, no tiene oblicuas. 5. Continuidad Es continua en su dominio, en R 6. Paridad La función no es ni par ni impar 7. Crecimiento f ( ) Igualo a 0 el denominador f () es decreciente en todo su dominio. 8. Curvatura ( f ) (,) (, ) f () f () Decreciente Decreciente (,) (, ) f () + f () Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba f () es cóncava hacia arriba en (, ) f () es cóncava hacia abajo en (,) Como las raíces obtenidas son solo del denominador, no presenta puntos de infleión, porque además en la raíz obtenida no está definida.

19 f ( ) +. Dominio D (f ) R. Recorrido Im( f ) (, ). Puntos de corte - Con el eje, donde y 0 P (,0) - Con el eje y, donde 0 - R (0,-) 4. Asíntotas - Horizontales lim + Q(-,0) Tiene una asíntota horizontal en y - No tiene asíntotas verticales ni oblicuas. 5. Continuidad Es continua en todo su dominio, en R 6. Paridad f ( ) + f ( ) f ( ) La función tiene simetría par.

20 7. Crecimiento 4 f ( ) (,0) ( 0, ) f () + f () Decreciente Creciente f () es creciente en ( 0, ) f () es decreciente en (,0) Presenta un mínimo en m ( 0, f (0)) m ( 0, ) 8. Curvatura ( + 4 f ) f () es cóncava hacia arriba en (, ) f () es cóncava hacia abajo en (, ) U (, ) Presenta dos puntos de infleión I, f I, I, f I (, ) (, ) (, ) f () + f (), Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

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