Análisis de funciones y representación de curvas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Análisis de funciones y representación de curvas"

Transcripción

1 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = log 2 ( + 1) 2. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = Tipo de función: logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = ( 1, 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 1 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, Negativa ( ): ( 1, 0) Creciente ( ): ( 1, Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): ( 1, Im(f) = = ( 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = = 1) ( 1, 1) (1, 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 1, = 1 Horizontales: y = 1 Eje : no lo corta. Eje :A(0, 1) Positiva (+): 1) (1, Negativa ( ): ( 1, 1) Máimo relativo:a(0, 1) Creciente ( ): 1) ( 1, 0) Decreciente ( ): (0, 1) (1, 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): 1) (1, Cóncava (»): ( 1, 1) Im(f) = 1] (1, 360 SOLUCIONARIO

2 2. Análisis de funciones polinómicas Piensa y calcula Halla los puntos de corte con el eje de la función y = y estudia su multiplicidad. = 0 doble. 2 2 = 0 ò = 0 ò (8 2 ) 2 = 0 ò = 2 2 simple. 4 = 2 2 simple. Aplica la teoría Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 3. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): ( 2, 0) (2, Negativa ( ): 2) (0, 2) Máimo relativo:a( 2 3/3, 16 3/9) Mínimo relativo: B(2 3/3, 16 3/9) Creciente ( ): 2 3/3) (2 3/3, Decreciente ( ):( 2 3/3,2 3/3) 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (0, Cóncava (»): Im(f) = = ( 4. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 3, 0), O(0, 0), B( 3, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 3) (0, 3) Negativa ( ): ( 3, 0) ( Máimo relativo:a(1, 2) Mínimo relativo: B( 1, 2) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 361

3 Creciente ( ): ( 1, 1) Decreciente ( ): 1) (1, 9. Puntos de infleión: O(0, 0) Convea («): Cóncava (»): (0, Im(f) = = ( 6. y = Im(f) = = ( 5. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, Negativa ( ): Creciente ( ): = ( Decreciente ( ): Ö 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (0, Cóncava (»): y''' = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): ( 2, 0) (0, 2) Negativa ( ): 2) (2, Máimo relativo: C( 2, 4), D( 2, 4) Mínimo relativo: O(0, 0) Creciente ( ): 2) (0, 2) Decreciente ( ): ( 2, 0) ( 9. Puntos de infleión: E( 6/3, 20/9), F( 6/3, 20/9) Convea («): ( 6/3, 6/3) Cóncava (»): 6) ( Im(f) = 362 SOLUCIONARIO

4 7. y = y''' = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Eje : O(0, 0),A(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (2, Negativa ( ): (0, 2) Mínimo relativo: B(3/2, 27/16) Creciente ( ): (3/2, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: C(0, 0), D(1, 1) Convea («): (1, Cóncava (»): (0, 1) 3 8. y = y''' = 2 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 2 3, 0), O(0, 0), B(2 3, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): ( 2 3, 0) (2 3, Negativa ( ): 2 3) (0, 2 3) Máimo relativo:a( 2, 16/3) Mínimo relativo: B(2, 16/3) Creciente ( ): 2) (2, Decreciente ( ): ( 2, 2) 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (0, Cóncava (»): Im(f) = [ 27/16, Im(f) = = ( TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 363

5 3. Análisis de funciones racionales Piensa y calcula Halla mentalmente las raíces del denominador de la función y = 2 1 = 0 ò = 1, = Aplica la teoría 9. y = y''' = 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto Verticales: = 0 Oblicuas: y = Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, Negativa ( ): Máimo relativo:a( 1, 2) Mínimo relativo: B(1, 2) Creciente ( ): 1) (1, Decreciente ( ): ( 1, 0) (0, 1) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (0, Cóncava (»): Im(f) = 2] [2, 10. y = y''' = Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto Verticales: = 0 Oblicuas: y = Eje :A( 1, 0), B(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): ( 1, 0) (1, Negativa ( ): 1) (0, 1) 364 SOLUCIONARIO

6 Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Cóncava (»): (0, Creciente ( ): 1) ( 1, 0) Decreciente ( ): (0, 1) (1, 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): 1) (1, Cóncava (»): ( 1, 1) Im(f) = = ( Im(f) = 1] (0, 11. y = y = ( 2 1) ( 2 1) 3 24 y''' = ( 2 1) 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = { 1, 1} = 1) ( 1, 1) (1, 3. Continuidad: es discontinua en = 1, = 1, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 1, = 1 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje :A(0, 1) Positiva (+): 1) (1, Negativa ( ): ( 1, 1) Máimo relativo:a(0, 1) y''' = Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje :A(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): (1, Negativa ( ): (0, 1) Máimo relativo:a(2, 1/4) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 365

7 Creciente ( ): (0, 2) Decreciente ( ): (2, 9. Punto de infleión: B(3, 2/9) Convea («): (3, Cóncava (»): (0, 3) Creciente ( ): ( 1, 1) Decreciente ( ): 1) (1, 9. Puntos de infleión: O(0, 0), C( 3, 3 3/4), D( 3, 3 3/4) Convea («): ( 3, 0) ( Cóncava (»): 3) (0, 3) Im(f) = y = ( 2 + 1) ( 2 + 1) 3 18 y''' = ( 2 + 1) 4 1. Tipo de función: racional. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: es simétrica respecto Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, Negativa ( ): Máimo relativo:a(1, 3/2) Mínimo relativo: B( 1, 3/2) Im(f) = [ 3/2, 3/2] 14. y = ( 2 4) ( 2 4) 3 72 y''' = ( 2 4) 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = { 2, 2} = 2) ( 2, 2) (2, 3. Continuidad: es discontinua en = 2, = 2, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 2, = 2 Horizontales: y = 1 Eje :A( 1, 0), B(1, 0) Eje : C(0, 1/4) Positiva (+): 2) ( 1, 1) (2, Negativa ( ): ( 2, 1) (1, 2) 366 SOLUCIONARIO

8 Máimo relativo: C(0, 1/4) Creciente ( ): 2) ( 2, 0) Decreciente ( ): (0, 2) (2, 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): 2) (2, Cóncava (»): ( 2, 2) Im(f) = 1/4] (1, 4. Análisis de funciones irracionales Piensa y calcula Halla mentalmente el dominio de la función y = Ó 0 ò 2? 4 Dom(f) = 2] [2, Aplica la teoría 15. y = (4 ) 4 3 y''' = 8(4 ) Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. En = 4 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A(4, 0) Eje : B(0, 2) Positiva (+): Negativa ( ): Ö Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): Im(f) = [0, TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 367

9 16. y = ( 2 + 4) y''' = ( 2 + 4) Tipo de función: irracional. 3. Continuidad: es continua en toda la real 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Oblicuas: y =, y = Eje : no lo corta. Eje :A(0, 2) Positiva (+): = ( Negativa ( ): Ö Mínimo relativo:a(0, 2) Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): = ( Cóncava (»): Ö 17. y = ( 2 1) y''' = ( 2 1) Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = 1] [1, 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. En = 1, = 1 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Oblicuas: y =, y = Eje :A( 1, 0), B(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): 1) (1, Negativa ( ): Ö Creciente ( ): (1, Decreciente ( ): 1) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): 1) (1, Im(f) = [2, Im(f) = [0, 368 SOLUCIONARIO

10 18. y = (4 2 ) y''' = (4 2 ) Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = [ 2, 2] 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. En = 2, = 2 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A( 2, 0), B(2, 0) Eje : C(0, 2) Positiva (+): ( 2, 2) Negativa ( ): Ö Máimo relativo: C(0, 2) Creciente ( ): ( 2, 0) Decreciente ( ): (0, 2) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): ( 2, 2) y = y''' = Tipo de función: irracional. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, Negativa ( ): Creciente ( ): = ( Decreciente ( ): Ö 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): Cóncava (»): (0, Es una semicircunferencia. Im(f) = [0, 2] Im(f) = = ( TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 369

11 20. y = (4 2 ) y''' = (4 2 ) 4 2 (4 2 ) Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = [ 2, 2] 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. En = 2, = 2 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, 2) Negativa ( ): ( 2, 0) Máimo relativo: C( 2, 2) Mínimo relativo: D( 2, 2) Creciente ( ): ( 2, 2) Decreciente ( ): ( 2, 2) ( 2,2) 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): ( 2, 0) Cóncava (»): (0, 2) Im(f) = [ 2, 2] 5. Análisis de funciones eponenciales Piensa y calcula Halla mentalmente los puntos de corte con los ejes de la función y = (2 )e Eje :A(2, 0) Eje : B(0, 2) Aplica la teoría Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 21. y = ( 2)e ( 1)e e y''' = ( + 1)e 1. Tipo de función: polinómica por eponencial. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Horizontales: y = 0 Eje :A(2, 0) Eje : B(0, 2) Positiva (+): (2, Negativa ( ): 370 SOLUCIONARIO

12 Mínimo relativo: C(1, e) Creciente ( ): (1, Decreciente ( ): 9. Punto de infleión: B(0, 2) Convea («): (0, Cóncava (»): Creciente ( ): Decreciente ( ): (1, 9. Punto de infleión: B(2, 2/e 2 ) Convea («): (2, Cóncava (»): Im(f) = Im(f) = [ e, 23. y = e 22. y = e ( 1)e ( 2)e y''' = ( 3)e 1. Tipo de función: polinómica por eponencial. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, Negativa ( ): Máimo relativo:a(1, 1/e) e ( 1) 2 e ( ) 3 e y''' = ( ) 4 1. Tipo de función: eponencial dividida por polinómica. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, 3. Continuidad: es continua en todo su dominio. En = 0 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, Negativa ( ): Mínimo relativo:a(1, e) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 371

13 Creciente ( ): (1, Decreciente ( ): (0, 1) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (0, Cóncava (»): Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): (0, 9. Punto de infleión:a( 1/2, 1/e 2 ) Convea («): ( 1/2, 0) (0, Cóncava (»): 1/2) Im(f) = [e, Im(f) = (0, 1) (1, 24. y = e 1/ 25. y = e 2 e 1/ 2 e 1/ (2 + 1) 4 e y''' = 1/ ( ) 6 1. Tipo de función: eponencial. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, 3. Continuidad: es continua en todo su dominio. En = 0 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 1 Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, Negativa ( ): Ö 2e 2 (4 2 2)e 2 y''' = (2 2 3)4e 2 1. Tipo de función: eponencial. 3. Continuidad: es continua en todo su dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje :A(0, 1) Positiva (+): = ( Negativa ( ): Ö Máimo relativo:a(0, 1) Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, 9. Puntos de infleión: B( 2/2, 1/ e), C( 2/2, 1/ e) 372 SOLUCIONARIO

14 Convea («): 2/2) ( Cóncava (»): ( 2/2, 2/2) Im(f) = (0, 1] 26. y = ( 2)e 3 y''' = e 2 ( )e 4 ( )e 5 1. Tipo de función: eponencial dividida por polinómica. 2. Dominio: Dom(f) = = (0, 3. Continuidad: es continua en todo su dominio. En = 0 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje : no lo corta. Positiva (+): (0, Negativa ( ): Ö Mínimo relativo:a(2, e 2 /4) Creciente ( ): (2, Decreciente ( ): (0, 2) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (0, Cóncava (»): Ö Im(f) = (0, 6. Análisis de funciones logarítmicas Piensa y calcula Halla los puntos de corte con los ejes de la función y = L ( 2 1) Puntos de corte con el eje L ( 2 1) = 0 ò 2 1 = 1 ò 2 = 2 A( 2, 0); B( 2,0) Al eje no lo corta. TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 373

15 Aplica la teoría Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 27. y = L ( 2 + 4) ( 2 + 4) 2 4 y''' = 3 48 ( 2 + 4) 3 1. Tipo de función: logarítmica. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje : no lo corta. Eje :A(0, L 4) Positiva (+): = ( Negativa ( ): Ö Mínimo relativo:a(0, L 4) Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: B( 2, L 8), C(2, L 8) Convea («): ( 2, 2) Cóncava (»): 2) (2, 28. y = L ( ) ( ) 2 4 y''' = ( ) 3 1. Tipo de función: logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = (2, 3. Continuidad: es continua en todo su dominio de definición; en = 1, = 2 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 1, = Eje : (, 0,, 0 2 ) ( 2 ) Eje : (0, L 2) Positiva (+): ( 2 ) ( 2 ) Negativa ( ): (, 1) ( 2, 2 2 ) Creciente ( ): (2, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): (2, Im(f) = [L 4, Im(f) = = ( 374 SOLUCIONARIO

16 29. y = L y''' = 3 1. Tipo de función: logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, 3. Continuidad: es continua en todo su dominio de definición; en = 0 tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 0 Eje :A( 1, 0), B(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): 1) (1, Negativa ( ): ( 1, 0) (0, 1) Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): (0, 30. y = L 1 + L 1 y''' = Tipo de función: polinómica multiplicada por logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = (0, 3. Continuidad: es continua en todo su dominio de definición; en = 0 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): (1, Negativa ( ): (0, 1) Mínimo relativo: B(1/e, 1/e) Creciente ( ): (1/e, Decreciente ( ): (0, 1/e) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (0, Cóncava (»): Ö Im(f) = = ( Im(f) = [ 1/e, TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 375

17 31. y = L 1 L L L y''' = 4 1. Tipo de función: logarítmica dividida entre polinómica. 2. Dominio: Dom(f) = (0, 3. Continuidad: es continua en todo su dominio de definición. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Verticales: = 0 Horizontales: y = 0 Eje :A(1, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): (1, Negativa ( ): (0, 1) Máimo relativo: B(e, 1/e) Creciente ( ): (0, e) Decreciente ( ): (e, 9. Punto de infleión: C e 3/2, Convea («): (e Cóncava (»): (0, e 3/2 ) ( 3 2e 3/2 ) 32. y = L (1 2 ) ( 2 1) 2 4 y''' = ( 2 1) 3 1. Tipo de función: logarítmica. 2. Dominio: Dom(f) = ( 1, 1) 3. Continuidad: es continua en todo su dominio; en = 1, = 1 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Verticales: = 1, = 1 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): Ö Negativa ( ): ( 1, 0) (0, 1) Máimo relativo: O(0, 0) Creciente ( ): ( 1, 0) Decreciente ( ): (0, 1) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): ( 1, 1) Im(f) = Im(f) = 376 SOLUCIONARIO

18 7. Análisis de funciones trigonométricas Piensa y calcula Halla mentalmente el período de la función y = 3 sen 2 Si el período de y = sen es 2π, para hallar el de y = sen 2 hay que dividir 2π entre 2; por tanto, el período es π Aplica la teoría Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 33. y = 3 cos /2 3 sen /2 2 3 cos /2 4 y''' = 3 sen /2 8 Im(f) = [ 3, 3] 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período 4π; se estudia solo en el primer período [0, 4π) 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A(π, 0), B(3π,0) Eje : C(0, 3) Positiva (+): (0, π) ( 3π,4π) Negativa ( ): (π,3π) Máimo relativo: C(0, 3) Mínimo relativo: D(2π, 3) Creciente ( ): (2π,4π) Decreciente ( ): (0, 2π) 9. Puntos de infleión:a(π, 0), B(3π, 0) Convea («): (π,3π) Cóncava (»): (0, π) (3π,4π) 34. y = sen + cos cos sen sen cos y''' = cos + sen 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período 2π; se estudia solo en el primer período [0, 2π) 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A(3π/4, 0), B(7π/4, 0) Eje : C(0, 1) Positiva (+): (0, 3π/4) (7π/4, 2π) Negativa ( ): (3π/4, 7π/4) Máimo relativo: D(π/4, 2) Mínimo relativo: E(5π/4, 2) Creciente ( ): (0, π/4) (5π/4, 2π) Decreciente ( ): (π/4, 5π/4) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 377

19 9. Puntos de infleión:a(3π/4, 0), B(7π/4, 0) Convea («): (3π/4, 7π/4) Cóncava (»): (0, 3π/4) (7π/4, 2π) Im(f) = [0, 1] 36. y = sen cos Im(f) = [ 2, 2] 35. y = cos 2 2 sen cos 2 4 cos 2 y''' = 8 sen cos 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período π; se estudia solo en el primer período [0, π) 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A(π/2, 0) Eje : B(0, 1) Positiva (+): (0, π/2) (π/2, π) Negativa ( ): Ö Máimo relativo: B(0, 1) Mínimo relativo: C(π/2, 0) Creciente ( ): (π/2, π) Decreciente ( ): (0, π/2) 9. Puntos de infleión: D(π/4, 1/2), E(3π/4, 1/2) Convea («): (π/4, 3π/4) Cóncava (»): (0, π/4) (3π/4, π) cos 2 4 sen cos y''' = 4 8 cos 2 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período π; se estudia solo en el primer período [0, π) 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A(π/2, 0), O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, π/2) Negativa ( ): (π/2, π) Máimo relativo: B(π/4, 1/2) Mínimo relativo: C(3π/4, 1/2) Creciente ( ): (0, π/4) (3π/4, π) Decreciente ( ): (π/4, 3π/4) 9. Puntos de infleión: O(0, 0), D(π/2, 0) Convea («): (π/2, π) Cóncava (»): (0, π/2) Im(f) = [ 1/2, 1/2] 378 SOLUCIONARIO

20 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: 1 Dada la función: 6 Dada la función: f() = f() = e halla los máimos y mínimos relativos. halla dónde es creciente. Máimo A(2, 4), mínimo B( 2, 1) 1) No tiene. Máimo A( 2, 4), mínimo O(0, 0) Máimo A(1, 3), mínimo B( 3, 1) ( 1, ( e, e) 2 Dada la función: f() = 3 9 halla dónde es convea («) 3) (0, ( 3, 3) 7 Dada la función: f() = 2 e halla dónde tiene un mínimo relativo. O(0, 0) A(2, 1) A(4, 1/e) A( 1, 2) 3 Sea la función: f() = 2 1 Halla los puntos de infleión. A( 1, 0); B(1, 0) A( 2, 2); B(2, 2) No tiene. O(0, 0) 8 Dada la función: y = halla dónde es creciente. (1, (0, e) (0, e) L 2 4 Sea la función: f() = 2 (1 ) 2 1 Qué tipo de discontinuidad tiene en = 1? Evitable. De 1ª especie. De 2ª especie. No es discontinua. 9 Se consideran las funciones: f() = 2 4; g() = L f() Halla el dominio de g() Dom(g) = 2]«[2, Dom(g) = ( 2, 2) Dom(g) = [ 2, 2] Dom(g) = 2)«(2, 5 Dada la función: y = 4 e 10 La función dada por: f() = 2 dónde tiene el máimo relativo? O(0, 0) A(2, 2) A(4, 256/e 4 ) A( 1, 3) tiene un mínimo relativo en: A(2, 0) O(0, 0) A( 2, 8) A(1, 1) TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 379

21 Ejercicios y problemas 1. Análisis gráfico de una función 37. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. 38. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = + 3 y = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A( 1, 0), B(2, 0) Eje : C(0, 2) Positiva (+): (2, Negativa ( ): 1) ( 1, 2) Máimo relativo:a( 1, 0) Mínimo relativo: D(1, 4) Creciente ( ): 1) (1, Decreciente ( ): ( 1, 1) 9. Punto de infleión: C(0, 2) Convea («): (0, Cóncava (»): Im(f) = = ( 1. Tipo de función: irracional. 2. Dominio: Dom(f) = [ 3, 3. Continuidad: es continua en todo el dominio; en = 3 tiene una discontinuidad de 2ª especie. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Eje :A( 3, 0) Eje : C(0, 3) Positiva (+): ( 3, Negativa ( ): Ö Creciente ( ): ( 3, Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): ( 3, Im(f) = [0, 380 SOLUCIONARIO

22 39. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = e Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario de los 10 apartados. y = 3 cos 2 1. Tipo de función: eponencial. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje, ni respecto Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje :A(e 1,0) Positiva (+): = ( Negativa ( ): O Creciente ( ): = ( Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): = ( Cóncava (»): Ö Im(f) = (0, 1. Tipo de función: trigonométrica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 4. Periodicidad: es periódica de período π; se estudia solo en el primer período [0, π) 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A(π/4, 0), B(3π/4, 0) Eje : O(0, 3) Positiva (+): (0, π/4) (3π/4, π) Negativa ( ): (π/4, 3π/4) Máimo relativo: B(0, 3) Mínimo relativo: C(π/2, 3) Creciente ( ): (π/2, π) Decreciente ( ): (0, π/2) 9. Puntos de infleión:a(π/4, 0), B(3π/2, 0) Convea («): (π/4, 3π/4) Cóncava (»): (0, π/4) (3π/4, π) Im(f) = [ 3, 3] TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 381

23 Ejercicios y problemas 2. Análisis de funciones polinómicas Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 41. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 2) (0, 2) Negativa ( ): ( 2, 0) (2, Máimo relativo:a(2 3/3, 16 3/9) Mínimo relativo: B( 2 3/3, 16 3/9) Creciente ( ): ( 2 3/3, 2 3/3) Decreciente ( ): 2 3/3) (2 3/3, 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): Cóncava (»): (0, 42. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Eje :A( 3, 0), O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 3) Negativa ( ): ( 3, 0) (0, Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo: B( 2, 4) Creciente ( ): ( 2, 0) Decreciente ( ): 2) (0, 9. Punto de infleión: C( 1, 2) Convea («): 1) Cóncava (»): ( 1, Im(f) = = ( Im(f) = = ( 382 SOLUCIONARIO

24 43. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, Negativa ( ): Creciente ( ): = ( Decreciente ( ): Ö 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (0, Cóncava (»): 44. y = y''' = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Eje :A( 2, 0), O(0, 0), B(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): 2) (2, Negativa ( ): ( 2, 0) (0, 2) Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo: C( 2, 4), D( 2, 4) Creciente ( ): ( 2, 0) ( Decreciente ( ): 2) (0, 2) 9. Puntos de infleión: E( 6/3, 20/9), F( 6/3, 20/9) Convea («): 6/3) ( Cóncava (»): ( 6/3, 6/3) Im(f) = = ( Im(f) = [ 4, TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 383

25 Ejercicios y problemas 45. y = y''' = Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Eje : O(0, 0),A(2, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (0, 2) Negativa ( ): (2, Máimo relativo: B(3/2, 27/16) Creciente ( ): Decreciente ( ): (3/2, 9. Puntos de infleión: C(0, 0), D(1, 1) Convea («): (0, 1) Cóncava (»): (1, 46. y = y''' = 6 1. Tipo de función: polinómica. 3. Continuidad: es continua en todo el dominio. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Eje :A(1, 0), B(4, 0) Eje : O(0, 16) Positiva (+): (1, 4) (4, Negativa ( ): Máimo relativo: C(2, 4) Mínimo relativo: D(4, 0) Creciente ( ): (4, Decreciente ( ): (2, 4) 9. Punto de infleión: O(3, 2) Convea («): (3, Cóncava (»): Im(f) = 27/16] Im(f) = = ( 384 SOLUCIONARIO

26 3. Análisis de funciones racionales Analiza y representa las siguientes funciones completando el formulario de los 10 apartados. 47. y = ( 1) 2 2 ( 1) 3 y''' = 6 ( 1) 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {1} = (1, 3. Continuidad: es discontinua en = 1, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: no es simétrica ni respecto del eje, ni respecto Verticales: = 1 Oblicuas: y = + 1 Eje : O(0, 0) Eje : O(0, 0) Positiva (+): (1, Negativa ( ): (0, 1) Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo:a(2, 4) Creciente ( ): (2, Decreciente ( ): (0, 1) (1, 2) 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (1, Cóncava (»): 48. y = y''' = 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = {0} = (0, 3. Continuidad: es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto Verticales: = 0 Oblicuas: y = Eje :A( 2, 0), B(2, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): ( 2, 0) (2, Negativa ( ): 2) (0, 2) Creciente ( ): (0, Decreciente ( ): Ö 9. Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Cóncava (»): (0, Im(f) = [4, Im(f) = = ( TEMA 12. ANÁLISIS DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE CURVAS 385

27 Ejercicios y problemas y = ( 2 + 1) ( 2 + 1) 3 72 y''' = 3 72 ( 2 + 1) 4 1. Tipo de función: racional. 3. Continuidad: es continua en toda la recta real 5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Horizontales: y = 0 Eje : no lo corta. Eje :A(0, 3) Positiva (+): = ( Negativa ( ): Ö Máimo relativo:a(0, 3) Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, 9. Puntos de infleión: B( 3/3, 9/4), C( 3/3, 9/4) Convea («): 3/3) ( Cóncava (»): ( 3/3, 3/3) 50. y = ( 2 1) ( 2 1) 3 6 y''' = ( 2 1) 4 1. Tipo de función: racional. 2. Dominio: Dom(f) = { 1, 1} = 1) ( 1, 1) (1, 3. Continuidad: es discontinua en = 1, = 1, donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 5. Simetrías: es simétrica respecto Verticales: = 1, = 1 Horizontales: y = 0 Eje : O(0, 0) Eje : no lo corta. Positiva (+): ( 1, 0) (1, Negativa ( ): 1) (0, 1) Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): 1) ( 1, 1) (1, 9. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): ( 1, 0) (1, Cóncava (»): 1) (0, 1) Im(f) = (0, 3] Im(f) = = ( 386 SOLUCIONARIO

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

representación gráfica de funciones

representación gráfica de funciones representación gráfica de funciones Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las funciones polinómicas y racionales.

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones

Estudio Gráfico de Funciones Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1 Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente: 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A 3,6 3,6 0, 0, Ent() 4 3 0 Dec() 0,4 0,6 0, 0, 3,6 3,6 0, 0, Signo() A

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones

Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones Dadas las siguientes funciones gráficas, asocia cada función con su gráfica: a) f() = b) g() = - c) h() = 3 a) La 3; b) La ; c) La De las siguientes

Más detalles

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica: TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. 10.1. DOMINIO. El dominio de definición de una función y = f{) (valores para los cuales eiste la función) es, en principio, todo ir, salvo que haya operaciones imposibles

Más detalles

13 Integral. indefinida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría

13 Integral. indefinida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría Integral indefinida. Reglas de integración Piensa y calcula Calcula: a y =, y' = b y' =, y = c y = cos, y' = d y' = cos, y = a y' = b y = c y' = sen d y = sen Aplica la teoría. 7 Se aplica la integral

Más detalles

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Eamen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos)dado el sistema a+ y+ 3z = 0 + ay+ 2z = 1 + ay+ 3z = 1 a) (2 puntos). Discutir

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

Ejercicios de representación de funciones

Ejercicios de representación de funciones Ejercicios de representación de funciones 1.- Representar las siguientes funciones, estudiando su: Dominio. Simetría. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas y ramas parabólicas. Crecimiento y decrecimiento.

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente,

Más detalles

Ejercicios para aprender a derivar

Ejercicios para aprender a derivar Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos:

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

Hoja de Actividades. Nombre: Fecha:

Hoja de Actividades. Nombre: Fecha: Hoja de Actividades Nombre: Fecha: PASO A PASO 1. Dada la función: y = cos () Es continua? Es periódica? Es simétrica respecto del eje Y? Solución: a) Haz clic en Ventana D b) Selecciona en la barra de

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x +

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x + EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS).- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: Tt t

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD

Más detalles

9 Estudio de funciones

9 Estudio de funciones Solucionario 9 Estudio de funciones ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 0 0 b) 4 0 c) 0 d) 0 7 9 a) (, ) b) (, 4] c) (, ] [0, ] d) (, ) (4, ) 9.II. Halla el valor en radianes

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES Tema 4 Funciones. Características - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente,

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) D(f) (Por ser polinómica) ; Posibles máimos o mínimos 6

Más detalles

MURCIA JUNIO 2004. + = 95, y lo transformamos 2

MURCIA JUNIO 2004. + = 95, y lo transformamos 2 MURCIA JUNIO 4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos

Más detalles

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES I

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES I Tema 4 Funciones elementales I Ejercicios resueltos Matemáticas B 4º ESO 1 TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES I DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EJERCICIO 1 : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden

Más detalles

8 Representación de funciones

8 Representación de funciones 8 Representación de unciones ACTIVIDADES INICIALES 8I Escribe los siguientes cocientes menor que el grado de Q(): a) + + a) + + P() ( + ) P( ) Por tanto: + Q( ) + P ( ) Q ( ) como R ( ) C ( ) + con C()

Más detalles

12 ESTUDIO DE FUNCIONES

12 ESTUDIO DE FUNCIONES ESTUDI DE FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS. Representa las siguientes funciones lineales e indica el valor de sus pendientes. a) y b) y 5 y = + y = 5 c) y a) m 0 b) m 5 c) m y =. Representa estas funciones

Más detalles

TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL

TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL 4.1 Definición de función real Definición: Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto A en. f : A El dominio de una función es el conjunto

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

BLOQUE III Funciones y gráficas

BLOQUE III Funciones y gráficas BLOQUE III Funciones y gráficas. Características globales de las funciones 9. Rectas e hipérbolas 0. Función cuadrática Características globales de las funciones. Funciones Considera los rectángulos con

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación

Más detalles

RELACIÓN DE EJERCICIOS ANÁLISIS

RELACIÓN DE EJERCICIOS ANÁLISIS . Determina los dominios de las siguientes funciones: El dominio de una función y f ( ) es el conjunto de valores que puede tomar para que la función eista o tenga sentido. El dominio de las funciones

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A Bloque II Actividades de síntes: Anális Solucionario OPCIÓN A A.. a) Escribe la función f(x) x 4 x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 0? c) Para qué números

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

RELACIÓN DE FUNCIONES. 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones:

RELACIÓN DE FUNCIONES. 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones: RELACIÓN DE FUNCIONES 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Dibuja las siguientes funciones a trozos: ( ) { ( ) { ( )

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS OPCIÓN A

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS OPCIÓN A Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso 009-010 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 009-010 1-XI-009 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 1: FUNCIONES

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Una de las aplicaciones más comunes de los conceptos relacionados con la derivada de una función son los problemas de optimización.

Más detalles

Matemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.

Matemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS CONVOCATORIA 2014 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Matemáticas GENERALES: El examen constará de dos opciones (dos

Más detalles

Funciones. En busca de Klingsor L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S

Funciones. En busca de Klingsor L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S 7 Funciones L I T E R A T U R A M A T E M Á T I C A S En busca de Klingsor Cierta vez, un reportero preguntó a Einstein: Eiste una fórmula para obtener éito en la vida? Sí, la hay. Cuál es? preguntó el

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica.

Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica. Tema 1 Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica. 1.1. Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales problemas planteados. Los orígenes del Cálculo se

Más detalles

Examen funciones 4º ESO 12/04/13

Examen funciones 4º ESO 12/04/13 Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +

Más detalles

- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD. 2 1.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. 2 2.- TASA DE VARIACIÓN. 3 3. DERIVADAS LATERALES.

- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD. 2 1.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. 2 2.- TASA DE VARIACIÓN. 3 3. DERIVADAS LATERALES. . CONTENIDOS.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD....- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA....- TASA DE VARIACIÓN....- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y DE FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS LATERALES... 4.. DERIVABILIDAD

Más detalles

i. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0

i. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0 TRABAJO PRÁCTICO Nº1 1. Identificar la pendiente y ordenada al origen de las siguientes rectas. Graficar y escribir para cada una dominio, imagen, crecimiento, decrecimiento, raíces. a. y = 2x + 1 d. y

Más detalles

Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006

Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006 Bloque A SEPTIEMBRE 2006 1.- En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual

Más detalles

3ª Parte: Funciones y sus gráficas

3ª Parte: Funciones y sus gráficas 3ª Parte: Funciones y sus gráficas Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

2 3º) Representar gráficamente la función: y (Junio 1996)

2 3º) Representar gráficamente la función: y (Junio 1996) 4 1º) Dada la función y. Calcula a) Dominio y punto de corte. b) Regiones y simetría. c) Monotonía y etremos. d) Asíntotas y gráfica. e) Recorrido y continuidad. http://www.youtube.com/watch?v=iazce_pvedq

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Más detalles

Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación.

Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación. . Funciones.1. Definición de función Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación. Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones. La definición

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

EJERCICIOS PARA PENDIENTES DE MATEMÁTICAS DE 1º DE BACHILLERATO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD

EJERCICIOS PARA PENDIENTES DE MATEMÁTICAS DE 1º DE BACHILLERATO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD Pendientes º Bachillerato de Ciencias EJERCICIOS PARA PENDIENTES DE MATEMÁTICAS DE º DE BACHILLERATO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD ÍNDICE BLOQUE I :ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA... SOLUCIONES DEL BLOQUE

Más detalles

BALEARES JUNIO 2004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas.

BALEARES JUNIO 2004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. BALEARES JUNIO 004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. OPCIÓN A ) Tres familias van a una pizzería. La primera familia

Más detalles

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE

Más detalles

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA

4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA Cáp. Temas Adicionales de la derivada. MONOTONÍA. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDAD. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS.6 TEOREMA DE ROLLE.7 TEOREMA DE CAUCHY.8 TEOREMA

Más detalles

Repaso Final. Funciones (Dominios) En las funciones siguientes encuentra el dominio de f(x) Rectas (Problemas)

Repaso Final. Funciones (Dominios) En las funciones siguientes encuentra el dominio de f(x) Rectas (Problemas) Repaso Final Funciones (Dominios) En las funciones siguientes encuentra el dominio de f() 1) f() = 1 )f() = ln (5 ) Rectas (Problemas) 1) Supóngase que el valor de cierta maquinaria disminuye el 10% anual

Más detalles

GUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L C E N T R O D E E S T U D I O S C I E N T Í F I C O S Y T E C N O L Ó G I C O S N o.11 W I L F R I D O M A S S I E U A C A D E M I A D E M A T E

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles