12 Representación de funciones

Transcripción

1 Representación de funciones ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando previamente las epresiones, resuelve las siguientes ecuaciones: 3 a) = c) = 0 7 b) 6 d) = 0.II. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) b) c) 0 + d) 4 0 4

2 EJERCICIS PRPUESTS.. Indica los puntos de discontinuidad, los puntos singulares y los puntos críticos para las siguientes funciones: a) f( ) = c) f( ) = + + e) f( ) = + sen g) f( ) = b) f( ) = d) f( ) = f) f( ) = 4 h) f() = e.. Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: a) 3 = b) ( ) cos 3 f( ) 3 g = c) h ( ) = e + d) k( ) = ( + )ln 5

3 .3. (TIC) Estudia el signo de las siguientes funciones: a) f() = c) f() = e e) f( ) = ln 3 b) f() = 4 d) f() = f) f( ) = ln.4. Estudia las simetrías de las funciones: + a) f ( ) = + b) f() = 4 + c) f( ) = + d) f ( ) =.5. (TIC) Indica si las siguientes funciones son periódicas y, en caso afirmativo, indica el período mínimo. a) sen f( ) = b) f ( ) = sen3 + sen4 c) f ( ) = + d) f ( ) = + sen + cos cos 6

4 .6. Indica las ramas infinitas que poseen las siguientes funciones: a) b).7. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones: + + a) f( ) = b) f( ) = c) f( ) = + 3 Con ayuda de estas asíntotas, traza, de forma aproimada, un esquema sobre las ramas infinitas de cada una de ellas. 7

5 .8. Comprueba que la recta y = + 6 es una asíntota oblicua de la función f( ) = (PAU) Dada la función f( ) = e : a) Estudia si tiene asíntotas verticales. b) Estudia si tiene asíntotas horizontales u oblicuas y la posición de la curva respecto a ellas..0. Representa gráficamente las siguientes funciones polinómicas: a) f() = 3 c) f() = b) f() = (PAU) Calcula los valores de a y b para que la función f() = 3 + a + b 3 tenga un máimo en el punto (5, 6). 8

6 .. (PAU) Calcula los valores de a y b para que la función f() = a 3 + b + 8 tenga un punto 3 de infleión en (, 0)..3. (PAU)(TIC) Traza la gráfica de las siguientes funciones racionales: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = Para ello, estudia las siguientes características: I. Dominio y continuidad III. Simetrías V. Puntos singulares y crecimiento II. Puntos de corte con los ejes IV. Asíntotas VI. Puntos de infleión y concavidad 9

7 .4. (TIC) Traza la gráfica de las siguientes funciones irracionales, estudiando su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas y los máimos y mínimos relativos. Establece el crecimiento, la concavidad y los puntos de infleión. a) f() = + b) f() = +.5. Estudia los intervalos de crecimiento y los puntos singulares de la siguiente función: f( ) 3 =..6. (TIC) Halla las asíntotas oblicuas de la función: f() = 30

8 .7. (PAU)(TIC) Traza la gráfica de las siguientes funciones eponenciales, realizando el estudio de: I. Dominio IV. Puntos singulares y crecimiento II. Puntos de corte con los ejes V. Asíntotas III. Simetrías a) f() = e e b) f( ) = c) f() = e + d) f() = 4 3

9 .8. (PAU)(TIC) Traza la gráfica de las siguientes funciones logarítmicas, mediante el estudio de: I. Dominio III. Asíntotas II. Puntos de corte con los ejes IV. Puntos singulares y crecimiento a) f() = ln ln b) f( ) = c) f() = log( ) d) f() = ln( + 3) 3

10 .9. (TIC) Traza la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas, haciendo un estudio completo de sus características: a) f() = sen() e) f() = tg() b) f() = sen(π) d) f() = + cos() c) f() = sen (π) f) f() = sec 33

11 34

12 .0. Partiendo de la gráfica de f() = ln, traza la gráfica de las funciones: f() = + ln y f() = + ln( ). f () = ln.. A partir de la gráfica de la función f() = e, traza la gráfica de g() = e. f () = e.. (TIC) A partir de la gráfica de la función f() =, traza las gráficas de las siguientes funciones: a) f ( ) = b) g ( ) = ( ) + 35

13 EJERCICIS Puntos de discontinuidad.3. Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f ( ) = c) f ( ) = 4 e) = + d) f ( ) = ln( sen) b) f ( ) 3 f ( ) = e Indica los puntos de discontinuidad de especial interés (puntos de discontinuidad en los que al menos eiste uno de los límites laterales) en las funciones del ejercicio anterior. Indica también si en alguno de estos puntos la función es continua a la izquierda o a la derecha..5. Estudia el signo de las funciones siguientes: Signo de una función a) f() = c) f ( ) = + 4 e) f ( ) = e g) f ( ) = sen + cos b) f() = d) f ( ) = + f) f ( ) = ln( 8) 36

14 Simetrías y periodicidad.6. Estudia las simetrías de estas funciones: a) f ( ) = c) f ( ) = + 4 e) f ( ) = sen 3+ cos 5 b) f ( ) = e e d) f ( ) = f) f ( ) = sen + tg cos.7. Estudia si son periódicas las siguientes funciones: a) f() = sen + tg b) f() = sen + tg c) f() = sen3 + tg3.8. Señala el período de cada una de las siguientes funciones: a) f() = sec c) f() = tg (π) e) f() = sen 4 g) f() = sen + cos b) f() = tg d) f() = sen 4 f) f() = sen + cos 3.9. Comprueba que si una función f() tiene período T, entonces la función f(a) tiene período T a. Aplicando esta propiedad, halla el período de las siguientes funciones: a) f() = sen 3 π c) f() = tg(3π) e) f() = sec3π b) f() = cos 3 π d) f() = cotg π 3 37

15 Asíntotas.30. Estudia las asíntotas de la siguiente función polinómica: f() = Estudia las asíntotas de las siguientes funciones racionales: a) 3 f ( ) = 3 + e) f ( ) = b) 4 3 f ( ) = + f) f ( ) = c) f ( ) = 3 g) f() = 3 d) ( ) f ( ) = Estudia las asíntotas horizontales y oblicuas, y su posición respecto de la curva, para las siguientes funciones racionales: 3 a) f ( ) = + 4 b) c) + + f ( ) = + 3 f ( ) = + 38

16 .33. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones irracionales: 3 a) f ( ) = + c) b) f ( ) = d) f ( ) = f ( ) 4 4 =

17 .34. (TIC) Estudia las asíntotas de las siguientes funciones: a) ( ) ( ) f = + e b) + f( ) = c) f( ) = ln( 3) e.35. (TIC) Estudia las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( ) = b) f ( ) = ln Estudia las asíntotas de las siguientes funciones trigonométricas: a) f() = sen b) f() = sen + 3cos 40

18 .37. (TIC) Estudia las asíntotas de las siguientes funciones con valores absolutos: a) f() = 3 + b) f() = c) f( ) = + + d) f() = ln( ) Funciones polinómicas.38. Dada la función f () = : a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Halla los máimos y mínimos relativos. c) Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuja la gráfica de la función. d) Hay puntos de corte con los ejes de coordenadas?.39. Dada la función f() = : a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Estudia el signo de la función. c) Halla el crecimiento de f. d) Halla los máimos y mínimos relativos. e) Dibuja la gráfica de la función. f) Cuántos puntos de infleión tiene la función? 4

19 Dada la función f() = + a + b : 8 3 a) Calcula los valores de a y b para que tenga un punto de infleión en (, 0). b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento para los valores de a y b hallados. c) Halla los etremos relativos para los valores de a y b hallados. d) Estudia los intervalos de concavidad para los valores de a y b hallados. e) Halla los puntos de infleión de f. f) Dibuja la gráfica de la función. g) Cuántos puntos de corte tiene con el eje de abscisas? Funciones racionales.4. Dibuja las siguientes funciones racionales, realizando el estudio de: I. Dominio IV. Asíntotas II. Simetrías V. Puntos singulares y crecimiento III. Puntos de corte con los ejes VI. Puntos de infleión y concavidad + 4 a) f ( ) = 3 3 c) f ( ) = 3 8 b) f ( ) = + 4

20 .4. (PAU) Calcula el valor de k para que la siguiente función tenga una asíntota oblicua en y = 5: 3 + k k f ( ) = (PAU) Calcula el valor de k para que la siguiente función tenga un máimo relativo en el punto = : f ( ) = + k + Cuál es el valor de este máimo? 43

21 Funciones irracionales.44. (PAU)(TIC) Dada la función f ( ) = 4+ 8 : a) Halla el dominio de f. b) Halla los puntos de corte con los ejes. c) Estudia el crecimiento de la función. d) Halla los máimos y mínimos relativos de f. e) Dibuja la gráfica de la función. f) De acuerdo con la gráfica, señala los intervalos de concavidad de la función..45. (PAU)(TIC) Dada la función f ( ) = +, halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, las asíntotas y los etremos relativos de f, y traza la gráfica de la función (TIC) Dada la función f ( ) = : a) Halla el dominio de f. b) Halla los puntos de corte con los ejes. c) Estudia las asíntotas de la función. d) Calcula los etremos relativos de f. e) Traza la gráfica de la función. 3 44

22 + k Halla el valor de k para que la función f ( ) = tenga un etremo relativo en =. a) Qué tipo de etremo es? b) Determina el dominio de la función. c) Halla las asíntotas de la función para el valor obtenido. d) Traza la gráfica de la función para dicho valor. e) A la vista de la gráfica, establece los intervalos de crecimiento. f) A la vista de la gráfica, establece los intervalos de concavidad. Tiene algún punto de infleión? Funciones eponenciales.48. (PAU)(TIC) Dada la función f() = ( )e, calcula: a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Los intervalos de concavidad. c) Los máimos y mínimos relativos, y los puntos de infleión de la función. d) Con los datos anteriores, traza la gráfica de f..49. (PAU)(TIC) Dada la función f() = e, halla: a) El dominio de f. b) Los puntos de corte con los ejes. c) Las asíntotas de la función. d) Los intervalos de crecimiento y los etremos relativos. e) Con los datos anteriores, traza la gráfica de la función. f) A la vista de la gráfica, indica cuántos puntos de infleión posee. 45

23 + k.50. Calcula el valor de k para que la función f() = e tenga un punto de infleión en = 0. Halla, para el valor obtenido: a) El dominio de f. b) Los puntos de corte con los ejes. c) Las asíntotas de la función. d) Los intervalos de concavidad y los puntos de infleión. e) Con los datos anteriores, traza la gráfica de la función. f) A la vista de la gráfica, indica cuántos máimos y mínimos relativos tiene f. g) A la vista de la gráfica, indica, si es que eiste, el valor del máimo y mínimo absoluto en todo el dominio. Funciones logarítmicas.5. Dada la función f() = ln( 4): a) Halla el dominio de f. e) Estudia el crecimiento y los etremos relativos de f. b) Estudia las posibles simetrías de la función. f) Estudia la concavidad y los puntos de infleión. c) Calcula los puntos de corte con los ejes. g) Traza la gráfica de la función. d) Determina las asíntotas de la función. 46

24 .5. Dada la función f ( ) = ln + : a) Halla el dominio de f. b) Calcula los puntos de corte con los ejes. c) Determina las asíntotas de la función. d) Estudia el crecimiento y los etremos relativos de f. e) Estudia la concavidad y los puntos de infleión. f) Traza la gráfica de la función. + k.53. Halla el valor de k para que la función f ( ) = tenga un etremo relativo en = e. ln Para este valor: a) Estudia el dominio de la función. b) Halla los puntos de corte con los ejes. c) Calcula e interpreta el valor de lim. + 0 ln d) Determina las asíntotas de la función. e) Estudia el crecimiento y los etremos relativos de f. f) Demuestra que la gráfica no tiene puntos de infleión. g) Traza la gráfica de la función. 47

25 Funciones trigonométricas.54. (TIC) Dada la función f() = sen + sen(): a) Estudia las simetrías y la periodicidad de f. b) Calcula los puntos de corte con los ejes. c) Halla los etremos relativos. d) Traza la gráfica de la función..55. (TIC) Dada la función f() = sen : + sen a) Estudia su periodicidad. b) Halla las asíntotas verticales de f. c) Calcula los puntos de corte con los ejes. d) Halla los etremos relativos de f. e) Traza la gráfica de la función. 48

26 tras funciones.56. (TIC) Dada la función f() = + + : a) Eprésala mediante una función definida a trozos. b) Representa gráficamente la función. c) Dónde se encuentran los puntos críticos de f? d) Halla los etremos relativos de la función. e) Halla el máimo y el mínimo absoluto de f..57. (TIC) Dada la función f ( ) = + a) Estudia el dominio de f. b) Calcula los puntos de corte con los ejes. c) Comprueba que no tiene ninguna asíntota. d) Indica los puntos críticos, estudia el crecimiento y calcula los etremos relativos. e) Traza la gráfica de la función. 49

27 PRBLEMAS.58. Las siguientes figuras representan las gráficas de las funciones: f() = h() = g() = ( ) j() = ( ) Indica cuál es la gráfica que corresponde a cada una de ellas. a) b) c) d).59. Construye la gráfica de una función que cumpla todos y cada uno de los siguientes requisitos: I. Dominio: D(f) = (, ) (, + ) v. Tiene un mínimo relativo en = 3. II. lim f ( ) = lim f ( ) + =+ VI. Es creciente en el intervalo ( 3, 0). III. lim f ( ) = 0 lim f ( ) = 0 VII. Es decreciente en: (, 3 ) (0, ) (, + ). + IV. Tiene un máimo relativo en (0, 0)..60. (TIC) Dibuja la función f ( ) = e obteniendo sus asíntotas y etremos relativos. Con la ayuda de ( ) ( ) dicha gráfica, dibuja las funciones g ( ) = e + y h ( ) = + e +. 50

28 .6. Partiendo de la gráfica de y = cos, construye las gráficas de las siguientes funciones: a) y = cos( + π) d) y = π cos + b) y = cos e) y = cos c) y = cos f) y = cos f () = cos.6. La función que aparece en la gráfica es del tipo f () = a + b sen(c + d). Indica los valores de a, b, c y d. π f 5

29 PARA PRFUNDIZAR.63. Dibuja la gráfica de las funciones: a) f ( ) = c) f ( ) = e e) ln f ( ) = + ln b) 3 e f ( ) = 8 d) f ( ) = e + e e f) f ( ) = sen cos Demuestra la igualdad algebraica: ( )( ) a b a + ab + b = a b Apoyándote en la igualdad anterior, demuestra que la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función f ( ) = +. 5

30 .65. De una función f() continua en todo R se conoce la gráfica de su derivada (figura adjunta). Se sabe, además, f que f(0) =. Dibuja la gráfica de f() y encuentra su epresión analítica..66. Se consideran la funciones f, periódica con período T, y g otra función cualquiera: a) Demuestra que ( g f)( ) es una función periódica. b) Es ( f g)( ) periódica? c) Aplicando la propiedad indicada en el apartado a, demuestra que sen f ( ) = e es periódica. d) Se puede aplicar la propiedad anterior a la función f() = sen(ln)? Elige la única respuesta correcta en cada caso: RELACINA CNTESTA.. Se conoce la gráfica de y = f(): π La gráfica de y = f( + π ) + es: A) C) π B) D) π π Solucionario 53

31 .. La función f()= 3 + A) Es par. D) Presenta una simetría respecto del eje. B) Es impar. E) Ninguna de las anteriores respuestas es cierta. C) Presenta una simetría respecto del eje.3. La representación gráfica de la función f() = ln() es: A) B) C) D).4. La relación entre los valores de m y n para que la función polinómica f()=m 3 + n + m n tenga un punto de infleión en = 3 es: A) m + n = 0 C) m + n = 0 E) m = n = 0 B) m n = 0 D) m n = 0.5. El número de puntos de corte con los ejes de coordenadas de la gráfica de f()=a 4 + b 3 + c + d + e puede ser: A) Uno con el eje e infinitos con el eje. D) Ninguno con el eje y dos con el eje. B) Uno con el eje y cinco con el eje. E) Uno con el eje y dos con el eje. C) Ninguno con el eje y cuatro con el eje. Señala, en cada caso, las respuestas correctas:.6. Dada la función f() = e A) Tiene un máimo relativo en =. D) Es cóncava hacia arriba en todo su dominio. B) Es discontinua en = 0. E) Tiene una asíntota horizontal a la derecha en y = 0. C) Tiene una asíntota vertical en =. 54

32 .7. Dada la función f() = ln A) Tiene un mínimo relativo en = e. B) Su dominio es (0 + ). C) Tiene una asíntota vertical. D) Es decreciente en todo su dominio. E) Cuando los valores de se acercan a + los valores de la función se acercan cada vez más a una recta oblicua Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas:.8. La función y = f() verifica que: a) f'(0)=0 y f`'(0)>0. b) Tiene un mínimo relativo en = 0. A) a es equivalente a b D) a y b no se pueden dar a la vez. B) a implica b pero b no implica a. E) Ninguna de las dos afirmaciones se puede verificar. C) b implica a pero a no implica b. Señala el dato innecesario para contestar:.9. Se verifica que lim f( ) = y que 3 lim f( ) =. Como parte de la información para dibujar la + 3 gráfica de la función g() = f( + 4) se aportan, entre otros, los siguientes datos: a) La función f tiene una máimo relativo en = 5 b) La función g tiene un máimo relativo en = c) La función es cóncava hacia abajo en todos los puntos de su dominio d) La función g tiene una asíntota vertical en = A) Puede eliminarse el dato a. D) Puede eliminarse el dato d. B) Puede eliminarse el dato b. E) No puede eliminarse ningún dato. C) Puede eliminarse el dato c. Analiza si la información suministrada es suficiente para contestar la cuestión:.0. Se considera una función continua en todo R y se pretende asegurar su concavidad hacia abajo en el intervalo ( 4, ). a) La función es cóncava hacia arriba en el intervalo (, 4). b) La función es impar. Es decir, presenta una simetría respecto del origen de coordenadas. A) Cada afirmación es suficiente por sí sola. D) Son necesarias las dos juntas. B) a es suficiente por sí sola, pero b no. E) Hacen falta más datos. C) b es suficiente por sí sola, pero a no. 55