Parte II. DERIVADAS. APLICACIONES.

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1 Parte II. DERIVADAS. APLICACIONES. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. f ( a + h ) f ( a ) Se dice que f es derivable en = a si eiste el límite lim. Este número se denomina derivada h 0 h de f en a y se designa por f (a). Decimos que la función f es derivable si es derivable en todos los puntos de su dominio. Es decir Recuerda que el cociente f ( a + h ) h f ( a ) es la TVM f [a,a+h] INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA La función que a cada número del dominio de f le asigna el número f (), si eiste, se llama función derivada de f o, simplemente, derivada de f, y se representa por f. También se puede hablar de la función derivada de f, que se llama derivada segunda y se representa por f (). También se puede hablar de f () (derivada tercera de f ) f n) () (derivada enésima de f) DERIVADAS LATERALES. La derivada es un límite y ese límite eiste si eisten y son iguales los dos límites laterales. Éstos se llaman derivada lateral de f en = a por la izquierda (derecha). Por tanto f es derivable es = a si y sólo si eisten y son iguales los límites f (a - ) y f (a + ). Si son iguales si f es continua

2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD - Las funciones conocidas son continuas y derivables en su dominio. - Aparecen puntos angulosos, en los que la función no es derivable, cuando se utiliza la función valor absoluto, en algunos radicales en el punto donde el radicando es cero o en las funciones definidas a trozos. También pueden aparecer puntos donde la función tiene tangente vertical.

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4 REGLAS DE CÁLCULO DE DERIVADAS. ( f() ± g() )' = f'() ± g' () f() = g() f' ()g() f()g' () ( g() ) ( f () g() )' = f' ()g() + f()g' () (k f()) =k f () (Demostrada) ( f( g() )) ' = f' (g()) g' () Función simple Derivada y = k y ' = 0 y = y ' = f () = f () = f () = f() n ln = log a Función compuesta f '() = y = f() f' () f' () = n n n y = f() f '() = y = ln f() = y = loga f() lna Derivada y '() = y' f' () f() n = n f() f () f'() y' = f'() = f() f() y' = f' () f() lna f () = e f '() = e f() y = e f() y ' = f' ()e f () = a f' () = a lna f() f() y = a y' = f' () a lna f () = sen f '() = cos y = senf() y = f' ()cos f() f () = cos f' () = sen y = cos f() y' = f' ()senf() f' () f () = tg f' () = = + tg y = tgf() y' ()[ tg f()] cos cos f() f' = = + f () = arctg f' () = + y = arctgf() f () = arcsen f' () = y = arcsenf() f () = arccos f' () = y = arccos f() f' () y' = + f () y' = f' () f () y' = f' () f () y = f() g() y =[ g () Lf() + g() f () / f()] f() g() Hacer con derivación logarítmica

5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. Dominio y continuidad Las funciones polinómicas, las eponenciales (a ), sen, cos, arctg, n con n impar, están definidas en todo R. Ojo! El dominio de f() = sen(g()) será el dominio de g(). El dominio de f() = a g() será el dominio de g(), etc. P( ) f() = Domf = { R / Q() 0 } = R \ { R / Q() = 0} Q( ) f() = tg Domf = { R / π +k π, k Z }; f() = tg(g()) Domf = { R/g() π +kπ, k Z}; f() = arcsen ó f() = arccos Domf = [-,] f() = arcsen(g()) ó f() = arccos(g()) Domf = { R / g() [-,] }; f() = n g ( ) con n par Domf = { R / g() 0 } f() = log a g() con a >0 a Domf = { R / g() > 0 }

6 Los modelos de funciones que conocemos son continuos en todo su dominio. Hay que estudiar con cuidado la continuidad en las funciones definidas a trozos. Puntos de corte con los ejes Con el eje Y: ( 0, f(0) ) Si eiste es ÚNICO Con el eje X: ( i, 0 ) Para hallar las abscisas se resuelve la ecuación f() = 0;

7 Simetrías f es PAR o simétrica respecto del eje Y f es IMPAR o simétrica respecto del origen f( ) = f() f( ) = f() Tener en cuenta las simetrías de una función puede ahorrar mucho trabajo para dibujar su gráfica. No todas las funciones presentan una de estas dos simetrías.. Por ejemplo eje Y ni respecto al origen. f ( ) = no es simétrica respecto al Periodicidad f() es periódica de periodo T, T>0, si f() = f(+t) = f(+t) =, Domf Este punto es de interés casi eclusivo para las funciones trigonométricas. Función sen cos tg Senk cosk tgk Periodo π π π π/k π/k π/k Si la función es periódica se puede estudiar la función en uno de sus periodos y después reproducir, tantas veces como se quiera, la parte de la gráfica correspondiente a ese periodo.

8 Asíntotas. En las funciones racionales, si hay asíntota horizontal u oblicua es la misma por la derecha y por la izquierda Ejemplo : + f ( ) = Asíntotas horizontales: + lim = Es muy importante estudiar los límites en los puntos frontera del dominio + y lim = Hay una asíntota horizontal en y = Asíntotas verticales: + + lim = + y lim = Hay una asíntota vertical en = + + lim = y lim = + Hay una asíntota vertical en + = Ejemplo : f ( ) = 3 Asíntotas horizontales: lim = ± no hay ± 3 asíntota horizontal Asíntotas verticales: lim = + y lim = + hay asíntota vertical en = 3 Asíntotas oblícuas: m = lim = lim = ; ± ± 3 Luego hay asíntota oblícua en y = n = lim = = = 9 ± 3 lim lim ± 3 ± 3

9 Puntos singulares. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Ojo al dominio! Puntos singulares: f (a) = 0. Puntos críticos: f (a) = 0 o f (a) no eiste

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11 Intervalos de concavidad y conveidad. Puntos de infleión.

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13 Problemas de optimización: Para determinar los valores máimos y mínimos de una función continua f en un cierto intervalo cerrado [a,b] º Se hallan los puntos c, c, c 3,, c p, del intervalo (a,b) donde f no es derivable. º Se obtiene f () y se resulte la ecuación f () = 0. Sean a, a,, a k, son las soluciones que están en (a,b). 3º Se calculan f(c ), f(c ), f(c 3 ),,f(c p ), f(a ), f(a ),, f(a k ), f(a) y f(b) y se eligen el valor mayor para el máimo y el menor valor para el mínimo. Ejemplo Dada la función 3 si f ( ) = halla su valor máimo y su valor mínimo en el intervalo [0,4] ( ) si > f es continua en [ 0, 4] y derivable en [ 0, 4] { } (puedes comprobarlo) f ' ( ) 3 si < = 4( ) si > f ' ( ) = 0 = ± y =. De esos tres valores [ 0, 4] 3 3 f ( ) = 0 ; f = 0 38 = 0 = 0 4 = 6 3, ; f ( ). ; f ( ) ; f ( ) 3 3 Luego el valor máimo de f en [0,4] es 6, que se toma para = 4, y el valor mínimo de f en [0,4] es 0, que se toma en = 0 y en =.

14 EJERCICIOS Estudio completo y gráfica de las siguientes funciones: ) y = ) y = ) y = (resuelta arriba) 3) y = 0) y = 4) y = ) y = 5) y = e 6) y = ln ( ) 7) y = 3-3 8) y = 4-8 ) y =