Dos curvas interesantes: Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRACTRIZ INTRODUCCIÓN

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1 Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES INTRODUCCIÓN Concepto de función Una de las ideas más fecundas y brillantes del siglo XVII fue la de la coneión entre el concepto de función y la representación gráfica de una curva. Los matemáticos de aquella época sólo admitían como funciones las gráficas que respondían a una fórmula. Fue a mediados del siglo XIX cuando Dirichlet amplió el concepto de función a relaciones de ciertos tipos dadas gráficamente (o de otro modo), aunque no hubiera una fórmula que las describiera. Dirichlet ( ) Los conceptos y los procedimientos del cálculo de límites y derivadas permiten, en la actualidad, indagar cómoda y eficazmente sobre las características más relevantes de funciones dadas mediante fórmulas y, en consecuencia, proceder a su representación gráfica. Con una calculadora o un ordenador se consigue de forma automática e instantánea. Dos curvas interesantes: TRACTRIZ Sobre el eje X, a 4 m del origen hay una bola atada a una cuerda de 4 m. Una persona sujeta el etremo de la cuerda y camina a lo largo del eje Y, arrastrando la bola. La trayectoria que recorre la bola es una curva, llamada tractriz, que es tangente a la cuerda en cada punto. Su ecuación es: y = 4log 16 CATENARIA Si se atan los etremos de una cadena de,5 m a sendos postes de 1,54 m de altura separados entre sí m, la cadena forma una curva llamada catenaria. Situando los ejes de forma adecuada, su ecuación es: e y = + e 1

2 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS Partimos de la epresión analítica, y = f(). Queremos llegar a la representación gráfica. Para ello, poseemos una gran cantidad de información y disponemos de muchas técnicas. Campo en el que hay que estudiar la función Dominio de definición. Es continua? Es derivable? Simetrías (pues si es simétrica respecto del eje Y o respecto del origen de coordenadas, bastará con estudiarla para 0). Periodicidad (si es periódica, bastará estudiarla en un periodo). Ramas infinitas Cuando ±. De qué tipo son? Cuando Derivadas a. Las hay? Puntos singulares. Máimos y mínimos relativos. Puntos de infleión. Obtención de puntos complementarios Puntos de corte con los ejes. Otros puntos que puedan servir para perfilar la curva. Casi nunca será necesario someter a la curva a un estudio tan prolijo que requiera de todos estos elementos. Dominio de definición El dominio de definición de una función y = f() (valores de para los cuales eiste la función) es, en principio, todo R, salvo que haya operaciones imposibles o que, epresamente, se nos restrinja. Recordemos las principales imposibilidades Si hay denominadores, la función no está definida donde estos se anulan. f() solo está definida cuando f() 0. log f() solo está definida cuando f() > 0. a arcsenf() y arccosf() solo están definidas cuando 1 f() 1. π f() = k + 1, k Z tgf() no está definida si Ejemplos: a) b) c) y = Dominio =R y = y = Do minio R { R / 5 4 0} = R { 1, 4} Dominio =R = + = = (El polinomio del denominador no se anula para ningún valor real). 4

3 d) y = Do minio { R / 0} = = (, 0, ) = + e) y = ln ( 1) Do minio { R / 1 0} = (, 1) ( 1, + ) f) y arcsen = > = = + Dominio { R / 1 1} = + = = 4, El valor absoluto suele dar lugar a puntos angulosos. Por ejemplo en =. y = 4 tiene puntos angulosos en = ni Continuidad, derivabilidad Las funciones que utilizamos en este nivel son continuas en todo su dominio de definición, salvo aquellas que se definen artificialmente empalmando trozos. También son derivables con algunas ecepciones: Las funciones raíz pueden tener tangente vertical (y, por tanto, no ser derivables) en los puntos en los que se anula el radicando. Por ejemplo, derivable en = ni en =. y = 4 no es Simetrías Si una función f verifica que f() = f( ), entonces su gráfica es simétrica respecto al eje Y. La razón es muy sencilla: si el punto ( a,b ) pertenece a la gráfica de f, entonces f(a) = b y, por tanto, f( a) = b, lo que quiere decir que el punto ( a,b) también es de la gráfica. Por ejemplo: 4 f() = + 1 A las funciones simétricas respecto al eje Y las llamamos funciones pares. 5 6

4 Si una función verifica que f( ) = f(), entonces su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas, pues si ( a,b ) pertenece a la gráfica de f, entonces f(a) = b y, por tanto, f( a) = b, lo que significa que el punto ( a, b) pertenece también a la gráfica de f. El punto ( a, b) es el simétrico de ( a,b ) respecto de O ( 0, 0 ). Por ejemplo: f() = Ejemplo: f() = sen es una función periódica de periodo π. Ramas infinitas en un punto. Asíntotas verticales Si f() = ±, entonces la recta = a es una asíntota a vertical. Si la función está definida a ambos lados de la asíntota, puede ocurrir uno de estos cuatro casos: A las funciones simétricas respecto al origen de coordenadas las llamamos funciones impares. Periodicidad Saber que una función es periódica facilita mucho su representación. Construiremos la curva solo en un periodo y, después, la etenderemos periódicamente repitiendo el tramo una y otra vez. Recordemos que si una función f es periódica de periodo T, entonces f() = f( + kt), k Z. Las únicas funciones periódicas que conoces son las trigonométricas. Para dilucidar cuál de ellos es, hay que estudiar los límites laterales: f() y f() a Tienen asíntota vertical: + a - Las funciones que son de la forma en los que se anula g(). f() y = en los puntos g() - y = log f() en los puntos donde se anula f(). 7 8

5 π - y = tgf() en los puntos donde f() = (k + 1), k Z. Ejemplos: + 1 y = tiene una asíntota vertical en = Ramas infinitas en el infinito Si f() = l, entonces la recta y = l es asíntota + horizontal cuando = y = + 1 = tiene una asíntota vertical en = 5. La función solo está definida a la derecha de la asíntota. 1 = La posición de la curva respecto de la asíntota se averigua estudiando el signo de la diferencia f() l para valores grandes de. f() Si f() = ±, = m 0 y f() m = n + + +, entonces la recta y = m + n es una asíntota oblicua cuando +. = tiene asíntotas verticales en = 1 y en y ln ( 1) = 1. Dominio = (, 1) ( 1, + ) 1 ( ) ln = ln 1 = 9 La posición de la curva respecto de la asíntota se averigua estudiando el signo de f() (m + n) para valores grandes de. 10

6 Si f() = ± y no hay asíntota oblicua, entonces + puede haber rama parabólica de uno de los siguientes tipos: El crecimiento o decrecimiento es más rápido en funciones polinómicas y eponenciales. El crecimiento o decrecimiento es más lento en funciones radicales y logarítmicas. La casuística cuando es análoga a la aquí epuesta. Ejemplos: y = + 1 = 1 ± + 1 La recta y = 1 es asíntota horizontal de la función. y = Dominio = (, 0, + ) f() ± ± = = + la función no tiene Veamos si hay asíntotas oblicuas: f() m = = = asíntotas horizontales n = f() m = = + Hay asíntota oblicua para +. Su ecuación es y = 1. Posición de la curva respecto de la asíntota: Si + 1 < 0 (la gráfica queda por debajo de la asíntota) Si Si 1 < < (la gráfica está por debajo de la asíntota) (la gráfica está por debajo de la asíntota) Análogamente se obtiene la asíntota y = + 1 para y se prueba que la curva también está por debajo. 11 1

7 Puntos interesantes Puntos de tangente horizontal (singulares o críticos) Las abscisas de los puntos de tangente horizontal se obtienen de la ecuación f'() = 0. Una vez halladas sus soluciones,,,...,, los puntos 1 k correspondientes, (, f 1 ( 1 )), (, f ( )),, ( k ( k )), f, sirven para marcar las subidas y las bajadas de la curva, siempre que f() sea derivable en todo el tramo en el que se encuentran. Los máimos y los mínimos se manifiestan espontáneamente al trazar la curva, uniendo razonablemente las ramas infinitas y los puntos de derivada nula. Pero recordemos que también se puede saber si un punto de tangente horizontal es máimo o mínimo recurriendo a la segunda derivada: Si f'(a) = 0 y f" ( a) > 0 en ( a, f(a) ) hay un mínimo relativo Si f'(a) = 0 y f" ( a) < 0 en ( a, f(a) ) hay un máimo relativo También se puede averiguar si un punto de tangente horizontal es máimo o mínimo estudiando el signo de f'() a su izquierda y a su derecha. 1 Puntos de corte con los ejes Cortes con el eje X: sus abscisas son las soluciones de la ecuación f() = 0. Corte con el eje Y: es el ( 0, f(0) ). Puntos de infleión Son los puntos en donde la función pasa de cóncava a convea o viceversa. Se encuentran entre las raíces de la ecuación f"() = 0. Otros puntos A veces, conviene hallar otros puntos ( a, f(a) ) para precisar la forma de la curva EJEMPLOS DE REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE ALGUNAS FUNCIONES Ejemplo 1 (función polinómica) 5 f() = 0 Dominio: R Puntos de corte con los ejes: - Con el eje X: 5 y = 0 0 = 0 0 = 0 ( 0, 0 ) 0, 0 = 0, = ± 0,

8 - Con el eje Y: Simetría: = 0 y = 0 ( 0, 0 ) 5 f() = f( ) = ( ) 0( ) = + 0 = f() La función es simétrica respecto al origen de coordenadas (función impar). Asíntotas: Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. Pero sí que podemos ver qué le ocurre a la función cuando y cuando + : 5 f() = 0 = f() = 0 = + Concavidad, conveidad, puntos de infleión: f"() = f"() = = 0 60 = 0 = 0, = ± f" < 0 f" > 0 f" < 0 f" > 0 0 (, f ( )) (,8 ) = punto de infleión ( 0, f(0) ) = ( 0, 0) punto de infleión (, f ( )) (,8 ) = punto de infleión Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: 4 f'() = f'() = = = 0 = 0, = ± f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 (, f( ) ) = (,64 ) máimo relativo (, f() ) = (, 64) mínimo relativo 15 16

9 Ejemplo (función polinómica) 4 f() = Dominio: R Puntos de corte con los ejes: - Con el eje X: 4 y = = 0 ( 1, 0) (, 0) - Con el eje Y: Simetría: = 0 y = 9 ( 0,9 ) = 0 = 1, = 4 f() = f( ) = ( ) + 8( ) + ( ) + 4( ) + 9 La función no es simétrica ni respecto al eje y ni respecto al origen de coordenadas. Asíntotas: Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. Pero sí que podemos ver qué le ocurre a la función cuando y cuando + : 4 f() = = f() = = + Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() = f'() = = = 0 = 1, =, = f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 1 (, f( ) ) = (, 0) mínimo relativo (, f( ) ) = (,1) máimo relativo ( 1, f( 1) ) = ( 1, 0) mínimo relativo Concavidad, conveidad, puntos de infleión: f"() = f"() = = 0 = + 1, 4, =, 58 f" > 0 f" < 0 f" > 0 + (,58, f(,58) ) (,58, 0,44 ) ( 1,4, f( 1,4) ) ( 1,4, 0,44) = punto de infleión = punto de infleión 17 18

10 f() = f( ) f es simétrica respecto del eje y Asíntotas: Verticales: =, = (función par) = + = = = + Ejemplo (función racional) f() = 1 9 Dominio: R {, } Horizontales: 1 = = 9 La recta y = es asíntota horizontal Puntos de corte con los ejes: - Con el eje X: 1 y = 0 = 0 1 = 0 =, = - Con el eje Y: Simetría: = 0 y = = 9 4 0, (, 0) (, 0 ) Si hay asíntotas horizontales, no hay asíntotas oblicuas. Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() = 0 ( 9) 0 f'() = 0 = 0 0 = 0 = 0 ( 9) f' < 0 f' < 0 f' > 0 f' > 0 0 f() = 1 9 ( ) 1 1 f( ) = = ( ) , f(0) = 0, mínimo relativo 19 0

11 Concavidad, conveidad, puntos de infleión: f"() = ( 9) f"() = 0 = = 0 ( 9) = ± R f no tiene puntos de infleión f" > 0 f" < 0 f" > 0 Ejemplo 4 (función racional) f() = ( ) Dominio: R { } Puntos de corte con los ejes: - Con el eje X: y = 0 = 0 = 0 = 0 - Con el eje Y: Simetría: ( ) = 0 y = 0 ( 0, 0 ) f() = f( ) = ( ) ( ) ( ) ( 0, 0 ) La función no es simétrica ni respecto al eje y ni respecto al origen de coordenadas. Asíntotas: Verticales: = = + + ( ) ( ) = + Horizontales: = + ( ) ( ) = + 1

12 No hay asíntotas horizontales. Cuando no hay asíntotas horizontales hemos de ver si eisten o no asíntotas oblicuas. Oblicuas: y = m + n ( ) f() m = = = = 1 ± ± ± ( ) ( ) n = f() m = 1 = 4 ± ± La asíntota oblicua es y = + 4 Posición de la curva respecto de la asíntota: Si ( ) = < 0 ( ) (la gráfica queda por debajo de la asíntota) f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 ( 6, f(6) ) = ( 6, 1,5 ) mínimo relativo Concavidad, conveidad, puntos de infleión: f"() = ( ) 4 4 f"() = 0 = 0 4 = 0 = 0 ( ) 4 f" < 0 f" > 0 f" > 0 ( 0, f( 0) ) ( 0, 0) 0 = punto de infleión Si 1 16 ( ) = > 0 ( ) (la gráfica queda por encima de la asíntota) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() = = 6 = 6 ( ) 4 f'() = 0 = 0 6 = 0, = 6 4

13 Ejemplo 5 (función trigonométrica) 1 f() = sen + sen Dominio: R Periodicidad: El periodo de sen es π y el de sen es π. Por tanto, la función f será periódica de periodo π. La estudiaremos solo en el intervalo 0, π. Puntos de corte con los ejes: - Con el eje X: 1 y = 0 sen + sen = 0 1 sencos + sen = 0 sen cos + 1 = 0 = 0, = π, = π - Con el eje Y: = 0 y = 0 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) ( π, 0) ( π, 0) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() = cos + cos f'() = 0 cos + cos = 0 cos sen + cos = 0 cos 1 cos + cos = 0 cos + cos 1 = 0 1 ± cos = = 4 1 π 5π cos = =, = cos = 1 = π 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 π π π π, f =, 1, 5π 5π 5π, f =, 1, máimo relativo Concavidad, conveidad, puntos de infleión: mínimo relativo f"() = 4sencos sen = sen ( 4cos + 1) f"() = 0 sen ( 4cos + 1) = 0 sen = 0 = 0, = π 1 1 π 5π 1 cos = = 1,8, = 4,46 4 f" < 0 f" > 0 f" < 0 f" > 0 0 1,8 π 4,46 π π 5 6

14 ( 1,8, f( 1,8) ) ( 1,8, 0,7) ( 4,46, f( 4,46) ) ( 4,46, 0,7) = punto de infleión = punto de infleión Ejercicio (pág. ) Halla los valores de a, b y c para los cuales la función: a + b + c f() = 4 tiene como asíntota horizontal la recta y = 1 y un mínimo relativo en el punto ( 0, 1 ). Ejercicio 4 (pág. ) Ejercicio 0 (pág. ) La recta y = + 6 es una asíntota oblicua de la función: + 1 f() = k Halla el valor de k y representa la función así obtenida. Ejercicio 1 (pág. ) Sea la función a f() = e con a 0. a) Calcula el valor de a para que esta función tenga un etremo relativo en el punto de abscisa =. b) Clasifica los etremos relativos cuando a =. Ejercicio (pág. ) Dada la función 8 f() = a + b +, calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (, 6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Para esos valores de a y b, representa la función. 7 Dada la función f() = 4 a + 1 a) Determina el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en = 1. Para ese valor de a, obtén los otros etremos relativos. b) Obtén las asíntotas de la gráfica de y = f() para a = 1. c) Esboza la gráfica de la función para a = 1. Ejercicio 5 (pág. ) Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva de ecuación y = para > En el punto P, la deja y se desplaza a lo largo de la recta tangente a dicha curva. a) Halla la ecuación de la tangente. b) Si se desplaza de derecha a izquierda, halla el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próima al punto P. c) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, halla el punto en el que la partícula encuentra al eje X. 8

15 Ejercicio 6 (pág. ) La concentración (en %) de nitrógeno de un compuesto viene dada, en función del tiempo t 0, + ) medido en segundos, por la función: 60 N(t) = t 1 + e a) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. Para qué t la concentración de nitrógeno es mínima y cuál es esta concentración? b) A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a infinito? 1B. (Eamen de la PAEG en UCLM de septiembre de 016) Dada la función 1 f() = e, se pide: a) Estudiar si tiene asíntotas horizontales. b) Calcular sus puntos de infleión. 1B. (Eamen de la PAEG en UCLM de septiembre de 014) Para la función f() = a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus etremos relativos. b) Estudia si tiene asíntota oblicua cuando +. 1B. (Eamen de la PAEG en UCLM de junio de 014) 1B. (Eamen de la PAEG en UCLM de junio de 01) a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función y = +. f() = a + b + 1 tenga como asíntota oblicua la recta b) Para los valores encontrados, escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa = 0. 1B. (Eamen de la PAEG en UCLM de septiembre de 01) a + b Dada la función f() =, calcula los parámetros + 6 a, b R sabiendo que: f() tienen una asíntota oblicua de pendiente. f() tienen un mínimo relativo en el punto de abscisa = 0. 1A. (Eamen de la PAEG en UCLM de junio de 01) Dada la función parámetros a, b, c R sabiendo que: f() = + a + b + c, calcula los la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa = 1 tiene pendiente. f() tiene un punto de infleión de coordenadas ( 1, ). a) Calcula los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f() = 1 + e. b) Calcula las asíntotas de f(). 9 0