DERIVADAS LECCIÓN 22. Índice: Representación gráfica de funciones. Problemas. 1.- Representación gráfica de funciones

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1 DERIVADAS LECCIÓN Índice: Representación gráfica de funciones. Problemas.. Representación gráfica de funciones Antes de la representación de la gráfica de una función se realiza el siguiente estudio: º) Dominio. Para calcularlo se puede seguir el procedimiento eplicado en Pautas para el cálculo de dominios. Sin embargo, como nos vamos a reducir al estudio de funciones polinómicas y racionales, el cálculo del dominio es trivial. º) Paridad. Si el dominio no es simétrico respecto del origen de coordenadas, la función no es ni par ni impar. En caso contrario: a) Si f()=f(), f es par (simétrica respecto de OY). b) Si f()=f(), f es impar (simétrica respecto de O). c) En los demás casos no es ni par ni impar. 3º) Periodicidad. Si la función es periódica de periodo T, se reduce el estudio al intervalo [0,T). 4º) Cortes con los ejes. a) Corte con OX: se resuelve el sistema y=0, y=f(). b) Corte con OY: se resuelve el sistema =0, y=f(). º) Signo de la función. Su estudio nos permite hallar las regiones de eistencia de la función. 6º) Asíntotas y ramas parabólicas. Se sigue el procedimiento eplicado en Pautas para el cálculo de asíntotas y ramas. 7º) Continuidad. Discontinuidades. a) Se calcula f'. En los puntos donde f es derivable, la función es continua. b) En los puntos en los que la función no es derivable se estudia la continuidad y las discontinuidades siguiendo el procedimiento eplicado en Pautas para el estudio de la continuidad. Ver Resúmenes, en este mismo blog. Aunque las funciones polinómicas y racionales no son periódicas, no dejaremos por eso de mencionar este apartado, indicando que la función no es periódica.

2 8º) Signo de la derivada primera. Nos permite estudiar la monotonía y los etremos de la función mediante el criterio de la derivada primera y el criterio de la variación del signo de la derivada primera. 9º) Signo de la derivada segunda. Nos permite estudiar la curvatura y los puntos de infleión de la función mediante el criterio de la derivada segunda y el criterio de la variación del signo de la derivada segunda. 0º) Tabla de valores. Se recogen en una tabla los puntos que nos han ido apareciendo a lo largo del estudio: cortes con los ejes, etremos y puntos de infleión. Por ejemplo, estudiemos y representemos la gráfica de la función: y=f()= 3 3 = (3) º) Dominio: R. º) Paridad: como el dominio es simétrico respecto del origen de coordenadas, calculamos f(): f()=() 3 3() = 3 3 La función no es ni par ni impar. 3º) Periodicidad: la función no es periódica. 4º) Cortes con los ejes: =0 doble a) Con OX: y=0 (3)=0 =3. b) Con OY: =0 y=0. º) Signo de la función: 0 3 6º) Asíntotas y ramas parabólicas: a) No tiene asíntotas verticales. b) Rama parabólica en la dirección del eje OY en y en : lím f()= lím ± ± (3 3 ) = lím ± [3 (3/)]=± 7º) Continuidad. Discontinuidades: Tachamos las regiones en las que no está la gráfica de la función. D

3 La función f es continua en su dominio por ser derivable en él: f()= 3 3 f'()=3 6=3() 8º) Signo de la derivada primera: Má Mín O 9º) Signo de la derivada segunda: f'()=3 6 f"()=66=6() P.I. 0º) Tabla de valores: y Clasificación 0 0 Corte con OX y OY (máimo) 3 0 Corte con OX 4 Mínimo Punto de infleión GRÁFICA: Por ejemplo, estudiemos y representemos la gráfica de la función: º) Dominio: (,) (, ). 00 y=f()= () = 0() () º) Paridad: como el dominio no es simétrico respecto del origen de coordenadas, la función no es ni par ni impar. 3 D

4 3º) Periodicidad: la función no es periódica. 4º) Cortes con los ejes: a) Con OX: y=0 0()=0 =. b) Con OY: =0 y=0/4=. º) Signo de la función: 6º) Asíntotas y ramas parabólicas: a) La recta = es asíntota vertical: lím f()=lím 00 () = 0 0 = b) La recta y=0 es asíntota horizontal en y en : 00 lím f()= lím ± ± () = lím ± 0 () = 0 ± =0 Como la asíntota horizontal coincide con el eje de abscisas, la posición relativa con respecto a la gráfica de la función ya se conoce por el estudio del signo de la función. él: 7º) Continuidad. Discontinuidades: a) La función es continua en su dominio por ser derivable en 00 0() f()= () f'()= (00)() () 4 = () 3 = 0 () 3 b) La función presenta en = una discontinuidad con salto infinito (el estudio ya se ha hecho en el apartado anterior). 8º) Signo de la derivada primera: Mín 0 9º) Signo de la derivada segunda: 0 f'()= () 3 f"()= 0() 3 0 3() () () 6 = () 4 = () 4 P.I. Hemos señalado el punto de abscisa para recordarnos que no pertenece al dominio de la función. 4 D

5 0º) Tabla de valores: GRÁFICA: y Clasificación 0 Corte con OX 0 Corte con OY (mínimo) 40/9 P. de infleión Si piden la gráfica de f, es fácil obtenerla a partir de la de f. Por ejemplo, la gráfica del valor absoluto de la función anterior es la siguiente: Si pidieran el estudio de f, podríamos obtenerlo fácilmente de su gráfica y del estudio hecho de la función f.. Problemas ) Estudia y representa: a) y= 3 b) y= c) y= 3 3 d) y= 9 6 e) y= f) y= 4 4 g) y= 4 () h) y= i) y= j) y= 4 () 9 k) y= 3 l) y= 3 D

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