REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

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1 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta función sobre unos ejes coordenados dibujados en papel cuadriculado. (La solución está en el propio ejercicio). Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva, lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones: f () f f () + f (0) ; f'(0) 0 f ( 5) 0; f (,75) 0 f es derivable en todo Á, salvo en. 5

2 Describe, con la menor cantidad de datos y de forma similar a la de los apartados anteriores, la siguiente función: f f f () 3 f () 3 + f ( 9) 0; f (0) 0; f () 0 f'(0) 0 f () ; f'() 0 Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada por ti. Descríbela en papel aparte. Dale la descripción a tu compañera o compañero para que la represente. Representa tú la suya. Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferencias que observéis. Hay algún error en la representación? Hay, acaso, error en la descripción? Es todo correcto? Por ejemplo: f f f f () + f ( ) 0; f'( ) 0 f () 0; f'() 0 f (0)

3 UNIDAD Observa esta gráfica: Halla la ordenada para las siguientes abscisas: 0,, 3, 7,, 00, 3, 99 En qué puntos no está definida esta función? Qué tramo de la función te bastaría conocer para hacerte una idea eacta de cómo es la gráfica? Te sugiere esta curva algún tipo de simetría o periodicidad? f (0) 0; f () ; f (3) ; f ( 7) f () 0; f ( 00) 0; f (3) ; f ( 99) (En general, f (k) 0; f (k + ) f (k ) y no eiste f () en k +, con k é Z). La función no está definida en los puntos de la forma k +, con k é Z. Bastaría con conocer la función para é [0, ), si supiéramos que es par y que es periódica de período. Simetría Es una función par (simétrica respecto al eje Y ). Periodicidad Es periódica de período. Página 6. Halla el dominio de estas funciones: a) y b) y 5 + c) y a) Dominio Á b) ± ± 9 Dominio Á {, } c) +? 0 para todo Dominio Á 5 ± 3 3

4 . Halla el dominio de: a) y b) y ln ( + ) c) y ln ( ) d) y a) Ó 0 Dominio 0] «[, b) + > 0 para todo Dominio Á c) > 0 Dominio ) U (, d) 0 0 Dominio Á {0} e Página 7 3. Halla las simetrías y las periodicidades; di dónde son continuas y dónde derivables: a) y 3 5 b) y 3 c) y d) y e) y sen + / (cos ) 3 a) f ( ) 3( ) 5( ) 3 5 f () Es una función par: simétrica respecto al eje Y. No es periódica. Es continua y derivable en Á. b) Dominio 0] «[, f ( ). No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. No es periódica. Es continua en su dominio. Es derivable en 0) «(, c) Dominio Á {, } f ( ) 3 f (). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. No es periódica. Es continua y derivable en su dominio. d) Dominio Á {0} f ( ) 3. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. No es periódica. Es continua y derivable en su dominio.

5 UNIDAD e) Dominio Á f ( ) cos ( ) + (cos ( )) sen + (cos ()) No es par ni impar. Es periódica de período π. Es continua y derivable en Á. Página. Halla las ramas infinitas de: a) y b) y 3 c) y ( ) d) y +7 e) y ln ( + ) f) y a) y f () Ramas parabólicas b) y Dominio Á {, } f () @ f () f () Ramas parabólicas f () f + f f () + Asíntotas verticales: ; 5

6 3 3 c) y ( ) + + Dominio Á {} f f y + es una asíntota oblicua. f () ( + ) > 0 f () ( + ) 6 + f () ( + ) < 0 si f () f () + es asíntota vertical d) y +7 f f () Ramas parabólicas e) y ln( + ) Dominio Á f f () ln( + @ + f () f () No hay asíntotas verticales. ln( + ) 0 + Ramas parabólicas 6

7 UNIDAD f) y > 0 para todo. Dominio Á f () 0 y 0 es asíntota f () f () No hay asíntotas verticales. Página 9 5. Halla los puntos singulares y los puntos de infleión de: a) y b) y ln ( + ) a) y Dominio Á f'() f'() 0 3( + 3) 0 ± 6 ± Signo de f'(): ± 3 f' > 0 f' < 0 f' > 0 3 Hay un máimo en (, 9) y un mínimo en (3, 5). f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en (, 7). b) y ln( + ). Dominio Á f'() + f'() f''() < 0 para < 0 f''() > 0 para > 0 Hay un mínimo en (0, 0). 7

8 f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 f'' < 0 Hay un punto de infleión en (, ln ) y otro en (, ln ). 6. Halla los puntos singulares de: a) y b) y 3 c) y d) y ( ) a) y Dominio Á f'() 5 60 f'() 0 5 ( ) 0 Signo de f'(): 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 Hay un máimo en (, 6), un mínimo en (, 6), y un punto de infleión en (0, 0). b) y. Dominio Á {, } f'() ( ) 3 3 ( ) ( ) f'() Signo de f'(): f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 ( ) 0 Hay un máimo en (0, 0).

9 UNIDAD 3 c) y. Dominio Á {} ( ) f'() 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 f'() 0 ( 6) 0 Signo de f'(): 3 6 ( ) f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' > Hay un punto de infleión en (0, 0) y un mínimo en ( 6, ). d) y. Dominio 0] «[, f'() f'() 0 0 è Dominio. No hay puntos singulares. 7 Página 9. Representa estas funciones: a) y + 7 b) y c) y 3 + a) y + 7 Simetrías: f ( ) + 7 f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Ramas infinitas: f () f Puntos singulares: f'() 3 6 f'() 0 ( ) 0 0 Puntos singulares: (0, 7); (, 9); (, 9) 9

10 Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 7 Punto: (0, 7) Con el eje X y ± 6 ± 36 ± 6 7 ± 7 ± Puntos: ( 7, 0); (, 0); (, 0); ( 7, 0) Puntos de infleión: f''() 6 f''() ± ± 3 3 Puntos ( 3 ) (, 7 y 3 7, ) 3 3 Gráfica: 7 9 b) y Simetrías: f ( ) No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: f f () Puntos singulares: f'() f'() 0 ( + 6) 0 0 ± + ± 5 3 Puntos: (0, 0); (, 6); ( 3, 9) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto: (0, 0) 0

11 UNIDAD Con el eje X y 0 (3 + 36) ± ± 6,6,9 Puntos: (0, 0); (,6; 0); (,9; 0) Puntos de infleión: f''() f''() 0 (3 + 6) 0 ± + 7 ± ,,79 Puntos: (,; 3,) y (,79; 07,) Gráfica: c) y 3 + Simetrías: f ( ) + 3. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: f () f Puntos singulares: f'() 3 + f'() 0 ( ) 0 ( )( + )( 3) 0 3 Puntos (, 7); (, 9); (3, 9)

12 Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto: (0, 0) Con el eje X y 0 ( 3 + ) ( )( 6) 0 Puntos: (0, 0); (, 0); (3,65; 0); (,65; 0) 3,65,65 Puntos de infleión: f''() f''() 0 (3 6 ) 0 6 ± ± 6 6,5 0,5 Puntos: (,5;,3) y ( 0,5;,7) Gráfica: 7 9. Representa las siguientes funciones: a) y b) y 3 3 c) y (/) a) y Simetrías: f ( ) No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: f () f

13 UNIDAD Puntos singulares: f'() 3 f'() 0 ( ) 0 0 Puntos: (0, 6); (, 7) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 6 Punto: (0, 6) Con el eje X y tiene una sola raíz, que está entre y ; pues, si g() , g( ) 6 < 0 y g( ) 3 > 0. Puntos (, 0) y (k, 0), con k entre y. Puntos de infleión: f''() 36 0 f''() 0 (3 ) 0 3 Puntos: (0, 6) y (, 3 7 ) Gráfica: 0 b) y 3 3 Simetrías: f ( ) f (). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: f () f Puntos singulares: f'() 3 3 f'() 0 3( ) 0 Puntos: (, ); (, ) 3

14 Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto: (0, 0) Con el eje X y ( 3) Puntos: (0, 0); ( 3, 0); ( 3, 0) Puntos de infleión: f''() 6 f''() Punto (0, 0) Gráfica: c) y Simetrías: f ( ) f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Ramas infinitas: f f () Puntos singulares: f'() 3 f'() 0 ( ) 0 Puntos: (0, 0); (, ); (, ) 0 Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto: (0, 0)

15 UNIDAD Con el eje X y 0 ( ) 0 0 Puntos: (0, 0); (, 0); (, 0) Puntos de infleión: f''() 3 f''() Puntos: ( 3 ) (, 0 ; 3 0, ) Gráfica: Página 93. Representa: 3 a) y b) y 3 a) y +. Dominio Á {, } Simetrías: f ( ) 3 f (). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. 5

16 Asíntotas verticales: f () f + Asíntota vertical en. f () f + Asíntota oblicua: Asíntota vertical en. 3 + y es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota: f () ( ) > 0 (curva por encima) f () ( ) < 0 si (curva por debajo) Puntos singulares: 3 f'() ( ) 3 ( ) ( ) ( ) + 3 ( ) f'() 0 ( + 3) 0 Puntos: (0, 0); ( ), 3 3 ( ; , ) Cortes con los ejes: Corta a los ejes en (0, 0). Gráfica:

17 UNIDAD b) y. Dominio Á {0} Simetrías: f ( ) + No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y, ni respecto al origen. Asíntotas verticales: f () 0 f 0 + Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua: y es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota: f () ( ) > 0 (curva por encima) f () ( ) < 0 si (curva por debajo) Puntos singulares: f'() + > 0 para todo del dominio. La función es creciente en todo su dominio. No tiene puntos singulares. Cortes con los ejes: Con el eje X y 0 0 Puntos: (, 0) y (, 0) No corta el eje Y, pues no está definida en 0. Gráfica: 7

18 . Representa: 9 a) y b) y a) y 9. Dominio Á {, } Simetrías: f ( ) 9 f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas verticales: f f () + f () f + Asíntota horizontal: 9 Asíntota vertical en. Asíntota vertical en. 5 y es asíntota horizontal. Posición de la curva respecto a la asíntota: f () < 0 (curva por debajo) f () < 0 si (curva por debajo) Puntos singulares: ( f'() ) ( 9) ( + 9) ( ) ( ) f'() Punto: ( ) 0, 9 Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto: ( ) 0, 9 0 ( ) Con el eje X y Puntos: ( 3, 0) y (3, 0). 3 3

19 UNIDAD Gráfica: b) y 3 +. Dominio Á + Simetrías: f ( ) 3 f (). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. + No tiene asíntotas verticales. Asíntota oblicua: y es asíntota oblicua. + Posición de la curva respecto a la asíntota: f () < 0 (curva por debajo) f () > 0 si (curva por encima) Puntos singulares: (3 f'() + )( + ) ( 3 + ) ( + ) ( + ) + + ( + ) f'() ± No tiene solución. No hay puntos singulares. Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto: (0, 0) Con el eje X y ( + ) 0 0 Punto: (0, 0) 9

20 Puntos de infleión: ( f''() + )( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + + ) 6 ( + ) 3 ( + ) 3 ( 3) ( + ) 3 0 f''() 0 3 Puntos: (0, 0); ( ) (, 5 3 ; , ) Gráfica: 3 Página 95. Representa: a) y e b) y c) y ln ( + ) a) y e Dominio: Á Simetría: f( ) e f(). Es una función par: es simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() f() e y 0 es asíntota horizontal. Además, como e > 0 para todo, la curva se sitúa por encima de la asíntota. Puntos singulares: f'() e f'() Punto (0, e) Puntos de infleión: f''() e + ( ) ( )e ( + )e 0

21 UNIDAD f'() 0 ± 0,7 f e /,65 Puntos de infleión: ( 0,7;,65), (0,7;,65) Gráfica: ( ) e b) y Dominio: D Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: f() f() Asíntota vertical: 0. f() 0. Además, f() > 0 para todo del y 0 es una asíntota horizontal f() f() Rama parabólica. Puntos singulares: e e e ( ) f'() f'() 0 Punto, Gráfica: ( e ) e ( ) 3

22 c) y ln ( + ) Dominio: Como + > 0 para todo, D Á. Simetrías: f( ) ln ( + ) f(). Es par: simétrica respecto al eje Y. No tiene asíntotas verticales. Ramas infinitas: f() f() ln ( + ) + 0 Por tanto, no tiene asíntotas de ningún tipo. Tiene ramas parabólicas. Puntos singulares: f'() + f'() Punto (0, ln ) Puntos de infleión: ( + ) + f''() ( + ) ( + ) ( + ) f''() 0 0 Puntos: (, ln ) y (, ln ) Gráfica:. Representa: a) y ln ( ) b) y 3 sen + cos a) y ln ( ) Dominio: > 0 Dominio ) «(,

23 UNIDAD Simetrías: f ( ) ln ( ) f (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas verticales: f f + y son asíntotas verticales. f () f f () ln ( ) 0 Tiene ramas parabólicas. Puntos singulares: f'() f'() No tiene puntos singulares, pues la función no está definida en 0. Puntos de infleión: f''() ( ) ( ) ( ) No tiene puntos de infleión. ( ) Puntos de corte con los ejes: Con el eje X y 0 ln ( ) 0 No corta al eje Y, pues no eiste f (0). Gráfica: Puntos: (, 0) y (, 0) 3

24 b) y 3 sen + cos Está definida, y es continua y derivable en todo Á. Es periódica de período π solo la estudiamos en [0, π]. No eiste f() no tiene asíntotas ni ramas parabólicas. Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 f(0) Punto (0, ) Con el eje X y 0 3 sen + cos 0 3 5π 3 tg + 0 tg o ( 5π π Puntos, 0 ;, ) ( ) π 6 Puntos singulares: f'() 3 cos sen f'() 0 3 cos sen 0 3 tg 0 tg 3 Puntos de infleión: π π Punto 3 ( ), 3 π π 3 3 Punto (, ) f''() 3 sen cos f() f''() 0 5 f() 0 Los puntos de infleión son los de corte con el eje X. Gráfica: 3 π 3π π π π π 3π π

25 UNIDAD Página 97. Representa: a) y b) y + c) y 5 a) Intervienen dos valores absolutos, + y 3, que cambian de signo en las abscisas y 3, respectivamente. Por tanto: <, + y 3 +3 y + 3 Ì < 3, + + y 3 +3 y Ó 3, + + y 3 3 y Representamos, pues, esta función: si < y si Ì < 3 + si Ó 3 Y y + y X y 3 5

26 b) El único valor absoluto que interviene es. La abscisa en donde cambia de signo es 0. Por tanto: < 0, y Y y + X Ó 0, y Y + 3 y + X Representamos, pues, esta función: + 3 si < y si Ó 0 + Y + 3 y + X 6

27 UNIDAD c) El único valor absoluto que interviene es 5. La abscisa donde cambia de signo 5 es 5. Por tanto, analizamos cómo queda la función a la izquierda y a la derecha de 5: < y ( + 5) + 5 Ó y ( 5) 5 y si < 5 5 si Ó 5 Y X y 5 y + 5 7

28 Página 0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Descripción de una gráfica Representa una función continua y derivable en Á tal que: f () f f'() f (), f'() Ó 0 para cualquier. De una función y f () tenemos esta información: D Á {, }; f () f f f () f () (si, f () > 0; f () < 0) f'() 0, f () ; f'( ) 0, f ( ) Represéntala.

29 UNIDAD s3 Dibuja la gráfica de una función de la que se conocen las siguientes f f () f'() 0 si, 0, 3, f ( ) ; f (0) 0; f (3) 5; f () 5 3 s Describe las siguientes funciones indicando sus asíntotas y ramas infinitas, sus puntos singulares y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a) b) c) d) y a) Asíntotal horizontal: y. Asíntota vertical: 0 f () ; f f() < ; si, f () < ) f 0 f 0 + f () no tiene puntos singulares. Decrece en 0) y crece en (0, 9

30 b) Asíntotal horizontal: y. Asíntota vertical: f () ; f f() > ; si, f () > ) f () f + Puntos singulares: f'(0) 0; f (0). Máimo en (0, ) Creciente en ) «(, 0) y decreciente en (0, c) Asíntota horizontal si : y 0 f () f () (si, f() > 0) Puntos singulares: f'(0) 0; f (0) 0. Mínimo en (0, 0) f'() 0; f (). Máimo en (, ) Decreciente en 0) «(, y creciente en (0, ). d) Asíntota vertical: f () f + Asíntota oblicua: y f () > ; si, f () < ) No tiene puntos singulares. Creciente en ) «(, Funciones polinómicas 5 Estudia las ramas infinitas y los puntos singulares de las siguientes funciones, y represéntalas: a) y b)y c) y ( + ) +3 d)y + 9 e) y 3 9 f) y 3 6 a) y Ramas infinitas: ( (

31 UNIDAD Puntos singulares: 3 y' + 3; y' , y 3 9 y'' < 0. Máimo: (, ) Representación: b) y Ramas f() 3 3 Puntos singulares: 6 y' ; y' 0 6 0, y 3 3 y'' > 0. Mínimo: (, 3) Representación: 3 3

32 c) y ( + ) +3 Ramas infinitas: ( + ) + 3 ( + ) + 3 Puntos singulares: y' ( + ); y' 0 ( + ) 0, y 3 y'' > 0. Mínimo: (, 3) Representación: d) y + 9 Ramas infinitas: f() ( + ( + Puntos singulares: y' + ; y' , y 9 y'' < 0. Máimo: (3, 9) Representación: 3 3 3

33 UNIDAD e) y 3 9 Ramas f() Puntos singulares: ( 3 9) ( 3 y' 3 9; y' , y 6 3 3, y 6 3 y'' 6 y''( 3) 6 3 > 0. Mínimo: ( 3, 6 3) y''( 3) 6 3 < 0. Máimo: ( 3, 6 3) Representación: 0 0 f) y 3 6 Ramas f() ( 3 6 ( 3 6 ) 33

34 Puntos singulares: y' 3 ; y' ( ) 0 0, y 0, y 3 y'' 6 Representación: y''(0) < 0. Máimo: (0, 0) y''( ) > 0. Mínimo: (, 3) Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y c)y d) y 6 e) y f) y ( ) 3 3 a) y Ramas infinitas: Puntos singulares: f'() 3 + 6; (3 + 6) 0 0, f(0) 0 (0, 0) es un mínimo., f( ) + 3 (, ) es un máimo. 3

35 UNIDAD Representación: b) y Ramas infinitas: f() Puntos singulares: f () 3 6; (3 6) 0 Representación: 0, f(0) 5 (0, 5) es un máimo., f() (, ) es un mínimo. 9 c) y + 0 Ramas infinitas: f() Puntos singulares: 3 9 f'() 3 9; ( 9) 0 0, f(0) 0 Máimo en (0, 0). 3, f( 3) / Mínimo en ( 3, /). 3, f(3) / Mínimo en (3, /). 35

36 Representación: d) y 6 Ramas f() Puntos singulares: f'() (0 3 5 ); (0 3 5 ) (0 5) 0 Representación: 0, f(0) 0 Mínimo en (0, 0)., f() Máimo en (, ). e) y Ramas infinitas: Puntos singulares: f'() 5 5 ; ( 3) 0 0 f(0) 0 3 f( 3) f( 3)

37 UNIDAD Tiene un máimo en ( 3, 6 3 ), un mínimo en ( 3, 6 3 ) y un punto de infleión en (0, 0). Representación: 0 f) y ( ) 3 3 Ramas infinitas: f() Puntos singulares: f'() 3( ) 3; 3( ) 3 0 ( ) 0, f(0) Máimo en (0, ), f() 5 Mínimo en (, 5) 5 7 Estudia las ramas infinitas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máimos, mínimos y puntos de infleión de las siguientes funciones. Represéntalas gráficamente: a) y 3 + ( ) 3 b) y ( 3) c) y ( +) 6 5 d) y 3 ( ) 3 a) y 3 + ( ) 3 Ramas infinitas 37

38 Puntos singulares: f'() 3( ) ; 3( ) 0 ; f() 3 Signo de f': f' < 0 f' < 0 f es decreciente en Á. No tiene máimos ni mínimos. Puntos de infleión: f''() 6( ); 6( ) 0 ; f() 3 Signo de f'': f'' > 0 f'' < 0 El punto (, 3) es un punto de infleión con tangente horizontal (f''() 0 y f'() 0). Gráfica: Y 3 X b) y ( 3) Ramas infinitas f() Puntos singulares: f'() ( 3) 3 ; ( 3) 3 0 3; f(3) Signo de f': f' > 0 f' < 0 3 f es creciente en 3) y decreciente en (3, Tiene un máimo en (3, ). 3

39 UNIDAD Puntos de infleión: f''() ( 3) ; ( 3) 0 3; f(3) Signo de f'': f'' < 0 f'' < 0 3 No tiene puntos de infleión. Gráfica: Y 3 X c) y ( +) 6 5 Ramas infinitas f() Puntos singulares: f'() 6( +) 5 ; 6( +) 5 0 ; f( ) 5 Signo de f': f' < 0 f' > 0 Decreciente en ). Creciente en (, Mínimo en (, 5). Puntos de infleión: f''() 30( + ) ; 30( +) 0 ; f( ) 5 Signo de f'': f'' > 0 f'' > 0 No tiene puntos de infleión. 39

40 Gráfica: Y X 5 d) y 3 ( ) 3 Ramas infinitas Puntos singulares: f'() 3( ) ; 3( ) 0 ; f() 3 Signo de f': f' > 0 f' > 0 f es creciente en Á. No tiene máimos ni mínimos. Puntos de infleión: f''() 6( ); 6( ) 0 ; f() 3 Signo de f'': f'' < 0 f'' > 0 (, 3) es un punto de infleión con tangente horizontal, puesto que f'() 0. Gráfica: Y 3 X 0

41 UNIDAD Funciones racionales En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de la curva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos: a) y b) y c) y + + d) y e) y f ) y a) y Dominio: Á {, } Asíntotas: f () 0; f () y 0 es asíntota horizontal. f () > 0; si, f () > 0) f () es asíntota vertical. f + f f () + Gráfica: es asíntota vertical. b) y + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas f () 0; f () 0 f () < 0; si, f () < 0)

42 Gráfica: c) y Dominio: Á {, } Asíntotas: f () 0; f () f () < 0; si, f () > 0) y 0 es asíntota horizontal. f f () es asíntota vertical. + f f () + Gráfica: es asíntota vertical. d) y Dominio: Á {0} Asíntotas: f () 0 f es asíntota vertical.

43 UNIDAD y es asíntota oblicua. f () > ; si, f () < ) Gráfica: e) y + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () 0; f () f () < 0; si, f () > 0) Gráfica: f) y Dominio: ± No tiene solución. D Á f () ; f () f () > ; si, f () < ) y es asíntota horizontal. 3

44 Gráfica: 3 9 Representa estas funciones estudiando previamente su dominio, asíntotas, posición y etremos relativos: 3 + a) y + b) y c) y d) y ( + ) a) y + Dominio: Á {0} Asíntotas: f 0 f () 0 + y es asíntota oblicua. 0 es asíntota vertical. f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() f'() 0 0 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f () es creciente en ) «(, es decreciente en (, 0) «(0, ). tiene un máimo en (, ). tiene un mínimo en (, ).

45 UNIDAD Gráfica: b) y ( + ) Dominio: Á { } Asíntotas: f () 0; f () f () < 0; si, f () > 0) y 0 es asíntota horizontal. f f + es asíntota vertical. Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) 3 f'() Signo de f'(): f' < 0 f' > 0 f' < 0 f () es decreciente en ) «(, es creciente en (, ). tiene un máimo en ( ),. 5

46 Gráfica: 3 c) y + Dominio: Á {, } Asíntotas: f f () + f f () + y es asíntota oblicua. es asíntota vertical. es asíntota vertical. f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() 3 ( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 Signo de f'(): 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f () es creciente en ) «(, es decreciente en (, ) «(, ) «(, ). tiene un máimo en (, 3 3). tiene un mínimo en (, 3 3). 6

47 UNIDAD Gráfica: d) y + + Dominio: Á {} Asíntotas: f f () + es asíntota vertical. y es asíntota oblicua. f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 Signo de f'(): 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f () es creciente en 0) «(, es decreciente en (0, ) «(, ). tiene un máimo en (0, ). tiene un mínimo en (, ). 7

48 Gráfica: Página 05 Funciones a trozos 0 Representa esta función: + si < 0 f() + si Ó 0 Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus etremos relativos. Tiene algún punto de infleión? + si < 0 f() + si Ó 0 Si < 0, es una parábola abierta hacia abajo: Vértice: f'() ; 0, f( ) 3 Cortes con el eje X: ,73 (no vale por ser 0,73 > 0),73 Si Ó 0, es una parábola abierta hacia arriba: ± + Vértice: f'() ; 0, f() Cortes con el eje X: ± + 0 No corta al eje X. Corte con el eje Y: (0, ) Crecimiento y decrecimiento: si < 0 f'() si > 0 f'(0 ) f'(0 + ) Es derivable en 0. No tiene solución.

49 UNIDAD Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 Crece en ) «(, Decrece en (, ). Tiene un máimo en (, 3) y un mínimo en (, ). Puntos de infleión: si < 0 f''() si > 0 f''(0 )? f''(0 + ). No eiste f''(0). Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 La función es convea en 0) y cóncava en (0, En (0, ) tiene un punto de infleión. Representación: Representa las siguientes funciones. Indica, en cada caso, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos, si los hay: si Ì si < a) f() b) f() si > si Ó si Ì e + si < c) f() d) f() si > si Ó a) f() si Ì si > 9

50 f es continua si? porque son continuas las funciones que la definen. No es continua en, porque f()? f() 3. + f'() si < si > No es derivable en, porque no es continua. f'() 0 0, 0 0 Signo de f': f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 Crece en 0) «(, y decrece en (0, ). Máimo: (0, 0) Representación: 3 si < b) si Ó f es continua si? porque son continuas las funciones que la definen. En : f() ( ) 0 f() f() 0 f es continua en. si < f'() si > f'() Signo de f': No es derivable en, porque no eiste f'( + ). f' < 0 f' > 0 f' >

51 UNIDAD Crece en (0, y decrece en 0). Mínimo: (0, ) Representación: si Ì c) f() si > f es continua si?, porque lo son las funciones que la definen. En : f() f() + + f() f es continua en. ln si < f'() si > No es derivable en, porque f'( )? f'( + ). No hay puntos en los que f'() 0. Signo de f': f' > 0 f' < 0 Crece en ) y decrece en (, Máimo: (, ) (no es derivable en ese punto). Representación: 5

52 e + si < d) f() si Ó f es continua en?, porque lo son las funciones que la definen. En : f() e + Como f ()? f (), f() ( ) f no es continua en 0. f() 0 f'() e + si < si > No eiste f'(), porque f es discontinua en. No eisten puntos en los que f'() 0. Signo de f': f' < 0 f' > 0 Decrece en ) y crece en (, Representación: 3 Representa la siguiente función: si < 0 f() ( ) si Ó 0 Estudia sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, sus etremos relativos y su curvatura. f() si < 0 ( ) si Ó 0 Continuidad: Si? 0, f es continua por estar definida por polinomios. 5

53 UNIDAD Si 0: ( ) 0 + f(0) (0 ) Como 0 f () f(0), f es continua en 0. Crecimiento y decrecimiento: f'() 3 3 si < 0 ( ) si > 0 f'(0 ) 3 f'(0 + ) Como f'(0 )? f'(0 + ), f no es derivable en 0. Puntos singulares: f'() ( ) 0 ; f() 0 Signo de f': f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 Crece en ) «(, Decrece en (, ). Máimo en (, 3). Mínimo en (, 0). Curvatura: f''() 6 si < 0 si > 0 f''(0 ) 0 f''(0 + ) f''(0 )? f''(0 + ). Por tanto, no eiste f''(0). Signo de f'': f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, ). Y 3 X 53

54 3 Define por intervalos y representa las siguientes funciones: a) y ( ) b) y c) y + d) y e) y f) y a) y ( ) + si < 0 si Ó 0 La gráfica de la función está formada por dos ramas de parábola: b) y + si < si Ó La gráfica de la función está formada por dos ramas de parábola: si Ì c) y + + si < < si Ó si < 0 d) y + si 0 Ì Ì si > si < 0 e) y si > 0 si < f) y si > 5

55 UNIDAD En las funciones del ejercicio anterior, determina los máimos y los mínimos de los apartados a), b), c) y d) y las asíntotas en e) y f). Máimos y mínimos a) y ( ) + si < 0 y' si Ó 0 No es derivable en 0. + si < 0 si > 0 y' (no vale, porque < 0) 0, f() Signo de y': y' > 0 y' < 0 y' > 0 0 Máimo: (0, 0) Mínimo: (, ) b) y + si < y' si Ó No es derivable en. + si < si > y' /, f(/) / 0 / (no vale, > ) Signo de y': y' > 0 y' < 0 y' > 0 Máimo: (, ) Mínimo: (, 0) si < si < c) y + + si Ì Ì y' si < < si > si > No es derivable en, ni en. y' Signo de y': y' < 0 y' > 0 y' < 0 y' > 0 0 Máimo: (0, ) Mínimos: (, 0) y (, 0) si < 0 si < 0 d) y + si 0 Ì Ì y' + si 0 < < si > si > 55

56 No es derivable en 0, ni en. 0 (no vale, < 0) y' f() 0 (no vale, > ) Signo de y': y' < 0 y' > 0 y' < 0 y' > 0 0 Máimo: (,) Mínimos: (0, 0) y (, 0) Asíntotas si < 0 e) y si > 0 Asíntota vertical: 0, porque 0 Asíntota horizontal: y 0, ya que 0 con y > 0. Posición: si < f) y si > Asíntota vertical:, porque Asíntota horizontal: y 0, porque 0 con y > 0. Posición: 56

57 UNIDAD PARA RESOLVER 5 Representa las siguientes funciones, estudiando: Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas. Crecimiento y etremos relativos. ( )( 3) a) y b) y c) y ( ) ( ) + d) y e) y f) y 9 ( 3) 3 3 g) y h) y i) y + + j) y ( ) a) y ( ) Dominio: Á {} Asíntotas: f () 0; f () f () < 0; si, f () > 0) y 0 es asíntota horizontal. f f es asíntota vertical. + Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 f'() Signo de f'(): f' < 0 f' > 0 f' < 0 f () es decreciente en ) «(, es creciente en (, ). tiene un máimo en (, ). 57

58 Gráfica: b) y ( ) Dominio: Á {} Asíntotas: f () 0; f () f () < 0; si, f () > 0) y 0 es asíntota horizontal. f () f () es asíntota vertical. + Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) 3 f'() 0 0 ( ) 3 Signo de f'(): f' < 0 f' > 0 f' < 0 f () es decreciente en ) «(, es creciente en (, ). Gráfica: tiene un mínimo en (, ). 0, 0, 5

59 UNIDAD ( )( 3) c) y + 3 Dominio: Á {} Asíntotas: f () f es asíntota vertical. + y es asíntota oblicua. f () > ; si, f () < ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() + ( ) f'() 0 ( ) + 0 No tiene solución. f () no tiene etremos relativos. f'() > 0 para todo f () es creciente en todo su dominio. Gráfica: d) y 9 Dominio: Á { 3, 3} Asíntotas: f (), f f () < ; si, f () < ) y es asíntota horizontal. f 3 3 es asíntota vertical. f () 3 + f () 3 f es asíntota vertical. 59

60 Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() (9 ) ( ) (9 ) (9 ) (9 ) f'() Signo de f'(): f' < 0 f' < 0 f' > 0 f' > f () es decreciente en 3) «( 3, 0). es creciente en (0, 3) «(3, tiene un mínimo en (0, 0). Gráfica: e) y + + Dominio: Á {0} Asíntotas: f f () 0 es asíntota vertical. y es asíntota oblicua. f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() f'() 0 0 Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' >

61 UNIDAD f () es creciente en ) «(, es decreciente en (, 0) «(0, ). tiene un máimo en (, ). tiene un mínimo en (, ). Gráfica: f) y ( 3) Dominio: Á {3} Asíntotas: f () ; f f () < ; si, f () > ) y es asíntota horizontal. f () 3 f () 3 es asíntota vertical. 3 + Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 3 ( 3) 3 f'() Signo de f'(): f' < 0 f' > 0 f' < f () es decreciente en 0) «(3, es creciente en (0, 3). tiene un mínimo en (0, 0). 6

62 Gráfica: 3 g) y 3 + Dominio: Á Asíntotas: + No tiene asíntotas verticales. y es asíntota oblicua. f () > ; si, f () < ). Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() 6 ( + ) ( + ) ( + ) + 6 ( + ) f'() 0 ( + 3) 0 0 Signo de f'(): f'() > 0 para todo? 0. f () es creciente en todo Á. Gráfica: h) y Dominio: Á {, } 6

63 UNIDAD Asíntotas: f () f + f f () + es asíntota vertical. es asíntota vertical. f f f () f Ramas parabólicas Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) f'() 0 3 ( ) 0 Signo de f'(): 0 f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f () es decreciente en ) «(0, ) «(, ). es creciente en (, ) «(, 0) «(, tiene un mínimo en (, 6) y otro en (, 6). tiene un máimo en (0, 0). Gráfica:

64 i) y 3 + Dominio: Á { } Asíntotas: f () f + es asíntota vertical. f f f () f Ramas parabólicas Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() 3 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f'() 0 ( + 3) Signo de f'(): f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' > f () es decreciente en 3). es creciente en ( 3, ) «(, tiene un mínimo en ( 3, 7). tiene un punto de infleión en (0, 0). Gráfica:

65 UNIDAD ( ) j) y 3 + Dominio: Á {} Asíntotas: f es asíntota vertical. f () + y 3 es asíntota oblicua. f () < 3; si, f () > 3). Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 Signo de f'(): 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f () es creciente en 0) «(, es decreciente en (0, ) «(, ). tiene un máimo en (0, ). tiene un mínimo en (, 0). Gráfica: s6 a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para > 0 por: + f () b) Halla las regiones de crecimiento y de decrecimiento de f indicando sus máimos y mínimos locales y globales, si los hay. c) Esboza la gráfica de f. 65

66 a) f () 0 es asíntota vertical. 0 + f () + y es asíntota oblicua. (Si, f () > ). b) f'() f'() 0 0 (no vale) ( no vale, pues f () está definida solamente para > 0). Signo de f'(): f' < 0 f' > 0 0 f () es decreciente en (0, ). es creciente en (, tiene un mínimo (local y global) en (, ). no tiene un máimo. c) 7 En las siguientes funciones se pide: Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto a ellas. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento y etremos. Representación gráfica. 3 a) y b) y 3 c) y d) y + a) y 3 Dominio: 3 0, 3. Dom Á {, 3} 66

67 UNIDAD Asíntotas verticales:. Posición Posición Asíntota horizontal: y 0, porque 0. 3 Posición Si, y > 0 y > 0 3 Intervalos de crecimiento, de decrecimiento y etremos: + y' 0 + 0, f() ( 3) Signo de y': y' > 0 y' > 0 y' < 0 y' < 0 3 Máimo:, ( ) Intervalos de crecimiento: ) «(, ) Intervalos de decrecimiento: (, 3) «(3, Y 3 X 67

68 3 b) y Dominio: Á {0} Asíntotas verticales: 0. Posición Asíntota horizontal: Posición 3, y. Si, y > y < Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: (3 ) 3 y' Signo de y': Es negativa en todo su dominio. La función es decreciente en su dominio. No tiene máimos ni mínimos. Y X c) y Dominio: Á {0} Asíntota vertical: 0 0. Posición ( 0 + Asíntota horizontal no tiene, porque ( ) ( ) 6

69 UNIDAD Tampoco tiene asíntota oblicua, porque: f() ( ) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento: 3 + y' + ; y' , f( ) 3 Signo de y': y' < 0 y' > 0 y' > 0 0 Mínimo: (, 3) Intervalos de crecimiento: (, 0) «(0, Intervalos de decrecimiento: ) Y X d) y + Dominio: Á { } Asíntotas verticales: Posición Asíntota horizontal no tiene, porque Asíntota oblicua: y

70 La recta y es una asíntota oblicua. Posición Si, y > y < Y X Crecimiento y decrecimiento: ( + ) + y' ( +) ( +) y' ; y 0 ; y Signo de y': y' > 0 y' < 0 y' < 0 y' > 0 0 Crece en ) «(0, Decrece en (, ) «(, 0). Máimo: (, ) Mínimo: (0, 0) Y X Estudia y representa las funciones siguientes: e a) y b) y c) y + d)y + ( ) a) y + Dominio: Á No tiene asíntotas verticales. 70

71 UNIDAD Asíntota horizontal: y 0 0 (con f() > 0 si + Crecimiento: y' ; y' 0 0 0, y + + Signo de la derivada: y' > 0 y' < 0 0 Crece en 0) y decrece en (0, Máimo: (0, ) Representación: e b) y + 3 Dominio: Á No tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: e f() rama parabólica. + e y 0 asíntota horizontal (con f() > 0 Crecimiento: e ( + 3) + e e ( + +3) y' ( + 3) ( + 3) y' 0 ± No tiene solución. No hay puntos singulares. La función es creciente en su dominio. No tiene máimos ni mínimos. Representación: 3 7

72 c) y + ( ) Dominio: Á {} ( ) y ( ) ( ) Asíntota vertical: No tiene asíntota horizontal: ( ( + ( ) ( ) ( ) ) ) Asíntota oblicua: y Si f() > Posición f() > Crecimiento: Puntos singulares: y' ; y' 0 0 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 3, f(3) Signo de f': f' > 0 f' < 0 f' > 0 3 Crece en ) «(3, y decrece en (, 3). Mínimo: (3, ) Representación: 3 7

73 UNIDAD d) y + Dominio: Á No tiene asíntotas verticales, ni horizontales. Asíntotas oblicuas: f() + m n ( + ) y es asíntota oblicua hacia + ( ) + n ( + + ) ( + ) ( + )( + + ) y es asíntota oblicua Puntos singulares: y' ; y' 0 0, f(0) + + Signo de la derivada: y' < 0 y' > 0 0 Crece en (0, y decrece en 0). Mínimo: (0, ). Representación: 73

74 Página 06 9 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y 3 3 c) y d) y a) y Dominio: [, ] Asíntotas: no tiene. Puntos singulares: f'() f'() 0 0 Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 0 f() es creciente en el intervalo (, 0) y decreciente en el intervalo (0, ). Tiene un máimo en (0, ). Corta el eje X en (, 0) y en (, 0). Gráfica: b) y Dominio: 0] «[, Asíntotas: No tiene asíntotas f () + 7

75 [f() + ] [ ] [ + ][ + + ] y + es asíntota oblicua ( f () < + ). f() + ( + + ) f () [f() ] [ ] [ ][ + ] ( + ) + + y es asíntota oblicua cuando ( f () < ). Puntos singulares: f'() f'() 0 0 No tiene puntos singulares (en no está definida f ()). Signo de f'(): f' < 0 no eiste f' > 0 0 f () es decreciente en 0]. es creciente en [, Pasa por (0, 0) y (, 0). 75

76 Gráfica: c) y 3 /3 Dominio: Á Simetría: f( ) 3 f(). Es par: simétrica respecto al eje Y. No tiene asíntotas. Ramas infinitas: f() f() Ramas parabólicas. 0 Puntos singulares: f'() / No eiste f'(0) f() no es derivable en 0. f() es decreciente en 0) y creciente en (0, Pasa por (0, 0). Gráfica: d) y 3 Dominio: Á 76

77 UNIDAD Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() f() Puntos singulares: f'() f() no es derivable en ni en. 3 3 ( ) f'() Signo de f'(): f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 Ramas parabólicas. 0 f() es creciente en 0), es decreciente en (0, tiene un máimo en (0, ). Corta al eje X en (, 0) y en (, 0). Gráfica: 3 0 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) y + + b) y 3 c) y + 3 d) y a) y + + Como + 0 ï, estudiamos f a la izquierda y a la derecha de para definirla por intervalos. 77

78 + si < f() + si Ó Y X b) y 3 Estudiamos la función para valores menores y mayores que Restamos: ( + 3) 3 3 ( 3) +3 f() 3 3 si < si Ó 3 Y 6 3 X c) y + 3 Como 0 en 0 y 3 0 en 3, estudiamos f a la izquierda y a la derecha de esos puntos si < 0 f() 3 si 0 Ì Ì 3 3 si > 3 Sumamos: +( + 3) +3 +( + 3) 3 + ( 3) 3 7

79 UNIDAD Y 5 3 X d) y Estudiamos f a la derecha y a la izquierda de. + Multiplicamos: ( + ) + ( ) f() + si < si Ó y + es una parábola abierta hacia abajo: Vértice: + 0, f ( ) Cortes con OX: + 0 ( + ) 0 ò 0, y es una parábola abierta hacia arriba: Vértice: 0 (no vale, ya que debe ser Ó ) Cortes con OX: 0 ( ) 0 0 (no vale) Y y + X Y y Y y X X Representa gráficamente: a) y b) y + 79

80 a) y si < 0 Definimos la función por intervalos: f() si Ó 0 Si < 0, y : + Dominio: Á { } Asíntota vertical: f() Si <, f() Si >, es una asíntota vertical. Asíntota horizontal: 0 y 0 es asíntota horizontal ( f() > 0). Y X Si Ó 0, y : Dominio: Á {} Asíntota vertical: f() Si <, Si >, f() Asíntota horizontal: 0 y 0 es asíntota horizontal hacia ( f() > 0). 0

81 UNIDAD Y X La gráfica de y es: Y X b) y + Definimos la función por intervalos: si < 0 f() + si Ó 0 + Si < 0, y : + Dominio: Á No tiene asíntotas verticales. Asíntotas + 0 y 0 es asíntota horizontal ( y > 0). Puntos singulares: ( + ) + + f'() ( + ) ( + ) ( + )

82 f'() 0 ò 0 ( + ) (no vale, > 0), f( ) Signo de f': f' > 0 f' < 0 0 Máimo en (, ). Y X Si Ó 0, y : + Dominio: Á No tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: + 0 y 0 es asíntota horizontal hacia ( y > 0). Puntos singulares: ( + ) f'() ( + ) f'() 0 ò ( + ) (no vale, < 0), f() Signo de f': f' > 0 f' < 0 0 Máimo en (, ).

83 UNIDAD Y X La gráfica de y + es: Y X s Considera la función f () 3 : a) Halla los puntos donde f no es derivable. b) Calcula sus máimos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. ( + 3) si < 3 a) f () ( 3) si si < si Ó 3 Si? 3, tenemos que f () es derivable. Su derivada es: si < 3 f'() 3 6 si > 3 Por tanto: f'(3 ) 9 f' (3 + ) 9 f'(3 )? f'(3 + ) f () no es derivable en 3 (Punto (3, 0)). b) f'() si < 3 0 (0, 0) 3( + ) 0 (, ) si > 3 ninguno 3

84 Como f () Ó 0 para todo, tenemos que: f () tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (3, 0), y tiene un máimo en (, ). c) f () f Uniendo todo lo anterior, llegamos a la gráfica: s3 La recta y + 6 es una asíntota oblicua de la función f (). k Halla el valor de k y representa la función así obtenida. Hallamos k: Si y + 6 es asíntota oblicua, tenemos que: Por tanto: f() f() ; [ f () ] 6 + k k [ f () ] k k k + k 6 k k 3 También podríamos efectuar la división: + k + k +k k + k + k + k La asíntota oblicua es y +k. +k +6 k 6 k 3 [ ]

85 UNIDAD Por tanto, f () Dominio: Á {3} Asíntotas: f f () 3 es asíntota vertical. y + 6 es asíntota oblicua. f () < + 6; si, f () > + 6) Puntos singulares: ( 3) ( + ) f'() ( 3) ( 3) ( 3) f'() 0 0 ± + 6,0, f(6,0),3 0,0, f( 0,0) 0,33 Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0,0 3 6,0 f () es creciente en 0,0) «(6,0; es decreciente en ( 0,0; 3) «(3; 6,0). tiene un máimo en ( 0,0; 0,33). tiene un mínimo en (6,0;,3). Gráfica:

86 s Considera la función: si < 0 f() + + si Ó 0 En el intervalo 0], estudia la eistencia de puntos de corte con los ejes, si la función crece o decrece, la eistencia de puntos de infleión y si tiene asíntotas. Dibuja la gráfica en todo Á. si < 0 f() + + si Ó 0 Si é 0), y Si 0, y + Cortes con los ejes: 0, y (0, ) y 0 0 No tiene solución. No corta a Y. + Crecimiento y decrecimiento: y' ; 0 0 0, f(0) ( +) ( +) Signo de f'(): f' > La función es creciente. Puntos de infleión: 6 6 f''() ; 0 ( +) 3 ( +) (no vale) Signo de f''(): f'' () > 0 f'' () < Punto de infleión: (, ) ( 0,5; 0,75) 3 6

87 UNIDAD Representación: 5 Dada la función f () a + b +, calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (, 6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Para esos valores de a y b, representa la función. f () a + b + ; f'() a Pasa por (, 6), f( ) 6 a + b 6 Tangente horizontal f'( ) 0 a 0 Para estos valores, queda: f () + + Dominio: Á {0} Asíntotas: a + b a a b f f () 0 es asíntota vertical. f () + + y + es asíntota oblicua. f () < + ; si, f () > + ) Puntos singulares: f'() f'() 0 0, f( ) 6, f() 0 Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 7

88 f () es creciente en ) «(, es decreciente en (, 0) «(0, ). tiene un máimo en (, 6). tiene un mínimo en (, 0). Gráfica: 6 Representa las siguientes funciones: a) y b) y e c) y ln d) y ( )e e) y e f) y e 3 g) y h)y ln ( ) ln a) y e Dominio: Á (ya que e? 0 para todo ). Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() Rama f() 0 y 0 es asíntota horizontal cuando ( f () > 0). Puntos singulares: e e e ( ) f'() e e e f'() 0 0 ln Signo de f'(): f' > 0 f' < 0

89 UNIDAD f () es creciente en ). es decreciente en (, tiene un máimo en,. e Corta a los ejes en el punto (0, 0). Gráfica: ( ) b) y ln Dominio: (0, Asíntotas: 0 + f 0 es asíntota vertical. ln 0 y 0 es asíntota horizontal cuando ( f () > 0). Puntos singulares: (/) ln f'() f'() 0 ln e Signo de f'(): ln f' > 0 f' < 0 0 e f () es creciente en (0, e). es decreciente en (e, tiene un máimo en e,. e ( ) 9

90 Corta al eje X en (, 0). Gráfica: c) y ln Dominio: (0, Asíntotas: ln ln / No tiene asíntotas verticales. f() f() Rama parabólica Puntos singulares: f'() ln + ln + f'() 0 ln e Signo de f'(): e f' < 0 f' > 0 0 e f () es decreciente en 0,. e es creciente en, e tiene un mínimo en,. e e Corta al eje X en (, 0). ( ( ( ) ) ) 90

91 UNIDAD Gráfica: d) y ( )e Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() ( )e y 0 es asíntota horizontal ( f () < 0). f() f() Rama parabólica Puntos singulares: f'() e +( )e e ( + ) e f'() 0 0 Signo de f'(): e f' < 0 f' > 0 0 f () es decreciente en 0). es creciente en (0, tiene un mínimo en (0, ). Corta al eje X en (, 0). Gráfica: 9

92 e) y e Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() f() y 0 es asíntota horizontal ( f () > 0 para todo ). Puntos singulares: f'() e f'() Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 0 f () es creciente en 0). es decreciente en (0, tiene un mínimo en (0, ). Gráfica: f) y e Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() e f() () 0 y 0 es asíntota horizontal cuando ( f () > 0). e 9

93 UNIDAD Puntos singulares: y e e e e ( ) f'() e e e f'() 0 0 ( ) 0 Signo de f'(): 0 f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f () es decreciente en 0) «(, es creciente en (0, ). Gráfica: tiene un mínimo en (0, 0). tiene un máimo en,. ( e ) 3 g) y ln Dominio: ln 0. Además, ha de ser > 0. Dom (0, ) «(, Asíntotas: f() f() es asíntota vertical. f() f() Rama parabólica 93

94 Puntos singulares: 3 ln 3 (/) 3 ln f'() (ln ) (ln ) (3ln ) (ln ) f'() 0 (3ln ) 0 Signo de f'(): 0 (no vale) ln /3 e /3 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 e /3 f () es decreciente en (0, ) «(, e /3 ). es creciente en (e /3, tiene un mínimo en (e /3, 3e). Gráfica: 0 6 0,5,5 h) y ln( ) Dominio: ) «(, Asíntotas: es asíntota vertical. es asíntota vertical. f() f() f() f() 0 Puntos singulares: f'() f'() No hay puntos singulares ( 0 no pertenece al dominio). Ramas parabólicas 9

95 UNIDAD Puntos de corte con el eje X: ln( ) 0 Puntos: (, 0) y (, 0) Gráfica: Estudia los máimos, los mínimos y los puntos de infleión de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: e e a) y e + e b) y a) y e e senh. Esta función se denomina seno hiperbólico de. f'() e + e f'() 0 e + e 0 no tiene solución no hay máimos ni mínimos f'() > 0 para todo f () es creciente f''() e e f''() 0 e e 0 e 0 e 0 Signo de f''(): e 0 0 y 0 e f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0). 95

96 Gráfica: b) y e + e cosh. Esta función se denomina coseno hiperbólico de. f'() e e f'() 0 e e 0 0 y Signo de f'(): f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (0, ). f''() e + e f''() 0 No tiene solución. No hay puntos de infleión. Gráfica: Halla los valores de a, b y c para los cuales la función: a + b + c f () tiene como asíntota horizontal la recta y y un mínimo en (0, ). Si y es asíntota horizontal, debe ser: a + b + c f() a a 96

97 UNIDAD Para que tenga un mínimo en (0, ), debe ser f'(0) 0 y f(0) : (a + b)( ) (a + b + c) f'() ( ) b b f'(0) 0 0 b 0 6 a + b + c c f(0) c Por tanto: f() 9 Estudia el dominio de definición, las asíntotas y los etremos de cada una de las siguientes funciones y, con esa información, trata de encontrar su gráfica entre las siguientes: a) y b) y e c) y sen d) y sen 3 e) y + f) y sen π π π 3 π π 3π 5 6 π π 3π a) y sen Dominio: sen 0 D Á {πk}, k é Z 0 + πk; k é Z Asíntotas: πk, k é Z son asíntotas verticales. No hay más asíntotas. 97

98 Etremos: f'() cos sen π/ + πk f'() 0 cos 0 (k é Z) 3π/ + πk Signo de f'() en (0, π): f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 0 π π 3π π f () es periódica de período π. π f () es decreciente en ( 0, ) «(, π). π es creciente en (, π) «( π, ). π tiene un mínimo en (, ). tiene un máimo en 3π (, ). Gráfica 3π 3π b) y e Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() e y 0 es asíntota horizontal (f () < 0). f () f() Rama parabólica Etremos: f'() e + e e ( + ) f'() Signo de f'(): e e f' < 0 f' > 0 9

99 UNIDAD f () es decreciente en ). es creciente en (, tiene un mínimo en (, ). Gráfica 6 c) y sen Dominio: Á Asíntotas: No tiene. Etremos: f'() cos e f'() 0 cos 0 π + πk π + πk f () es periódica de período π. Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π 3π π f () es creciente en (0, π) «(3π, π). es decreciente en (π, 3π). tiene un máimo en (π, ). tiene un mínimo en (3π, ). Gráfica 5 d) y 3 Dominio: Á Asíntotas: No tiene. f @ 0 f () f() 0 Ramas parabólicas Etremos: f'() 3 3 f () no es derivable en 0. f'() > 0 para todo? 0. f () es creciente. Gráfica 99

100 e) y + Dominio: Á Simetría: f ( ) f () f () es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f() f () + [ f() ] [ ] ( + )( + + ) y es asíntota oblicua cuando ( f () > ). Por simetría: y es asíntota oblicua ( f () > ). Etremos: f'() + + f'() 0 0 Signo de f'(): + + f' < 0 f' > 0 0 f () es decreciente en 0). es creciente en (0, tiene un mínimo en (0, ). Gráfica 3 f) y sen Dominio: Á Asíntotas: No tiene. Etremos: f'() sen cos sen 00

101 UNIDAD f'() 0 sen πk π k, k é Z f () es periódica de período π. Signo de f'() en (0, π): 0 f' > 0 π f' < 0 π π f () es creciente en ( 0, ). π es decreciente en (, π). tiene un máimo en π (, ). tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (π, 0). Gráfica 30 Halla los puntos de corte con los ejes, los máimos, los mínimos y los puntos de infleión de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, π], y represéntalas: a) y cos b) y + sen c) y sen cos d) y sen + cos a) y cos Dominio: [0, π] (nos la definen en este intervalo). Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 cos 0 cos π 3 5π 3 ( π 5π Puntos, 0 y, ) ( ) Máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'() sen 0 f'() 0 sen 0 π π 0

102 Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 0 π π f() es creciente en el intervalo (0, π) y es decreciente en el intervalo (π, π). Tiene un máimo en (π, 3), un mínimo en (0, ) y otro mínimo en (π, ). Puntos de infleión: f''() cos f''() 0 cos 0 π 3π Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 π 3π Puntos de infleión:, y, Gráfica: 3 0 π 3π π ( ) ( ) π π 3π π b) y + sen Dominio: [0, π] (está solo definida en este intervalo). Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 + sen 0 sen 7π 6 π 6 7π π Puntos (, 0) y (, 6 6 0) 0

103 UNIDAD Máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'() cos π f'() 0 cos 0 3π Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π 3π π ( ( ) ) π 3π π 3π f() es creciente en 0, «, π y decreciente en,. π 3π Tiene un máimo en, 3, y un mínimo en,. Puntos de infleión: f''() sen 0 f''() 0 sen 0 π π Signo de f''(): ( ) ( ) ( ) f'' < 0 f'' > 0 0 π π Puntos de infleión en (0, ), (π, ) y en (π, ). Gráfica: 3 π π 3π π c) y sen cos Dominio: [0, π] (nos la definen en este intervalo). Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) 03

104 Con el eje X y 0 sen cos 0 π π 5π tg Puntos (, 0) y (, 0 5π ) Máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'() cos + sen 3π f'() 0 cos + sen 0 + tg 0 7π Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 3π 7π π ( ( ) ( ) ( ) 3π 7π 3π 7π f() es creciente en 0, «, π y decreciente en,. 3π 7π Tiene un máimo en,, y un mínimo en,. Puntos de infleión: f''() sen + cos (sen cos ) f() Los puntos de infleión son los puntos de corte con el eje X. Gráfica: ) ( ) π π 3π π d) y sen + cos para 0 Ì Ì π f'() cos sen f'() 0 cos sen tg π 5π 0

105 UNIDAD Signo de f'(): f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π 5π π π 5π Hay un máimo en,, y un mínimo en,. Puntos de infleión: f''() sen cos 3π f''() 0 sen cos tg 7π Signo de f''(): ( ) ( ) f' > 0 f' < 0 f' > 0 3π 7π Hay un punto de infleión en, 0 y otro en, 0. Gráfica: 0 3π 7π π ( ) ( ) 3π 7π π Página 07 CUESTIONES TEÓRICAS 3 Qué podemos decir del grado de una función polinómica que tiene dos máimos y dos mínimos relativos? En esa función, puede estar uno de los mínimos más alto que el máimo? Si tiene dos máimos y dos mínimos relativos, y es polinómica, su derivada tiene, al menos, cuatro raíces; es decir, f'() será, al menos, de grado. Por tanto, f () será, al menos, de grado 5. 05

106 Sí, podría haber un mínimo más alto que un máimo. Por ejemplo: El mínimo de máimo de 0. está más alto que el 0 3 Cuántos puntos de infleión puede tener como máimo una función polinómica de cuarto grado? Si f () es un polinomio de cuarto grado, f'() será un polinomio de tercer grado y f''() será un polinomio de segundo grado. Así, f''() tendrá, a lo sumo, dos raíces. Por tanto, f () tendrá, como máimo, dos puntos de infleión. 33 Comprueba que la función f () + tiene dos asíntotas horizontales distintas. f () Por f () f y es asíntota horizontal + y es asíntota horizontal cuando La función f () no está definida en ni en ; sin embargo, tiene solo una asíntota vertical. Justifica esta información. + f () + ( + )( ) f f () + si < 0 + si 0 + es asíntota vertical. f () En hay una discontinuidad evitable, no hay una asíntota. 06

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