III BLOQUE III ANÁLISIS. Página Estudia las asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos

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1 III BLOQUE III ANÁLISIS Página 9 Estudia las asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y etremos de la función y =, y represéntala gráficamente. Asíntotas: Vertical: = Posición: =+@ Oblicua: = + + y = es una asíntota oblicua. Posición: Si 8 +@ curva > asíntota Si curva < asíntota Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos: + y' = ; y' = 8 + = =, f = 8, =, f = 8, Signo de y': y' > y' < y' > Intervalo de «, +@ Intervalo de decrecimiento, Máimo,. Mínimo,

2 Representación: Y X Dadas las funciones f = + ; g = ; h = sen, calcula: a f g b f + g [h] + + a = = Factorizando el numerador y el denominador: = = = + + b = = sen sen Aplicamos dos veces la regla de L Hôpital: = = = sen sen cos sen cos = = = cos sen Estudia las asíntotas y los máimos y mínimos de la función y = e represéntala gráficamente. y Asíntotas: No tiene asíntota vertical.

3 BLOQUE I Horizontal: 8 +@ e e = 8 y = es asíntota horizontal cuando 8 +@. +@ = = +@ No tiene asíntota oblicua: m = = = 8 +@ e 8 +@ e Máimos y mínimos: +7 y' = ; y' = 8 +7 = e Estudiamos el signo de y': 9 =, f = e =, f = e / y' < y' > y' < 9 Máimo, ;,5 e Mínimo,,5;,6 e / Representación: Y X Halla la ecuación de la tangente a la curva y = e en su punto de infleión. Buscamos el punto de infleión entre las soluciones de y'' = : y = e y' = e + e = e 8 y'' = e + e = e y'' = 8 e = 8 =, f = e = 8,

4 Comprobamos si, es punto de infleión: y''' = e + e = e + 8 y''' = e +? 8, es punto de infleión. Pendiente de la recta tangente: m = y' = e = Ecuación de la recta tangente en, : y = 8 y = 5 Halla el valor de a, b y c para que la curva y = + a + b + c tenga un punto de infleión en, y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto sea. Para que tenga punto de infleión en,, debe ser f'' = : y' = + a + b 8 y'' = 6 +a f'' = a = 8 a = La función pasa por el punto, : f = 8 + a + b +c = 8 c = La pendiente de la recta tangente en = es : f' = 8 +a + b = 8 b = Por tanto: a =, b =, c = 8 y = Calcula los siguientes ites: sen a b + e ln cos / sen a = Aplicamos dos veces la regla de L Hôpital: ln cos cos sen = = = = tg + tg b + e / ; tomamos logaritmos: ln f = ln + e ln + e = = ln + e + e Aplicamos la regla de L Hôpital: = = + e Así: sen lncos + e / = e [ ]

5 BLOQUE III 7 Sea h una función derivable en todos sus puntos de la que se conocen los siguientes datos: h = y h' =. Se considera la función f definida por: f = [h] + + Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto =. Hallamos el punto de tangencia: = ; f = [h] + + = = 8 P, La pendiente de la recta tangente es m = f' Así: f' = h h' + = h h' + 8 f' = [h] + + [h] + + h h' + [h] m = = La ecuación de la recta tangente es y =. 8 Una fábrica está situada a km de la orilla de un río y tiene que transportar sus productos a un almacén situado en la misma orilla, y a km del punto del río más próimo a la fábrica. El transporte por carretera cuesta 8 por kilómetro y tonelada, y en gabarra por el río cuesta 6 por kilómetro y tonelada. En qué punto del río se debe pasar la carga del camión a la gabarra para que el coste del transporte sea mínimo? F y = + Coste = A C' = C' = 8 8 = = 8,6 km 7 5

6 Comprobamos que el coste es mínimo: + + C'' = /7 + 96/7 8 C'',6 = /7 + 96/7 > Se debe pasar la carga a la gabarra a unos,6 km del punto del río más próimo a la fábrica. 9 Obtén una función f que verifique: a f' = e b Pasa por el punto,. f = e d = u 8 d = du e d = dv 8 e = v I = e e d = e e + k f = e + k 8 f = e + k = 8 + k = 8 k = Así: f = e + Enuncia el teorema de Rolle y eplica si se puede aplicar a la función y = e en el intervalo [, ]. El teorema de Rolle dice: si f es una función continua en [a, b], derivable en a, b y tal que fa = fb, eiste un c é a, b tal que f'c =. e si < y = e si Ó Estudiamos la continuidad en = : + e = e = f = f = e = La función es continua en Á {} porque e y e lo son; también lo es en =. Por tanto, es continua en [, ]. 6

7 BLOQUE III Estudiamos su derivabilidad: e < f' = y' = f'? f' + e > f' + = No es derivable en =. No se puede aplicar el teorema porque f no es derivable en,. Dada la función f = + : a Justifica si se puede aplicar a f el teorema de Bolzano en el intervalo [, ]. b Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y su concavidad. si < a f = + si Ó f es continua si?, porque está definida mediante funciones polinómicas. Estudiamos la continuidad en = : + f = = f = + = + Por tanto, f es continua en [, ]. f = f = f = = = f = + = signo de f? signo de f Se cumplen, por tanto, las hipótesis del teorema de Bolzano que dice: si f es una función continua en [a, b] y signo de fa? signo de fb, eiste un c é a, b tal que fc =. En este caso, eiste un c é, tal que fc =. si < b f' = f' = f' + si Ó Si < > Si Ó > 8 f' > en todo Á Por tanto, f es creciente en todo Á. si < f'' = f''? f'' + si > f es convea y es cóncava en, +@. 7

8 Se sabe que la función: a + b si Ì Ì f = + si Ì Ì 5 es derivable en [, 5]. Cuánto valen a y b? Comprueba si se puede aplicar el teorema de Rolle a esa función en ese intervalo. f debe ser continua en =. Por ello: a + b = a +b + = + = f debe ser derivable en = : a +b = a + b Ì < f' = 8 a +b = = < Ì 5 Resolvemos ese sistema de dos ecuaciones: a + b = a + b = / a =, b = f = ; f5 = + 5 = f cumple las hipótesis del teorema de Rolle. Este dice que si f es una función continua en [a, b], derivable en a, b y tal que fa = fb, eiste un c é a, b tal que f'c =. Buscamos el punto donde se cumple el teorema: + f = Ì Ì + Ì Ì 5 + Ì Ì f' = Ì Ì 5 + = 8 = En =, se verifica que f' =. 8

9 BLOQUE III Resuelve las siguientes integrales: + a d b d + a d = d + d = + arc sen + k + + A B = = + = A + + B 6/5 /5 d = + + d = 6 + = ln ln + + k 5 5 Calcula el área limitada por la curva y = y la recta y =. y = y = + b = = 8 = 8 =, =, = Área = d + [ ] d = = d + d = = + [ ] [ ] = 8 u 5 Halla el área del recinto limitado por la función f = y los ejes X e Y. + f = + 6 A = 6/5 B = /5 Cortes con los ejes =, y = y =, = 9

10 A = = d [ + d = + + d = + d d = = ln + arc tg π = ln,6 u ] + 6 a Dada la función f = +, halla f'. b Demuestra que eiste algún aé, tal que f'a =. Di qué teorema utilizas. c Podemos asegurar que eiste un bé, tal que fb =? Justifica tu respuesta. f = + y = y' 8 ln y = ln 8 = ln + = + ln 8 y' = + ln y a f' = + ln ln = + ln ln b f' es una función continua en [, ] porque las funciones, ln y lo son. f' = + ln ln = ln < f' = + ln ln = + ln ln > f' cumple las hipótesis del teorema de Bolzano. Por ello, eiste un aé, tal que f'a =. c f es una función continua en [, ], porque las funciones y lo son. f = + = f = + = Según el teorema de los valores intermedios, f toma todos los valores comprendidos entre f y f. Como é [, ], eistirá un bé, tal que fb =.

11 BLOQUE III 7 La función f =, cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [, ]? En caso afirmativo, calcula el punto donde se verifica el teorema. f = es una función continua y derivable en el intervalo [, ]. Según el teorema del valor medio, eiste algún punto é, tal que: fb fa f'c = b a f' = f = f = = 8 = 8 = = 8 é, 8 c = 8 = 8 no pertenece al intervalo, Se verifica el teorema en c = 8.