FUNCIONES. 7.(99).- Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro sea 60 m.

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1 Enunciados de problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones FUNCIONES.(97).- Hay alguna función f() que no tenga límite cuando y que, sin embargo, [f()] sí tenga límite cuando?. Si la respuesta es afirmativa, póngase un ejemplo, si es negativa, justifíquese..(97).- Estudiar la derivabilidad de la función: f() = (97).- En la perforación de un cierto pozo, se sabe que el coste de la etracción del metro cuadrado de tierra a una profundidad de metros es proporcional a a para un cierto número a >. Llamaremos c() al coste de la etracción de tierra del pozo, desde la superficie hasta la profundidad de metros. Sabiendo que c() = 8 c(), se pide: º. Hallar a. º. Hallar la profundidad h para la que c(h) = 8 c().(97).- Sea f: R R una función derivable en R, sean a y b dos raíces de la derivada f (), tales que entre ellas no hay ninguna otra raíz de f (). Razonar debidamente si puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades: º. Entre a y b no eiste ninguna raíz de f(). º. Entre a y b eiste una sola raíz de f(). º. Entre a y b eisten dos o más raíces de f(). 5.(98).- a) Determinar el centro y el radio de la circunferencia C + y + y = 0. b) Obtener la ecuación de la recta tangente a C en el punto P(,0). c) Encontrar la ecuación de la circunferencia concéntrica con C que es tangente a la recta de ecuación y + = 0. 6.(98).- Se considera la ecuación + λ =. Utilizando el Teorema de Bolzano de los valores intermedios: a) Probar que si λ >, la ecuación admite alguna solución menor que. b) Probar que si λ <, la ecuación admite alguna solución mayor que. 7.(99).- Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máima cuyo perímetro sea 60 m. + n si < 8.(99).- Se considera la función: f () = + m si (a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-,] (b) Hallar los puntos del intervalo cuya eistencia garantiza dicho teorema. e si 0 9.(99).- Se considera la función : f () = + si > 0 Contestar razonadamente a las siguientes preguntas: (a) Es continua en el punto =0? (b) Es derivable en el punto =0? (c) Alcanza algún etremo? 0.(99).- Se considera un triángulo isósceles cuya base (el lado desigual) mide 0 cm y cuya altura mide 6 cm. En él se inscribe un rectángulo, cuya base está situada sobre la base del triángulo. (a) Epresar el área A de dicho rectángulo en función de la longitud de su base. (b) Escribir el dominio de la función A() y dibujar su gráfica. (c) Hallar el valor máimo de dicha función..(99).- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm. Averiguar las dimensiones de la caja para que la superficie eterior sea mínima..(99).- (a) Comprobar que (ln( + ) ln()) = 0 (b) Calcular (ln( + ) ln()) Manuel Ruiz

2 Enunciados de problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones sen + si 0.(mod).- Sea: f () = k si = 0 a) Hay algún valor de k para el que f() sea continua en =0? b) Hay algún valor de k para el que f() sea derivable en =0? c) Determinar sus asíntotas. (00).- Sea f() = a +b +c+d un polinomio que cumple f()=0, f (0)= y tiene dos etremos relativos para = y para =. a) Determinar a, b, c y d. b) Son máimos o mínimos los etremos relativos? 5(00).- a) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0,] que tenga al menos un máimo relativo en el punto (,) y un mínimo relativo en el punto (,). b) Si la función fuera polinómica, cuál ha de ser como mínimo su grado? 6(00).- Sea la función f() = + sen. a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo. b) Estudiar su monotonía y la eistencia de etremos relativos. 7(00).- Dados tres números reales cualesquiera r, r y r, hallar el número real que minimiza la función: D() = (r ) + (r ) + (r ). 8(0).- a) Determinar los etremos relativos de la función f() = +.. b) Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a las gráfica de f que pasan por P(, 5). 9(0).- Sea P() un polinomio de grado tal que: i) P() es una función par. ii) Dos de sus raíces son = y = 5. iii) P(0) = 5. Se pide: a) Hallar sus puntos de infleión. b) Dibujar su gráfica. si 0(0).- Se considera la función real de variable real: f ( ) = ( ) si < a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (,). (0).- Sea f() una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que: f(0) = ; f() = ; f (0) = ; f () =. Se pide: a) Calcular g (0), siendo g() = f( + f(0)). b) Calcular: ( f ( )) e 0 f ( + ) (mod).- Determinar los valores de las constantes A, B, C y D para los cuales la gráfica de la función: f() = A.sen + B + C + D tiene tangente horizontal en el punto (0,) y además su derivada segunda es f () =.sen 0. (0).- Calcular los siguientes límites (donde ln significa logaritmo neperiano). a) 0 ln(cos()) ln(cos()) 5 8 b) 0 + (0).- Dada la función: f () = 6 a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical Manuel Ruiz

3 Enunciados de problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones 5(0).- a) Dibujar la gráfica de la función: g() = e. b) Calcular el dominio de definición de f() = y su comportamiento para y e. c) Determinar (si eisten) los máimos y mínimos absolutos de f() en su dominio de definición. (e 6(mod).- Dada la función: f() = a ) /( ) si 0 si = 0 a) Determinar su dominio y calcular los límites laterales cuando. b) Estudiar su continuidad y hallar el valor de a para el que f es continua en = 0. 7(mod).- Se considera la función: f() =, se pide: + (sen ) a) Calcular sus puntos críticos en el intervalo abierto ( π,π). b) Calcular los etremos relativos y/o absolutos de f() en el intervalo cerrado [ π,π]. c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto (π/, f(π/)). 8(0).- Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máima. 9(0).- Dada la función: f() =, se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a,f(a)), donde 0<a<. b) Hallar los puntos A y B en donde la recta del apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivamente. c) Determinar el valor de a (0,) para el cual la distancia entre el punto A y el P(a,f(a)) es el doble de la distancia entre el punto B y el P(a,f(a)). 0(0).- Sabiendo que una función f() tiene como derivada: f () = ( ) ( 8+7) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Hallar los máimos y mínimos relativos de f. c) Es el punto = un punto de infleión de f? Justificar razonadamente la respuesta. (mod).- a) Justificar razonadamente que la gráfica de la función f() = corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [,]. b) Determinar razonadamente el número eacto de puntos de corte con el eje OX, cuando recorre toda la recta real (mod).- Se considera la función f() = ln(+ ). a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los intervalos de concavidad y conveidad. b) Dibujar la gráfica de f. c) Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f en sus puntos de infleión. (05).- Calcular los siguientes límites: a) + π b) arctg( e ) (05).- Dada la función f() = se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto (a,f(a)), para a>0. b) Hallar los puntos de corte de la recta del apartado a) con los dos ejes coordenados. c)hallar el valor de a>0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima Manuel Ruiz

4 Enunciados de problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones 5(05).- Dada la función: f() = ln, definida para >, hallar un punto (a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f() en ese punto sea paralela al eje OX. 6(mod).- a) Hallar el punto P en el que se cortan las gráficas de las funciones: f () =, g() = + b) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto P a cada una de las curvas anteriores y comprobar que son perpendiculares. 7(mod).- Se considera la función: f () = + sen cos a) Calcular sus etremos locales y/o globales en el intervalo [ π, π]. b) Comprobar la eistencia de, al menos, un punto c [ π, π] tal que f (c) = 0. (Sugerencia: utilizar el teorema de Rolle). Demostrar que en c hay un punto de infleión. 8(06).- a) Dibujar la gráfica de la función f() = indicando su dominio, intervalos de + crecimiento y decrecimiento y asíntotas. b) Demostrar que la sucesión a n = n n + es monótona creciente. n a a. c) Calcular ( ) n n + 9(06).- a) Calcular los valores de a y b para que la función f() = n + + a cos a + b si < 0 si 0 < π si π continua para todo valor de. b) Estudiar la derivabilidad de f() para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. sea 0(mod).- Obtener el valor de k, sabiendo que k = e (07).- Se considera la función f() = + m, donde m>0 es una constante. a) Para cada valor de m hallar el valor a>0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) pase por el origen de coordenadas. b) Hallar el valor de m para que la recta y = sea tangente a la gráfica de f(). (07).- Dibujar la gráfica de la función: f() = decrecimiento y asíntotas., indicando su dominio, intervalos de crecimiento (mod).-se considera la función f() = e a) Hallar sus asíntotas y sus etremos locales. b) Calcular los puntos de infleión de f () y dibujar la gráfica de f () Manuel Ruiz

5 soluciones de los problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones (mod).- Calcular: a) 5n + n n + n b) 5(08).- Estudiar los siguientes límites: a) ( e ) b) n + n n 5 n + n n 6(08).- Obtener los máimos y mínimos relativos, y los puntos de infleión de la función: f () = (ln()). Siendo ln() el logaritmo neperiano de. 7(modelo ).- Sea: f () = 7 ( ( ) ) si < si a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f() b) Hallar los máimos y mínimos locales de f() c) Dibujar la gráfica de f(). 8 (modelo ).- Sea f () + =. Hallar la continuidad y derivabilidad de f en = 0. Estudiar cuándo se verifica que f () = 0. Puesto que f () = f( -), eiste contradicción con el teorema de Rolle en el intervalo [-,]. 9 (009).- Calcular el siguiente límite: + + α + según los valores del parámetro α. 50(009).- Dada la función: + 8 ( + ) ln( + a) b si + a > 0 y 0 f ( ) = si = 0 se pide: a) Hallar los valores de los parámetros a, b para los cuales la función f es continua en = 0. b) Para a = b =, estudiar si la función f es derivable en = 0 aplicando la definición de derivada. 5(009).- a) Dada la función: f ( ) =, hallar el punto o los puntos de la gráfica de f() en los que la pendiente de la recta tangente sea. S.Sancho 5

6 soluciones de los problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto = 0 c) Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g() =. Demostrar que eiste al menos un punto c en el intervalo (0, ) tal que g ( c ) = S.Sancho 6

7 soluciones de los problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones (97).- Si. (97).- Es derivable en R {,}. (97).- º) a=,5. º) h= m. (97).- º) Si. º) Si. º) No. FUNCIONES 5(98).- a) Centro (, ), radio= 5. b) ( ) + (y+) = 9/5. 6(98).- a) Eiste solución en [0,]. b) Eiste solución en [,+ ). 7(99).- Los tres lados iguales a 0 m. 8(99).- a) m= 0, n=6. b) =± 9(99).- a) Si. b) No. c) Si, un mínimo en (0,0). 0(99).- A()= (0 ). b) D=[0,0] c) 75 cm. (99).- Las tres iguales a dm. (99).- a) b). (mod).- (a) k=. (b) k=. (c) y=. (00).- (a) a=/, b= /, c=, d= 5/6. (b) = : má. = : mín. 5(00).- (a) (b) Grado (00).- a) No tiene asíntotas. b) Crec en R. No tiene etremos. r + r + r 7(00).- = 8(0).- (a) Min en (, ). (b) y = +, y = 6. 9(0).- (a) (,0) y (,0). (b) 0(0).- a) Continua en R. Derivable en R {}. b) y = /. (0).- a). b) 8. (mod) A =, B = 5, C =, D =. (0).- a) 9/. b) /8. (0).- a) =, = (evitable). b) =. 5(0).- a) b) D = R. si +, f() 0 ; si, f() 0 c) Má abs y = 6(mod).- a) D = R {}, si + : +, si :. b) Si a=, f es continua en R {}; si a, f es continua en R {0,}. 7(mod).- a) 0 y ±π/. b) Má abs y rel: f(0)=f(π)=f( π)=. Mín abs y rel: f(π/)=f( π/)=/. b) y / = /9 ( π/) 8(0).- Base = 8/, altura = /. 9(0).- a) y= a++a ; b) A(0,+a ), B + a,0 ; c) a = a 0(0).- a) Crec. en (,) (7,+ ), decrec. en (,7). b) Má en =, mín en =7. c) Sí--- (mod).- a) -- b) Sólo corta en un punto. (mod).- a) crec. (0,+ ), decrec (,0), cónc (, ) (,+ ), conv (,) b) c) y= +ln, y= +ln (05).- a). b) 0 Manuel Ruiz 7

8 soluciones de los problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones (05).- a) y = +. b) (a,0), (0, ). c) a=. a a a 5(05).- (,ln) 6(mod).- a) (,) ; b) tg a f: y= +, tg a g: y= 7(mod).- a) Ma loc y glob: f( π/)= ( ), Min loc y glob: f(π/)= ( + ), Ma loc: f(π)=/, Min loc: f( π)=/. b) (Aplicar el t. de R a f ()) 8(06).- a) b) Porque f() es creciente. c) 9(06).- a) a=, b=. b) Derivable en R {0} ( f (0 ) =, f (0 + ) = 0 ). 0(mod).- k = / (07).- a) a = m. b) m = ¼. (07).- D =R {}. AV: =. AH: y= ( + ), y= ( ) Crec. En (0,) (,+ ); decrec en (,0) (mod).- a) Asíntota horizontal y = 0 ; máimo (, /) b) punto de infleión (, 5 ) e (mod).-a ) e b) 5(08).- a) e = ; b) 0 6(08). - Mínimo (, 0). Máimo ( e, e ). Punto de infleión I ( e, e ) 7(modelo 08-09).- a) contínua en R derivable en R - { / }. b) M ( 0, ) ; M (,7/ ) 8(modelo 08-09).- a) contínua en R, derivable en R - { 0 }. b) f ( ) = 0 para = ± que son los etremos del intervalo [-, ]. No eiste contradicción con el teorema de Rolle, puesto que al no cumplirse las hipótesis del teorema de Rolle no se puede asegurar que eista un punto interior c (,) donde f ( c ) = 0 9(009).- Si α = 0, el límite = e ; Si α 0, el límite = e 0 = 50 (009).- a) a = b = y a = b = -; b) f (0) = / 5(009).- a) P ( 0,0); Q(, ); R (, ) ; b) y = ; c) Por el teorema del valor Medio se 0 cumple: c ( 0,) tal que g'( c) = = 0 S. Sancho 8