Universidad de San Carlos de Guatemala

Transcripción

1 Clave: 03-2-M Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Departamento de matemática Curso: Matemática Básica 2 Código del curso: 03 Semestre: Segundo semestre 203 Tipo de eamen: Nombre de la persona que resolvió el eamen: Catedrático del curso: Segundo Eamen Parcial Juan Francisco Chajón Villatoro Inga. Helen Ramírez

2 Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Matemática Básica 2 Escuela de Ciencias Segundo Eamen Parcial TEMA (30 puntos) Temario L En los incisos (a) y (b) determine dy ; en el inciso (c), valúe el límite. d a) y = ( ) 3 b) e 2y = 2 y 3 tan 2 c) ( 0 + ) TEMA 2 (20 puntos) Sea: f() = 2 + a Determine el valor de a para que la gráfica de y = f() tenga un punto de infleión en =.Luego, trace la gráfica de f() indicando dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas verticales y horizontales (si hubiere), intervalos de crecimiento y decrecimiento y concavidad, máimos y mínimos locales y puntos de infleión. TEMA 3 (20 puntos) Suponga que un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de longitud 6 cm y uno de sus catetos está en posición horizontal. Se hace girar al triángulo tomando como eje de rotación el cateto vertical; la figura sólida que se forma es un cono circular recto (ver figura). Determine las dimensiones de los catetos que generan el cono de mayor volumen. 6 cm TEMA 4 (20 puntos) La sección transversal de un tanque de 5 metros de largo es un trapecio isósceles con base menor de 2 metros, base mayor de 3 metros y altura de 2 metros. El tanque está colocado de manera que su sección transversal es perpendicular al suelo horizontal, con la base menor del trapecio sobre el mismo. Se está vertiendo agua al tanque a razón de.5 metros cúbicos por minuto, pero hay una fuga en el fondo y se pierde agua al mismo tiempo que se llena. Si la altura del agua h en el tanque sube a razón de 5 cm/min cuando h =.5 m, Cuál es la tasa de agua (en m 3 /min) de agua que se está fugando? TEMA 5 (0 puntos) Use la aproimación lineal de f() = log 2 (32 + ) para estimar log 2 33.

3 TEMA : Ambos enunciados (a y b) se resuelven aplicando la derivación por regla de la cadena, derivación implícita y derivación de logaritmos. a) y = ( ) 3 ln y = ln( ) 3 Utilizando el logaritmo natural (ln) para bajar el eponente: ln y = 3 ln(32 + 5) Derivar utilizando la regla de la cadena: dy dy ln y = d d 3 ln(32 + 5) Utilizando la regla del producto: y y = 6 ( ) ln(32 + 5) Despejando en términos de dy : d dy d = ln(32 + 5) 6 3 ( ( ) ln(32 + 5)) b) e 2y = 2 y 3 2 ln (e 2y ) = ln ( 2 y 3 2) Utilizando el logaritmo natural (ln) para bajar el eponente: 2y = ln ( 2 y 3 2) Derivar utilizando la regla del producto y derivación implícita: 2y + 2y = 2 3 y3 2 2 y 3 2 y 2y 2 2 y 3 2 Factorizando los términos que contienen a y : 3 y (2 + 2 y 2 2 y 3 ) = 2 y y 3 2y 2

4 Despejando para y : 2 y 3 2 y = 2 y 3 2y y 2 2 y 3 2 c) + ( )tan Utilizando el logaritmo natural (ln) para bajar el eponente: ln (y) = tan ln( + ) Arreglar la función de tal manera que se pueda epresar como indeterminada al valuar el límite: Aplicando L Hospital: ln(y) = ln(y) = ln(y) = + + ln ( ) + tan = ( ) ( )( 2 ) ( )(tan ) 2 (sec ) 2 = Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada: ln(y) = + 2 sin ( cos ) = (cos ) 2 Forma indeterinada + Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada: 2 sin ( cos ) = (cos ) (sec )2 (tan ) 2 (cos ) 2 (sin ) 2 (cos ) 2 (cos ) 2 (sin ) 2 (cos ) 2 Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada: (sin ) 2 ln(y) = = 0 Forma Indeterminada + 0

5 Aplicando nuevamente L Hospital: ln(y) = 2 sin cos = 0 + = 0 Despejando para encontrar el valor del límite: ln(y) = 0 e ln(y) = e 0 ( + )tan = TEMA 2: Para que eista un punto de infleión en =, la segunda derivada de la función f () = 0, Primero se buscan las tres funciones que definen la gráfica: la función original, la primera derivada y la segunda derivada. f () = 2 + a Encontrar el valor de a para que f () = 0: f () = 2 ( 2 + a) 2 f () = 2(a 32 ) ( 2 + a) 3 0 = 2(a 32 ) ( 2 + a) 3 0 = 2(a 3 2 ) = 2a a = 6 2 = ± a 3 () 2 = ( a 3 )2 a 3 = a = 3 Cuando a = 3 se tiene un punto de infleión en = ±

6 Encontrar los valores críticos de la gráfica f () = 0: 0 = 2 ( 2 + a) 2 0 = 2 = 0 Cuando f () = 0 se tiene un mínimo o un máimo local. Valores Críticos {-3, -, 0,, 3} Se evalúa el límite de la función para encontrar asíntotas horizontales: 2 + a = = 2 La función f () tiene una asíntota horizontal en f () = = 0 A continuación se realiza una evaluación de valores en los intervalos adecuados para hallar el comportamiento de la gráfica: INTERVALO 2 2a < = < < = < < = < Analizando el comportamiento se concluye que la función f (), posee un dominio de {, }, tiene 2 puntos de infleión, un máimo absoluto, una asíntota horizontal, es cóncava hacia arriba en < 3 y 3 <, es cóncava hacia abajo en < <.

7 TEMA 3: 6 cm Se epresa el radio del cono en función de la altura, utilizando el teorema de Pitágoras: 6 2 = R 2 + h 2 R 2 = 6 2 h 2 R 2 = 36 h 2 Se modela el volumen del cono en función de la altura: V cono = 3 πr2 h V cono = 3 π(36 h2 )h

8 V cono = 3 π(36h h3 ) Se deriva la función para maimizar el volumen y se iguala a cero: 0 = 3 π(36 3h2 ) 0 = 36 3h 2 3h 2 = 36 h 2 = 2 h = ± cm Para encontrar el radio, se despeja de la ecuación de Pitágoras: R 2 = 36 h 2 R 2 = 36 ( 2) 2 R 2 = 24 R = ± cm Las dimensiones que maimizan el volumen del cono son un radio de 4.89cm y una altura de 3.46cm. TEMA 4:

9 Se modela el volumen del tanque como: V tanque = (Area rectangulo + 2 Area triangulo ) Profundidad V tanque = (2h + 2 ( 2 rh)) 5 Se epresa r en función de h con semejanza de triangulos: r h = r = h Se sustituye el valor de r en la función del volumen: V tanque = (2h + 4 rh2 )) 5 = 0h h2 La diferencia de volumen es igual a: dv entra dt dv sale dt = 0 dh dt + 5 dh 2h 4 dt dv sale dt = dv entra dt 0 dh dt 5 dh 2h 4 dt Sustituyendo las variables con las condiciones iniciales: dv sale =.5m3 0.05m 0 dt min min m 2(.5) 4 min dv sale dt = m3 min TEMA 5: f() = f(a) + f (a)( a) f () = a = 0 y = log b = log a ln (32 + ) = log a b ln (2) (32 + ) () ln (2) = ln (2) (32 + )

10 f (0) = ln (2) (32) = (32)ln (2) f() = log f() = 5 + ( 0) (32) ln(2) ( 0) (32) ln(2) f() = =