Universidad de San Carlos de Guatemala

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA clave-103--m CURSO: Matemática Básica SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: 103 TIPO DE EXAMEN: Segundo Eamen Parcial FECHA DE EXAMEN: 13 de marzo del 018 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Herber Fernando Sandoval Márquez DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Herber Fernando Sandoval Márquez COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

2 Segundo eamen parcial Temario A Tema 1: (0 puntos) En la Figura siguiente, varía entre 0 y 1. El rectángulo se mantiene inscrito en el cuarto de circunferencia de radio R 1. R Si crece a partir de 0, a razón constante de 0.1 m/seg, a. Encuentre la razón a la cual cambia el área cuando 1 4 b. Determine los intervalos en los cuales la razón de cambio del área es positiva y los intervalos en los cuales la razón de cambio del área es negativa. Tema : (5 puntos) a. Dejando escrito su procedimiento calcule y 1 y tan ( y) b. Para la función dada calcule y y, 0 Tema 3: (15 puntos) Identifique el límite dado como una forma indeterminada, use la regla de L'Hopital para encontrar su valor, o concluya que no eiste lim 1 1 ln( 1) 0 Tema 4: (0 puntos) Determine los intervalos donde la función es creciente, intervalos donde es decreciente, máimos y mínimos relativos, bosqueje la gráfica de la función

3 f ( ) ln Tema 5: (0 puntos) Un piloto busca recorrer la menor distancia viajando en línea recta desde un punto de la carretera Este-Oeste hacia un punto sobre la carretera Norte-Sur pasando por un punto P justo a la orilla de un pueblo. Determine la distancia en el intervalo de manera que la distancia recorrida por el piloto sea 3.5,10 mínima. O N P(3,) E S SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema 1: (0 puntos) En la Figura siguiente, varía entre 0 y 1. El rectángulo se mantiene inscrito en el cuarto de circunferencia de radio R 1. R Si crece a partir de 0, a razón constante de 0.1 m/seg, a. Encuentre la razón a la cual cambia el área cuando 1 4 b. Determine los intervalos en los cuales la razón de cambio del área es positiva y los intervalos en los cuales la razón de cambio del área es negativa. a. Encuentre la razón a la cual cambia el área cuando 1 4 No. Eplicación 1. Se establece los parámetros que se tienen y determinamos la restricción. Operatoria 0 < < 1 R=1 d m = 0.1 dt seg Area = y restricción: R = y +

4 restricción: 1 = y +. Aplicamos la restricción. 3. Derivados la función en área en términos de tiempo 4. Simplificamos la derivada 5. Al tener la derivada del área en función del tiempo y queremos su razón cuando = 1 4, y conocemos su razón de cambio d dt = 0.1 solo sustituimos los valores en la ecuación RESPUESTA 1 = + y y = 1 A = y = 1 A = 1 0 < < 1 da dt = 1 d 1 dt + 1 d dt da dt = d dt da dt = ( 1 4 ) 1 1 ( ( 4 ) (0.1 m seg ) 4 ) da dt = m seg la razón a la cual cambia el área cuando m seg 1, es de 4 b. Determine los intervalos en los cuales la razón de cambio del área es positiva y los intervalos en los cuales la razón de cambio del área es negativa. No. Eplicación 1. Se debe determinar las razones de Operatoria A = 1 + 1

5 cambio positivas y negativas del área, para ello se sabe que una razón o una tasa de cambio se puede epresar como una derivada. La razón de cambio del área depende de los posibles valores que pueda adquirir, por ende, es necesario conocer los puntos críticos de esta variable, para ello es necesario conocer los posibles valores que puede adquirir. 3. Se establece los intervalos de la variable, sabiendo los valores que puede tomar y su punto crítico. 4. Se establece el valor de prueba para los intervalos de 5. Para conocer los intervalos de la razón de cambio del área, se debe de valuar los 1 = 1 = 1 = 1 = ± 1 = ± ; se descarta el posible valor negativo punto critico = 0 < < 1 intervalos de = (0, ),(, 1) valor de prueba para (0, ) : usaremos 0.3 valor de prueba para (, 1) : usaremos 0.9 A (0.3) = = + A (0.9) = = -

6 intervalos de en la razón de cambio del área, y se toma en cuenta el signo del valor que adquiere la función. 6. Analizamos los signos y se determinan los valores en los que la función es creciente o decreciente. RESPUESTA (0, ) sigo en A +, por lo tanto creciente (, 1) signo en A por lo tanto decreciente Área positiva: (0, ) Área negativa: (, 1) Tema : (5 puntos) a. Dejando escrito su procedimiento calcule y 1 y tan ( y) b. Para la función dada calcule y y, 0 a. Dejando escrito su procedimiento calcule y 1 y tan ( y) No. Eplicación 1. Se debe de derivar la función utilizando la metodología de derivación implícita, para Operatoria d d + d d y = d d tan 1 (y)

7 ello es necesario derivar termino por termino de la epresión.. Se simplifica la epresión, aplicando la derivada de la tan 1 con regla de la cadena. 3. Se simplifica la epresión y se establece que dy = y. d 4. Se despeja para y RESPUESTA 1 + dy d = 1 dy (y) [ + 1 d + dy d y] 1 + dy d = dy (y) + 1 d + y + y + 1 y + y 1 + y = y y = y + 1 y + y y + 1 y [1 y + 1 ] = y y y y = [ y + 1 1] [ y + 1 y + 1 ] y = [ y y 1 y + 1 ] [ y + 1 y + 1 ] y = [ y y 1 y + 1 ] y = y y + 1 y + 1 b. Para la función dada calcule y y, 0 No. Eplicación 1. Se debe de derivar la función utilizando la metodología de derivación implícita, es Operatoria ln y = ln

8 necesario eliminar el eponente de la función,. Por propiedades de logaritmos 3. Se deriva termino por término la epresión. 4. Se despeja para y sabiendo que y = dy d 5. Encontramos la segunda derivada, derivando la primera derivada, sabiendo que d y d = y ln y = ln d d ln y = d ln d 1 dy y d = 1 + ln 1 dy y d = 1 + ln dy = (1 + ln )y d dy = y + y ln d d dy d d = d d y + d y ln d d y d = dy d + y 1 + dy ln d y = y + y + y ln y = y (1 + ln ) + y Sabemos que y = y(1 + ln ) y = y(1 + ln ) (1 + ln ) + y y = y {(1 + ln ) + 1 } y = y + y ln + y (ln ) + y RESPUESTA y = y + y ln + y (ln ) + y

9 Tema 3: (15 puntos) Identifique el límite dado como una forma indeterminada, use la regla de L'Hopital para encontrar su valor, o concluya que no eiste lim 1 1 ln( 1) 0 No. Eplicación 1. Para que se puede aplicar L'Hopital se debe de buscar la forma indeterminada.. Al conocer la forma indeterminada se procede a realizar L'Hopita, primero se realiza procedimiento algebraico para facilitar el límite. 3. Se valúa de nuevo para determinar nuevamente alguna forma indeterminada para volver a aplicar L'Hopita 4. Se vuelve a aplicar L'Hopita, derivando nuevamente el Operatoria f() = ln + 1 f(0) = ln(0 + 1) = ln 1 = corresponde a una forma indeterminada + 1) lim (ln( 0 ln( + 1) ) Se aplica L'Hopita, derivando el numerador y el denominador 1 lim ( ) ln( + 1) lim ( + 1 ) 0 + ( + 1) ln( + 1) + 1 lim ( 0 + ln( + 1) + ln( + 1) ) f() = + ln( + 1) + ln( + 1) 0 f(0) = 0+0 ln(0+1)+ln(0+1) =0 0 0 = forma indeterminada 0 lim ( ln( + 1) + ) + 1

10 numerador y el denominador 5. Se evalúa el valor de tendencia de en el límite, lim ( ln( + 1) + ) + 1 lim ( ln(0 + 1) ) = lim 0 ( lim ( ) = ) RESPUESTA lim ( ln( + 1) ) = 1 Tema 4: (0 puntos) Determine los intervalos donde la función es creciente, intervalos donde es decreciente, máimos y mínimos relativos, bosqueje la gráfica de la función f ( ) ln No. Eplicación 1. Para determinar los intervalos crecientes y decrecientes es necesario derivar la función original. Se necesita conocer los puntos críticos de la variable, Operatoria Numerador: f () = f () = ln() (ln ) ln() (ln )

11 para ello es necesario conocer las soluciones a las epresiones que conforman el límite. ln() = 0 ( ln 1)=0 1 =0 ln 1 = 0 ln = 1 = e 1 Denominador: (ln ) = 0 ln = 0 3 = 1 3. Al conocer los puntos críticos se establecen los posibles intervalos, y los valores de prueba 1 =0 = e 1 = = 1 Valores de prueba para cada intervalo Para (-,0) = - Para (0,1) =0.5 Para (1,1.65) =1.5 Para (1.65, ) = 4. Se evalúan los valores de prueba en la derivada y se toman en cuenta los signos de los resultados Para (-,0) Para (0,1) Para (1,1.65) Para (1.65, ) f () = f ( ) = f (0.5) = f (1.5) = f () = ln() (ln ) ( ) ln( ) ( ) (ln ) = E (0.5) ln(0.5) ( 0.5) (ln 0.5) (1.5) ln(1.5) ( 1.5) (ln 1.5) () ln() ( ) (ln ) = + = =

12 5. Se analizan los signos y se determinan los intervalos crecientes y decrecientes 6. Para realizar el bosquejo, se puede analizar el comportamiento de tendencia cuando los puntos críticos se aproiman a la función original Decrecientes: Crecientes: Mínimo relativo (0,1), (1,1.65) (1.65, ) f(1.65) = 5.44 lim ( 1 ln ) lim ( 1 + ln ) = = lim ( 0 + ln ) = 0 f(1.65) = 5.44 RESPUESTA Decrecientes: Crecientes: Mínimo relativo (0,1), (1,1.65) (1.65, ) f(1.65) = 5.44

13 Tema 5: (0 puntos) Un piloto busca recorrer la menor distancia viajando en línea recta desde un punto de la carretera Este-Oeste hacia un punto sobre la carretera Norte-Sur pasando por un punto P justo a la orilla de un pueblo. Determine la distancia en el intervalo de manera que la distancia recorrida por el piloto sea 3.5,10 mínima. O N P(3,) E S No. Eplicación 1. Operatoria y- Se determina la restricción.. Por Pitágoras se conoce. 3. Se aplica la restricción. 4. Se deriva la función D en términos de. 5. Se despeja dd d 3-3 y 3 = 3 y = 6 3 y = ( ) D = + y D = + y D = + y y = ( ) D = + y = 4 ( ) D dd d = + 8 ( ) ( 3 ( 3) ) 3 dd + ( d = 3 + 1) ( 4 ( 3) ) D

14 6. Se iguala dd d = 0 Y se despeja para X. 0 = + ( ) ( 4 ( 3) ) = + ( ) ( 4 ( 3) ) = + ( ) ( 4 ( 3) ) = + ( 4 ( 3) 3) 3 ( 3) 3 3 = = 1 = 5.89 unidades RESPUESTA = 5.89 unidades