UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. CLAVE V sN

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-101--V sN CURSO: SEMESTRE: Primer CÓDIGO DEL CURSO: 101 TIPO DE EXAMEN: Segundo Examen Parcial FECHA DE EXAMEN: de marzo de 017 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Ing. Mario de León DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Keyla Analy Barrera Martínez COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

2 de marzo de 017 Segundo Examen Parcial Temario W Tema 1: (15 puntos) Determine la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia cuya ecuación es 4x + 4y 16x + 4y + 7 = 0 y el punto (0, 3 ). Grafique en un mismo plano cartesiano la circunferencia y la recta. Tema : (0 puntos) La figura adjunta muestra las gráficas de las funciones acotadas f(x) y g(x). Sin encontrar las ecuaciones, grafique las siguientes funciones. a) (f + g)(x) b) y = g(x 1) 4, Tema 3: (30 puntos) Una tienda de caballeros vende en promedio 10 cinturones de pantalón mensualmente a un precio de Q cada uno. Un estudio de, mercado concluye que por cada reducción de Q.5.00 en el precio, se venderían 10 diez cinturones más al mes. Si x es el precio de cada cinturón con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo? Cuál sería ese ingreso máximo? Si el dueño se conforma con un ingreso de Q.1, , a qué precio debería dar los cinturones? Tema 4: (0 puntos) Sea Q(x) un polinomio con coeficientes reales de grado 7, que satisface las siguientes condiciones: raíces x = {0; 1 de multiciplidad 3; de multiciplicidad ; 3 }; además la función pasa por el punto ( 1, 8). Determine la ecuación del polinomio en su forma factorizada. Haga un esbozo de la gráfica del polinomio. Tema 5: (15 puntos) Dado el siguiente polinomio: h(x) = 6x 6 3x 5 + 4x x 3 10x Entonces: a) Determine las posibles raíces racionales. b) Aplicando regla de signos de descartes, indique mediante una tabla las posibles combinaciones de raíces nulas, positivas, negativas y complejas del polinomio. c) Calcule las raíces del polinomio mediante división sintética.

3 SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema 1: (15 puntos) Determine la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia cuya ecuación es 4x + 4y 16x + 4y + 7 = 0 y el punto (0, 3 ). Grafique en un mismo plano cartesiano la circunferencia y la recta. No. Explicación Operatoria 1. 4x + 4y 16x + 4y + 7 = 0 (4x 16x) + (4y + 4y) = 7 Completar al cuadrado Simplificar la ecuación general de la circunferencia para llegar a la ecuación estándar. 4(x 4x + 4 4) + 4(y + 6y + 9 9) = 7 4(x 4x + 4) (y + 6y + 9) 36 = 7 4(x ) + 4(y + 3) = 5 Dividir la ecuación de ambos lados por 4 (x ) + (y + 3) = 5 4. Determinar el centro y radio a partir de la ecuación estándar. centro: C(, 3) radio: r = 5 3. Hallar la pendiente con el punto dado (0, 3 ) y con el punto del centro de la circunferencia (, 3), por las condiciones del problema. m = 3 + 3/ 0 m = 3/

4 m = 3 4 y y 0 = m(x x 0 ) Donde: 4. m = 3 4 (x 0, y 0 ) = (0, 3/) o (, 3) Utilizar ecuación punto- pendiente para hallar la ecuación de la recta. Sustituyendo datos para (, 3): y ( 3) = 3 (x ) 4 y + 3 = 3 (x ) 4 y = 3 4 x Graficar. R./ y = 3 4 x + 3 3

5 Tema : (0 puntos) La figura adjunta muestra las gráficas de las funciones acotadas f(x) y g(x). Sin encontrar las ecuaciones. a) (f + g)(x) b) y = g(x 1) 4, No EXPLICACION OPERATORIA 1 Para el inciso a) se deberá elaborar una tabla de ayuda para realizar la suma de funciones. 3 Para el inciso b) elaborar tabla para realizar las translaciones solicitadas.

6 Tema 3: (30 puntos) Una tienda de caballeros vende en promedio 10 cinturones de pantalón mensualmente a un precio de Q cada uno. Un estudio de, mercado concluye que por cada reducción de Q.5.00 en el precio, se venderían 10 diez cinturones más al mes. Si x es el precio de cada cinturón con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo? Cuál sería ese ingreso máximo? Si el dueño se conforma con un ingreso de Q.1, , a qué precio debería dar los cinturones? No. Explicación Operatoria x = precio de cada cinturón 1 Identificar variables. N = numero de cinturones vendidos I = Ingreso por venta de cinturones Encontrar una función lineal que modele el número de cinturones en función del precio, para ello se deberán de crear puntos (Precio, Número de cinturones) basándose en que por cada reducción de Q5.00 en el precio, se venderían 10 cinturones más. Puntos: 1. (100,10). (95, 130) Ecuación lineal: Por lo tanto, Pendiente = Pendiente = 10 5 = N 10 = Pendiente(x 100) N 10 = (x 100) N = (x 100) + 10 N = x N = x + 30

7 3 Luego de encontrar la función lineal que modelara el número de cinturones en función del precio, se debe hallar una función de ingreso en términos de x. Partiendo de: Ingreso = Precio Numero de cinturones Ingreso = Precio Numero de cinturones I(x) = x( x + 30) I(x) = x + 30x 4 Completar al cuadrado el ingreso en términos de x. I(x) = x + 30x I(x) = x + 30x I(x) = (x 160x ) I(x) = (x 160x + 80 ) + (80 ) I(x) = (x 80) + 1,800 5 Determinar el precio para el mayor ingreso y cual sería ese ingreso máximo por medio de la ecuación completada al cuadrado y con ayuda de la gráfica. Como el eje x representa el Precio y el eje y representa el Ingreso, el precio para el mayor ingreso es igual a Q y el ingreso máximo es de Q1, Para determinar el precio de los cinturones, se debe de sustituir el ingreso de 1,000 en I(x) y despejar x. I(x) = (x 80) + 1,800 1,000 = (x 80) + 1,800 1,000 1,800 ± + 80 = x 1,000 1,800 ± + 80 = x

8 ± = x x = ± x 1 = 100 x = 60 R. / Precio para el mayor ingreso es de Q80.00 y el mayor ingreso es de Q1,800. Para obtener un ingreso de Q1,000, puede vender los cinturones a un precio de Q o de Q60.00

9 Tema 4: (0 puntos) Sea Q(x) un polinomio con coeficientes reales de grado 7, que satisface las siguientes condiciones: raíces x = {0; 1 de multiciplidad 3; de multiciplicidad ; 3 }; además la función pasa por el punto ( 1, 8). Determine la ecuación del polinomio en su forma factorizada. Haga un esbozo de la gráfica del polinomio. No. Explicación Operación 1 Determinar los factores del polinomio Q(x). Encontrar la ecuación del polinomio con ayuda de los factores y del punto dado por el problema. Raíces Factores x = 0 x x = 1, mult. 3 (x 1) 3 x =, mult. (x + ) x = 3/ (x + 3/) Q(x) = a 7 x(x 1) 3 (x + ) (x + 3/) Sustituir el punto Q( 1) = 8, para hallar la constante a 7 Q( 1) = a 7 ( 1)(( 1) 1) 3 (( 1) + ) (( 1) + 3/) Por lo tanto, 8 = a 7 ( 1)(1)(1/)( 8) 4a 7 = 8 a 7 = Q(x) = x(x 1) 3 (x + ) (x + 3/) 3 Graficar. R./ Q(x) = x(x 1) 3 (x + ) (x + 3/)

10 Tema 5: (15 puntos) Dado el siguiente polinomio: h(x) = 6x 6 3x 5 + 4x x 3 10x Entonces: a) Determine las posibles raíces racionales. b) Aplicando regla de signos de descartes, indique mediante una tabla las posibles combinaciones de raíces nulas, positivas, negativas y complejas del polinomio. c) Calcule las raíces del polinomio mediante división sintética. No EXPLICACION OPERATORIA h(x) = 6x 6 3x 5 + 4x x 3 10x h(x) = x (6x 4 3x 3 + 4x + 13x 10) Clasificar la función polinomial según su grado e identificar el coeficiente principal y término constante. NOTA: x = 0, raíz de multiplicidad Entonces: Donde: Grado=6 Coeficiente principal= 6 Término constante= 10 Utilizar el teorema de las raíces racionales ( p ), donde P es un factor q entero del término constante y q es un factor entero del primer coeficiente, con el cual con todos los cocientes posibles de cada factor se puede formar una lista de raíces raciones potenciales de P(x) P q = 10,5,,1 6,3,,1 x = {±10, ±5, ±, ±1, ± 5, ± 1, ± 10 3, ± 5 3, ± 3, ± 1 3 } Construir tabla de signos de descartes, evaluando las posibles raíces al determinar los cambios de signos de P(x) y de P( x) Para: P(x) = 6x 4 3x 3 + 4x 13x 10 3 posibles raíces positivas o 1.

11 Para: P( x) = 6x 4 + 3x 3 + 4x 13x 10 1 posible raíz negativa. Nulas (+) (-) (C) Total Se sabe que el polinomio posee 4 raíces racionales, por lo que ellas deberían encontrarse en la lista de posibles raíces. Para encontrarlas se utilizara la división sintética, comenzando por x = /3. El residuo cero indica r = P( /3) = 0, y así -/3 es una raíz de P(x) / x = /3 4 Se procede a comprobar con x = 1/, con el último polinomio de la división sintética del paso anterior. El residuo cero indica que r = P(1/) = 0, y así 1/ es una raíz de P(x) / x = 1/ 5. Resolver el polinomio de grado dos restante de la división sintética del paso 4 como una función cuadrática. 6x 4x + 30 = 0 x = ± i R. / x = 1/ x = /3 x = 0, multiplicidad x = ± i