I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas TEMA 6. POLINOMIOS

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1 TEMA 6. POLINOMIOS Una expresión algebraica es un conjunto de letras y números unidos por los signos matemáticos. Las expresiones algebraicas surgen de traducir al lenguaje matemático enunciados en los que aparecen datos desconocidos. Las letras que aparecen se llaman indeterminadas o variables y los números constantes o coeficientes. De entre las expresiones algebraicas destacan los monomios y los polinomios. Un monomio está formado por el producto de un número por una o varias letras que pueden estar elevadas a exponentes naturales. El monomio tiene una parte literal (las indeterminadas o variables) y una parte numérica (la constante o coeficiente) Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las indeterminadas. Ej: En el monomio 3x²y³ el coeficiente es 3, la parte literal es x²y³, y su grado es 5. En el monomio 5x², el coeficiente es 5, la parte literal x² y su grado es 2. Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal. Ej: Los monomios 2x²z y 4x²z son semejantes, pero no lo son 2x²z y 4xz². El valor numérico de un monomio es el número que resulta de sustituir las indeterminadas por números dados. Ej: El valor numérico de 2x² para x = 3 es 2 3² = 18. Para sumar dos monomios semejantes se deja la misma parte literal y se suman las partes numéricas. Si no son semejantes no se pueden sumar. Ej: 2x²z³ + 4x²z³ = 6x²z³. 2x²y+5xy³ no se pueden sumar. El resultado de multiplicar dos monomios es otro monomio obtenido multiplicando sus coeficientes y sus partes literales, respectivamente. Ej: 2x²z³ 4xz² = 8x³z 5. 3x 2x² 4x² = 24x 5. Un POLINOMIO es la suma de dos o más monomios. Cada uno de ellos se llama término del polinomio. Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados de sus términos. Ej: El polinomio 3x³ + 4x² - 5x + 7 está formado por 4 términos y su grado es 3. Su término independiente es 7 y su término principal es 3x³

2 El valor numérico de un polinomio es el número que resulta de sustituir las indeterminadas por números dados. Ej: El valor numérico del polimonio P(x) = 3x³ + 4x² - 5x +3 para x = 2 es: P(2) = 3 2³ + 4 2² = = 33. Operaciones con polinomios. Para sumar ( restar) dos polinomios se suman (o se restan) sus términos semejantes. Ej: (2x³ + 4x² -3x + 4 ) + ( x³ + 3x -5) = 3x³ + 4x² -1 (2x³ + 4x² -3x + 4 ) - ( x³ + 3x -5) = x³ + 4x² -6x +9. Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos los términos del otro y luego se agrupan los monomios semejantes obtenidos. Ej: ( 4x² -3x + 4 ) ( 3x -5) = 12 x³ - 20x² -9x² +15x +12x -20 = 12x³ -29 x² +27x -20. El resultado de dividir dos monomios es otro monomio obtenido dividiendo coeficientes y sus partes literales. Ej: 12x²z³ : 4xz² = 3xz. sus Para dividir dos polinomios debemos tener en cuenta: a) En el dividendo se dejan huecos por los términos que faltan. b) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor. c) Se multiplica el término obtenido en el apartado anterior por el divisor y se le resta al dividendo. d) Se repiten los pasos anteriores mientras el resto parcial sea de grado mayor o igual que el divisor. Ej: Veamos como se hace la división de 6x 4 +9x²+7x+40 entre 2x²-4x+5: 6x 4 +9x² + 7x 40 2x² - 4x + 5-6x x 3-15x 2 3x 2 + 6x x 3-6x 2 + 7x x x 2-30x 18x 2-23x x 2 +36x x - 5

3 Regla de Ruffini. Sirve para dividir polinomios cuando el divisor es del tipo x - a. Ejemplo: Para dividir ( 7x 4 11x 3 94x 7) : (x 3) se hace lo siguiente: Con lo que el cociente es: 7x 3 10x 2 30x 4 y el resto es -5 Identidades notables: Cuadrado de una suma: Cuadrado de una resta: Suma por diferencia: Cubo de una suma: Cubo de una resta:

4 Ejercicios 1. a) Halla el valor numérico de P(x) = 3x³+2x²- 4x+1 para x = 3. b) Halla el valor numérico de Q(x) = 4x ³-2x+3 para x= -2 c) Halla el valor numérico de Q(x) = 4x ³-2x+3 para x= ½ y para x = -2/3 2. Calcula P(X) + Q(x) en cada caso: a) P x 3x 3 2x 2 5x 3 y Q x 4x 2 3x 2 b) P x 3x 3 5x 2 5 y Q x 5x 2 2x 7 3. Calcula P(X) Q(x) en cada caso: a) P x 2x 2 5x 3 y Q x 4x 2 3x 2 b) P x x 3 5x 2 5 y Q x 5x 2 2x 7 4. Dados los polinomios P x x 3 2x 3 y Q x 4x 2 3x 2, calcula P(x)-2 Q(x) 5. Dados los polinomios: P 2x 3 6x 1, Q x 2 3x 2 y R 3x 4, calcula: a) Q R c) P Q e) (P + Q) R b) 2 P + Q d) P R f) P (Q - R) 6. Saca factor común en los siguientes polinomios: a) 2x + 4x² i) 18x+9x²-3x³ b) 5xy + 25y² j) 2x² +4x 4 c) 3x² +6x³ +9x 4 k) 5x x d) 3x 3 2x 2 5x l) 4x 100x 2 e) 2x 4 2x 3 4x 2 m) 45x x 90 f ) 100x 5 80x 4 16x 3 n) 3x 3 15x g ) 13x 3 3x ñ ) 36x 3 18x 2 9x h ) 81x 4 36x 2 o)20x 6 60x 4 30x 2 7. Realiza las siguientes divisiones: a) 6x 4 13x 2 49x 15 : (2x 2 4x 5) b) x 5 7x 4 x 3 8 : (x 2 3x 1) c) 4x 5 20x 4 28x 6 : (x 2 5x) d) ( 6x 4 3x 3 2x) : (3x 2 2) e) ( 3x 2 7x 5) : (x 2 x 1) f) ( x 3 x) : (x 2 1) g) ( x 5 7x 3 5x 1) : (x 3 2x) h) ( x 3 5x 2 x) : (x 2 1)

5 8. Realiza las siguientes divisiones: a) ( 5x 3 3x 2 5x 7) : (x 2 5) b) 6x 4 13x 2 49x 15 : (2x 2 4x 5) c) x 5 7x 4 x 3 8 : (x 2 3x 1) d) ( x 5 7x 3 5x 1) : (x 3 2x) e) ( x 3 5x 2 x) : (x 2 1) 9. Divide utilizando la regla de Ruffini (indica en cada caso el cociente y el resto): a) 5x 4 6x 2 11x 81 : (x 2) b) 6x 5 3x 4 2 : (x 1) c) 3x 4 5x 3 7x 2 2x 13 : (x 4) d) 5x 4 6x 2 11x 13 : (x 2) e) 6x 5 3x 4 2x : (x 1) f) 6x 4x 3 51x 2 3x 9 : (x 3) g) 3x 4 5x 3 8x 2 2x 16 : (x 2) h) 6x 3 3x 2 2x 11 : (x 1) 10. Factoriza los siguientes polinomios: a) x 3 2x 2 x 2 f)x 4 4x 2 b) x 3 x 2 5x 3 g)x 4 x 3 5x 2 x 6 c) x 3 4x 2 4x h)12x 3 27x d) x 3 13x 2 55x 75 i)3x 2 30x 75 e) x 4 2x 3 5x 2 6x 11. Calcula: a) (2x-3)² e) (2x-3) (2x+3) b) (2x+3)² f) (x-1)² c)(2x+3)³ g) (x-3)² d) (2x-3)³ h) (x-5)(x+5) 12. Completa las siguientes igualdades: a) (x + )² = x² b) ( - )² = + x² - 4x c) ( 2x - ) 2 = d) ( 3 + ) 3 = + 27x + + e) (x - ) 3 = - 12x 2 + -

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