Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras GRADO 4º

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1 TEMA. POLINOMIOS OPERACIONES. MONOMIOS Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras GRADO º COEFICIENTE PARTE LITERAL. VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por números y operar. Por ejemplo, el valor numérico de para = es = =. OPERACIONES CON MONOMIOS Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal. Por ejemplo 0,5 y 6, son semejantes. Suma y resta: Solo se pueden sumar monomios que sean semejantes. El resultado es otro monomio, semejante a ellos, cuyo coeficiente es la suma o resta de los coeficientes + = 5 + no se pueden sumar Producto de dos monomios: es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes, y cuya parte literal es el producto de las partes literales ( se suman los eponentes) ( ) (5 ) = 0 7 Potencia de un monomio: Elevaos al eponente indicado tanto los coeficientes como la parte literal. ( ) = = 6 División de monomios: El cociente de un monomio entre otro es un nuevo monomio de coeficiente igual al cociente de los coeficientes, y cuyo grado es la diferencia de los grados de los monomios que intervienen. IES ANTONIO CALVÍN

2 8 5. Dados los monomios A = 5, B = y C = 9, calcula.: a) A + B b) A B c) A d) A B e) B C f) B : C g) A : B h) (A B) C. POLINOMIOS Un polinomio es la suma de dos o más monomios GRADO DEL POLINOMIO TÉRMINO INDEPENDIENTE TÉRMINO PRINCIPAL Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios lo tenemos que hacer sumando los monomios semejantes Por ejemplo Sean A() = + 5 y B() = Calcula (A + B) y (A B) A + B IES ANTONIO CALVÍN

3 A() = B() = + -5 A() +B() = O lo que es lo mismo: ( + 5 )+ ( + -5) = = A - B A() = B() = A() (B() = O bien: ( + 5 ) - ( + -5) = = Para multiplicar: P() = + 5 y Q() = P() = + 5 Q() = P() Q() = Pero es mejor realizar la operación epresándola directamente: P() Q() = ( + 5 ) = = El producto de dos polinomios: Por ejemplo: P() = y Q() = - P() Q() PRODUCTO DE - POR P() PRODUCTO DE POR P() IES ANTONIO CALVÍN

4 P() Q() Y directamente : ( ) ( ) = = = ACTIVIDADES. Dados los polinomios P = + - y Q = - + -, calcula : a) P + Q b) P-Q c) P d) -P e) 5P Q. Efectúa los siguientes productos : a) ( + ) b) - ( ) c) ( 5 + 8) d) (6 + ) e) ( 8 + ) f) ( + ) IES ANTONIO CALVÍN

5 5. Si P = - + 6, Q = + y R = +, calcula : a) P Q b) Q R c) P R d) P Q R. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado : a) (5 ) ( + ) b) (6 + ) (- + -) c) (- + ) ( + ) d) ( ) ( + ) e) (6 + -) f) ( + 5 ) g) ( ) 5( + ) h) ( + ) ( - ) 6 Calcula y simplifica : a) ( + ) = ( +) (+) b) ( ) c) ( + ) d) ( + ) e) ( ) f) ( ) g) ( + + ) h) ( + ) IES ANTONIO CALVÍN 5

6 . IDENTIDADES NOTABLES Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor de la incógnita. Se llaman identidades notables a las tres siguientes: Cuadrado de una suma Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo (a + b) = a + b + ab Cuadrado de una diferencia Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo (a - b) = a + b - ab Suma por diferencia Es igual a la diferencia de cuadrados (a + b) (a - b) = (a - b ) Ejercicios resueltos. Calcular utilizando las identidades notables: a) ( + ) = () + + = b) ( ) = () + - = c) ( + ) ( - )= () = 9 - ACTIVIDADES 7. Calcula, utilizando las identidades notables: a) ( + ) = IES ANTONIO CALVÍN 6

7 b) ( ) = c) ( + ) = d) (5 + ) = e) (5 + y) = f) ( + ) ( ) = g) ( +) ( -)= h) ( -5) ( + 5)= i) ( + ) ( ) = j) k) l) m) 8. Simplifica: a) ( ) ( + ) b) ( 5) ( + 5) ( + 5). DIVISIÓN DE POLINOMIOS. La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtienen un cociente y un resto. Ejemplo: Vamos a dividir P() = entre Q()= En el dividiendo se dejan huecos por los términos que faltan.. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor: (6 ) : ( ) = IES ANTONIO CALVÍN 7

8 El producto de por Q(), cambiado de signo, se sitúa bajo el dividendo, y se suma: El primer resto parcial es A partir de aquí volvemos a proceder como el los apartados y = COCIENTE, C() = RESTO, R(X) El proceso se continúa mientras el grado del resto parcial obtenido sea mayor o igual que el grado de Q() Relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Si P() es el dividendo, Q() el divisor, C() el cociente y R() el resto, la relación entre ellos es: DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO P() = Q() C() + R() Cuando el resto es cero, R() = 0, la división es eacta. Ejercicios resueltos:. Efectuar la división de P() = entre Q() =, y epresar el resultado de la forma: P() = Q() C() + R() IES ANTONIO CALVÍN 8

9 Epresando el resultado de la forma P() = Q() C() + R() = ( ) ( ) +. Comprueba que la división de P() = entre Q () = + es eacta, y epresar el resultado de la forma siguiente: P() = Q() C() = ( + ) ( ) 9. Halla el cociente y resto de estas divisiones, y epresa el resultado de la forma P() = Q() C() + R(). a) ( ) : ( +) b) ( ) : ( + 5) c) (6 + ) : ( + ) d) ( ) : ( + ) IES ANTONIO CALVÍN 9

10 5. REGLA DE RUFFINI PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR (-a) La regla de Ruffini es un método sencillo para hacer divisiones en las que el polinomio divisor es de la forma -a, con a un número entero. Si el divisor es de la forma -a el valor de a es a positivo y si es de la forma +a, a es negativo. Por ejemplo En, a = En +7, a = -7 Si queremos dividir P()= entre Q()= - Para realizar la división:. Escribimos, solo, los coeficientes del dividendo P(), ordenados decrecientemente según su grado, poniendo un cero en el lugar correspondiente a cada uno de los términos que falten. A la izquierda de estos coeficientes y en otra fila, escribimos el valor de a VALOR DE a RESTO, COEFICIENTES DEL DIVIDENDO P(X) COEFICIENTES DEL COCIENTE C(). El primer coeficiente del cociente es igual al del dividendo Multiplicamos 7 y lo escribimos bajo el segundo coeficiente Sumamos: IES ANTONIO CALVÍN 0

11 Multiplicamos 0 y el resultado se coloca bajo el siguiente coeficiente y así hasta el final: RESTO COCIENTE: , significa El grado del polinomio cociente es una unidad menor que el grado del dividendo. RESTO: Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones y epresa el resultado de la forma: P() = ( a) C() + R a) ( ) : ( ) b) (6 5 + ) : ( + ) c) ( ) : ( ) d) ( ) : ( + ) ACTIVIDADES DEL TEMA. Indica cuál es el grado de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: a) IES ANTONIO CALVÍN

12 b) - c) d) e) f) g) h) i) 5 5. Calcula el valor numérico de cada uno de estos monomios para = -, para = y para = a) b) c) - d) e) f). Simplifica: a) b) + 5 c) d) 5 0 e) f) IES ANTONIO CALVÍN

13 . Dados los monomios A = -5, B = 0, y C =, calcula: a) A + B b) A - B c) A+ B d) A e) C f) A + C 8 g) A B h) A C i) B C j) B : A k) A : B l) B:C 5. Efectúa las siguientes operaciones y di cuál es el grado del monomio resultante: a) (- ) (-) b) (- ) 5 c) (- ) d) 5 e) (-) f) Efectúa las siguientes divisiones de monomios y di cuál es el grado de cada monomio resultante: a) (8 ) : ( ) b) ( 6 ) :() c) ( ) : ( ) d) (8 ) : ( ) IES ANTONIO CALVÍN

14 e) f) g) h) i) j) Indica cuál es el grado de los siguientes polinomios (recuerda que deben estar en forma reducida): a) + b) - + c) 8. Halla el valor numérico de estos polinomios para = 0, para = - y para =: a) + b) + c) + d) 9. Sean los polinomios: M () = 5 N () = Calcula: K() = a) M() + N() +K() b) M() N() c) M() + N() K() IES ANTONIO CALVÍN

15 0. Opera y simplifica: a) (5 ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( + 5) d) ( 5) ( + ) e) ( + ) ( + ) f) ( + ) ( + ) g) ( -) h) ( + ) i) ( + ) j) ( + ) k) ( + ) l) ( + ). Calcula, utilizando las identidades nobles: a) ( + ) b) ( ) c) ( + 5) ( 5) d) ( ) e) g) h) j) 5 5. Calcula el cociente y el resto en cada una de estas divisiones a) ( ) : ( + ) b) ( 5 + ) : ( ) IES ANTONIO CALVÍN 5

16 c) ( 5 + ) : ( ) d) ( 7 + 5) : ( + ). Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de cada división: a) ( + 5 ) : ( ) b) (- + + ) : ( + ) c) ( + ) : ( + ) d) ( 7) : ( ) e) ( ): ( + ) f) ( + 5 ) : ( ) g) ( + 0) : ( + ) h) ( + ) : ( ) i) ( 8) : ( ). Desarrolla y simplifica: a) ( ) +( - ) ( + ) b) ( ) ( + ) c) ( ) ( + ) ( ) d) (5 ) ( ) 5. Opera y reduce: a) b) 5 IES ANTONIO CALVÍN 6