POLINOMIOS Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS MATEMÁTICAS 3º ESO

Transcripción

1 POLINOMIOS Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS MATEMÁTICAS 3º ESO

2 Dado que los polinomios se utilizan para describir curvas de diferentes tipos, la gente los utiliza en el mundo real para dibujar curvas. Por ejemplo, los diseñadores de montañas rusas pueden utilizar polinomios para describir las curvas en sus paseos.

3 Las combinaciones de funciones polinómicas a veces se utilizan en economía para hacer los análisis de costos, por ejemplo.

4 Adicionalmente, los polinomios se utilizan en la física para describir la trayectoria de los proyectiles. Las integrales polinómicas (la suma de muchos polinomios) se pueden utilizar para expresar la diferencia de energía, la inercia y la tensión, por nombrar unas pocas aplicaciones.

5 Los gráficos por ordenador emplean funciones polinómicas para modelar los gráficos y reproducir la realidad en juegos, películas y dibujos.

6 Expresión algebraica Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras se llaman variables, incógnitas o determinadas.

7 EJEMPLOS Ejemplo de expresiones algebraicas ab 1 3 xy 2 2πr ab 3a ab 2

8 2. Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión. Radio: r S = πr 2 πr2 4 Para radio r=3 cm S = π(3) 2 π(3)2 4 = 21,20cm 2 Para radio r=5 cm S = π(5) 2 π(5)2 4 = 58,9cm 2

9 2. Valor numérico de una expresión algebraica Dos expresiones algebraica son equivalentes si los valores numéricos que toman para cualquier valor de sus variables son iguales. Radio: r Radio: r S = πr 2 πr2 4 S = 3πr2 4

10 Libro Savia Página 55 ejercicio 7 b a c a) Escribe la expresión algebraica que determina su área b) Escribe la expresión algebraica que determina su perímetro c) Calcula el valor numérico de ambas expresiones para a=10 cm, b=12 cm, c=9 cm

11 ÁREA T C b T Área de los triángulos: T = b h 2 = c b 2 Área del rectángulo: a Área total: A = C + 2 T = ba + cb c = b a + 2 c b 2 = b(a + c) = C = b a

12 PERÍMETRO Hipotenusa del triángulo: h 2 = c 2 + b 2 h h = c 2 + b 2 b Perímetro: P = 2 h + 2 a + 2 c P = 2 (h + a + c) P = 2 ( c 2 + b 2 + a + c) a c

13 VALOR NUMÉRICO Calcula el valor numérico de ambas expresiones para a=10 cm, b=12 cm, c=9 cm A T = b(a + c) h b P = 2 ( c 2 + b 2 + a + c) a c A T =12 (10 + 9) =12 (19) = 228cm 2 P = 2( ) = 2( ) = 68cm

14 EJERCICIO 24

15

16 EJERCICIO 38 Escribe la expresión algebraica que determina el área de la siguiente figura.

17

18 EJERCICIO 39 Escribe la expresión algebraica que determina el perímetro de la siguiente figura.

19 3. Monomios Un monomio es toda expresión de la forma ax k en la que podemos distinguir: a es un número denominado coeficiente x es una variable k es es un número natural llamado grado del monomio MONOMIO 1 5 x 3 y 2 Grado: Suma de los exponentes de todas sus variables: 3+2=5 Parte literal: variables y sus exponentes naturales Coeficiente: parte numérica

20 3. Monomios Determina cuáles de las siguientes expresiones son monomios y en su caso, el coeficiente, la parte literal y el grado. 2 3x 2 y 5 16 x 5 b 4 3 x SÍ NO SÍ NO Grado 7 Parte literal: x 2 y 5 Coeficiente: 3 Grado 1 Parte literal: b Coeficiente: 2/5

21 Monomios semejantes Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. 1 5 x 5 y 2 2x 5 y 2 Dos monomios son iguales cuando son semejantes y tienen el mismo coeficiente Estos dos monomios son semejantes dado que tienen la misma parte literal y distinto coeficiente

22 4. Polinomios Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios no semejantes Término principal Grado del polinomio: el mayor de los grados de sus términos P(x) = 8x 5 6x 4 3x 2 + x 2 Término de grado 2 Término independiente o término de grado cero Los polinomios suelen denotarse con una letra mayúscula seguida entre paréntesis de las variables que contiene P(x), A(x), R(x,y)

23 EJERCICIO Explica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios y cuáles no.

24 5. Suma y diferencia de polinomios Para sumar o restar polinomios basta con agrupar los términos del mismo grado y se deja indicada la suma o resta de los términos no semejantes. N(x) = 2x 2 + x M(x) = 3x 4 + x 3 + 5x N(x) + M(x) = 2x 2 + x + 3x 4 + x 3 + 5x = = 3x 4 + x 3 + 2x 2 + 6x

25 5. Suma y diferencia de polinomios EJEMPLOS P = x 5 + 2x 4 3x 2 + x 4 P = x 5 + 2x 4 3x 2 + x 4 Q = 3x 4 2 x 3 + 3x 2 + 2x Q = 3x 4 2 x 3 + 3x 2 + 2x P + Q = x 5 + 5x 4 2x 3 + 3x 4 P Q = x 5 x 4 + 2x 3 6x 2 x 4 El grado de P Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q

26 EJERCICIO *Ejercicio 26 página 82 Reduce términos en estas expresiones a) 3x 7y b) 3x 3 10z 3 c) 11xy 2 4yx 2 d) 2xy + x 4 EJERCICIO *Ejercicio 27 página 82 La suma de dos monomios es 10x 5 Cuáles son? Los del apartado b)

27 EJERCICIO *Ejercicio 28 página 82 Realiza las siguientes operaciones usando los polinomios proporcionados.

28 EJERCICIO *Ejercicio 29 página 82 Verdadero o falso? La suma de polinomios de grado n tiene siempre grado n.

29 6. Producto de un polinomio Para multiplicar polinomios basta aplicar la propiedad distributiva, la regla del producto de potencias, x k. x l = x k + l, y agrupar los términos del mismo grado P(x) = 6x 2 Q(x) = 3x 5 P(x) Q(x) = (6 3)x 2+5 =18x 7

30 Para multiplicar usando la propiedad distributiva multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término de segundo y reducimos los términos semejantes P(x) = 2x 2 + 3x 1 Q(x) = 5x 5 x P(x) Q(x) = ( 2x 2 + 3x 1) (5x 5 x) = 2x 2x 2 (5x 2 5 ( x) ) = 10x = 2x 73 = 10x 7 +2x 3 +15x 6 3x 2 5x 5 +x

31 P = 2x 3 + 3x 2 1 Q = x 2 5x + 2 distributiva P. Q = (2x 3 + 3x 2 1). x 2 + (2x 3 + 3x 2 1). ( 5x) + (2x 3 + 3x 2 1). 2 = distributiva = (2x 3. x 2 + 3x 2. x 2 1. x 2 ) + (2x 3. ( 5x) + 3x 2. ( 5x) 1. ( 5x) ) + + (2x x ) = = (2x 5 + 3x 4 x 2 ) + ( 10 x 4 15x 3 + 5x) + (4x 3 + 6x 2 2) = = 2x 5 7x 4 11x 3 + 5x 2 + 5x 2 regla de las potencias se agrupan los términos de igual grado El grado de P. Q es la suma de los grados de P y Q

32 7. Potencia de un polinomio Para hallar la potencia de exponente natural de un polinomio se multiplica el polinomio por sí mismo tantas veces como indica el exponente.

33 Ejemplos de identidades notables (2ax + b) 2 = (2ax + b) (2ax + b) = = 2ax 2ax + 2ax b + b 2ax + b b = = 4a 2 x 2 + 2axb + 2axb + b 2 = = 4a 2 x 2 + 4axb + b 2 =

34 Ejemplos de identidades notables (3a + b) 3 = (3a + b) (3a + b) (3a + b) = = (9a 2 + 3ab + 3ab + b 2 ) (3a + b) = = (9a 2 + 6ab + b 2 ) (3a + b) = = 27a 3 + 9a 2 b +18a 2 b + 6ab 2 + 3ab 2 + b 3 = = 27a a 2 b + 9ab 2 + b 3

35 Identidades notables

36 EJERCICIO *Ejercicio 44 Desarrolla las siguientes potencias de polinomios: (2x + y +1) 2 (2ab 1+ a) 2 (2a +1) 3 (1 3t) 3

37 EJERCICIO *Ejercicio 37 página 83 Extrae factor común en estas expresiones:

38 EJERCICIO En un cuadrado de lado x se aumenta la base en 3 unidades y se reduce la altura a la tercera parte. Halla el área del rectángulo resultante. X X/3 X+3 X A = (x + 3) x 3 = x x

39 EJERCICIO Escribe el polinomio que representa el volumen de un cilindro radio a +1 y altura a+2 Cuánto vale para a=0? r=a+1 V = πr 2 h = π(a +1) 2 (a + 2) h=a+2 V = π(a 2 + 2a +1) (a + 2) V = π(a 3 + 2a 2 + 2a 2 + 4a + a + 2) V = π(a 3 + 4a 2 + 5a + 2)

40 EJERCICIO Desarrolla los siguientes productos notables. (3a + 2xy) 2 = ( 5a ax 2 ) 2 = ( x + y 2 x) 2 = ( 2cx 2) 2 = ( 2a 3 ( ab) 3 ) 2 = ( 3a c 3 x) 2 =

41 EJERCICIO Desarrolla los siguientes productos notables. (a 3 b 2 6a 3 ) 2 = (a 3 xy) (a 3 + xy) = ( 5a 2 x y 3 ) 2 =

42 Ficha de trabajo productos notables

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44

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46 Producto de dos binomios con un término común Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes. (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab

47 EJERCICIOS Escribe un polinomio que cumpla las siguientes condiciones: A) Se llama P(x, y) B) Tiene 5 términos C) Es de grado seis D) No tiene término independiente

48 EJERCICIOS Escribe un polinomio que cumpla las siguientes condiciones: A) Se llama R(x) B) Tiene 3 términos C) Es de grado 5 D) Sus coeficientes suman 1

49 EJERCICIOS Dado el polinomio: : 6x 5 3x 3 + 4x 2 + 2x 7 Escribe: 1. Un nombre para él: 2. El grado del primer término: 3. El grado del segundo término: 4. El grado del tercer término: 5. El coeficiente del término de mayor grado: 6. El coeficiente del término independiente:

50 EJERCICIOS Dado el polinomio: : Calcula: 1. Q(3,-1) 2. Q(0, -2) 3. Q(-2, 2) Q(x,t) = 2x 2 t 3 xt 2 + 6

51 EJERCICIOS Dados los polinomios: Calcula: Q(x) = 2x 3 3x + 2 P(x) = x 4 + 3x 2 5 R(x) = 5x 4 2x 3 + 3x S(x) = 2x 1 Q(x) 2 P(x) = Q(x) S(x) R(x) = R(x) 2[Q(x) 2P(x)] =

52 División de polinomios Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales que P = Q. D + R Siendo grado(r) < grado(d)

53 Algoritmo de la división PRIMER PASO Se resta x 3. D 3x 5 + 8x 4 11x 2 3x + 6 3x 2 +2x 4 (3x 5 + 2x 4 4x 3 ) 6x 4 + 4x 3 11x 2 3x + 6 x 3 Cociente de los términos de mayor grado SEGUNDO PASO Se resta 2x 2. D 3x 5 + 8x 4 11x 2 3x + 6 3x 2 +2x 4 (3x 5 + 2x 4 4x 3 ) x 3 + 2x 2 6x 4 +4x 3 11x 2 3x + 6 (6x 4 + 4x 3 8x 2 ) 3x 2 3x + 6 Cociente de los términos de mayor grado TERCER PASO Se resta ( 1). D 3x 5 + 8x 4 11x 2 3x + 6 3x 2 +2x 4 (3x 5 + 2x 4 4x 3 ) x 3 + 2x 2 1 6x 4 + 4x 3 11x 2 3x + 6 (6x 4 + 4x 3 8x 2 ) 3x 2 3x + 6 ( 3x 2 2x + 4) cociente x + 2 resto Cociente de los términos de mayor grado

54 EJERCICIO *Pág. 95 ejercicio 8-10

55 EJERCICIO

56 EJERCICIO EJERCICIO

57 Regla de Ruffini La regla de Ruffini nos permite realizar la división entre dos polinomios utilizando un método más sencillo, siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones: El divisor debe tener la forma: x-a a debe ser un número real.

58 Regla de Ruffini Ejercicio: Cuáles de las siguientes divisiones se pueden realizar por Ruffini? (x 3 2x + 3) : (x + 2) (2x 3 x + 4) : (x 1) (x 4 x 2 + 3x) : ( x 2 1) (2x x + 3) : (x 1 2 ) Sí Sí NO Sí (x ( 2))

59 Regla de Ruffini ( 2x 3 6x 2 4x + 12) :(x 2) Coeficientes de P a 2 Se opera: se suma r se multiplica por a Hemos obtenido que: P = 2x 3 6x 2 4x + 12 = (2x 2 2x 8) (x 2) + ( 4)

60 EJERCICIO Divide usando la regla de ruffini.

61 EJERCICIO

62 EJERCICIO Ejercicio: Halla el valor de m para que la división siguiente sea exacta: (x 3 5x 2 2x + m) : (x 4) Si hacemos la división por ruffini tenemos que: m m-24 Por tanto la división será exacta si m=24

63 EJERCICIO *Pág. 96. Ej. 16 Realiza estas operaciones usando la regla de Ruffini y escribe el cociente y el resto.

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65 Teoremas del resto y del factor El teorema del resto permite conocer el resto de una división de un polinomio entre otro de la forma x-a, sin necesidad de realizarla El resto R de la división de un polinomio P(x) entre x-a es igual al valor numérico del polinomio en x=a, es decir: R=P(a)

66 Demostración del teorema del resto El teorema se puede deducir con facilidad partiendo de la definición de división. P(x) = d(x) C(x) + R P(x) = (x a) C(x) + R 0 Si calculamos P(a) P(a) = (a a) C(a) + R P(a) = R Como queríamos demostrar

67 Cuál es el resto de dividir P(x) entre d(x)? P(x) = x 3 + 7x 2 +12x +10 P(x) = d(x) C(x) + R x 3 + 7x 2 +12x +10 = (x + 5) C(x) + R Si calculamos P(-5) d(x) = x + 5 Es de la forma x-a? x-5=x-a? Sí para a=-5 x-a=x-(-5)=x+5 P( 5) = ( 5 + 5) C( 5) + R P( 5) = R P( 5) = ( 5) ( 5) ( 5) +10 = 0 R = 0

68 Teorema del factor El teorema del factor nos permite conocer los factores de la forma x-a de un polinomio. Este teorema es consecuencia directa del teorema del resto. Si el valor numérico del polinomio P(x) en x=a es 0, entonces P(x) tiene como factor x-a y por tanto P(x) puede escribirse de la forma P(x)=(x-a)C(x)

69 Dado el polinomio P(x), si se cumple que P(a)=0, sabemos por el teorema del resto que el resto de dividir P(x) entre x-a es 0: P(a) = 0 Resto de dividir P(x) entre x-a es 0 (R=0) P(x) = (x a) C(x) + R 0 P(x) = (x a) C(x) Es decir P(x) puede expresarse como un producto de factores. Uno de los cuales es (x-a)

70 EJERCICIO Estudia cuáles de las siguientes divisiones son exactas, sin realizar la división:

71 EJERCICIO Calcula el resto de esta división sin realizarla Usando el teorema del resto podemos asegurar que el resto de la división es: P(1)=3 EJERCICIO Utiliza el teorema del resto para calcularlo en estas divisiones:

72 EJERCICIO La división de P(x) = x 3 + 2x 2 + k entre x-3 da resto 0 Cuánto vale k? P( 3) = 0 ( 3) 3 + 2( 3) 2 + k = 0 k = ( 3) 3 2( 3) 2 = = 45

73 EJERCICIO Comprueba si x+1 es un factor de estos polinomios Por el teorema del resto sabemos que P(a) nos dará el resto de la división de P(x) entre x-a A(x) = 3x 4 2x 2 + x B(x) = 2x 2 + 3x C(x) = x 7 +1 D(x) = 2x 3 3x +1 A( 1) = 0 B( 1) = 5 C( 1) = 0 D( 1) = 2 SÍ NO SÍ NO

74 EJERCICIO d) e) f)

75 EJERCICIO Encuentra entre los siguientes factores los del polinomio P(x) = x 3 3x 2 6x + 8 a) x 1 b) x 3 c) x +1 d) x + 2

76 Raíces de un polinomio Las raíces o ceros del polinomio P(x) son los valores que lo hacen cero, es decir las soluciones de la ecuación P(x)=0 EJEMPLO Compruebas que las raíces del polinomio P(x)=x 2-4x+3 son x=1 y x=3 x=1 P(1)=(+1) 2-4(+1)+3=0 x=3 P(3)=(3) 2-4(3)+3=0

77 NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO Un polinomio de grado 1 tiene, como máximo, 1 raíz real. Un polinomio de grado 2 tiene, como máximo, 2 raíces reales. Un polinomio de grado 3 tiene, como máximo, 3 raíces reales. Un polinomio de grado 4 tiene, como máximo, 4 raíces reales. Un polinomio de grado 5 tiene, como máximo, 5 raíces reales. Un polinomio de grado n tiene, como máximo, n raíces reales.

78 Número de raíces de un polinomio Número de raíces de un polinomio: Un polinomio de grado n tiene, como máximo, n raíces reales. P(x) = x 3 + 2x 2 3x + 2 No puede tener solamente dos raíces reales Tiene que tener 3 raíces reales Tiene como máximo 3 raíces reales Puede tener 0, 1, 2 ó 3 raíces reales. Pero no más

79 Cálculo de las raíces enteras de un polinomio Si un polinomio de coeficientes enteros P(x) = 1 3 x3 2x 2 + 2x 3 P(x) = 2x 3 4x 2 + 3x 2 tiene raíces enteras No tiene todos los coeficientes enteros Tiene todos los coeficientes enteros Hay valores enteros que al sustituir la x por ellos hacen que el polinomio valga cero. Éstas son divisoras del término independiente P(x) = 2x 3 3x 2 + 5x 2 Por ejemplo para este polinomio de haber una raíz tendría que estar entre los divisores de -2 que son: 1, -1, 2 y -2

80 Cálculo de las raíces enteras de un polinomio Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras, estas son divisores del término independiente. Supongamos que el polinomio P(x) Observa la expresión que hemos obtenido P(x) = 2x 2 10x +12 ( 2a +10) = 12 a Dado que a es entero resulta obvio que también es un número entero. Por tanto el cociente exacto. 12 a = 12 a término independiente raíz entera del polinomio 2a +10 también tiene que ser Esto Si último bien esto lo que mismo hemos que desarrollado decir que la raíz no es entera una del demostración, polinomio P(x), este x=a proceso tiene que se puede ser divisora generalizar de 12 para (el término cualquier independiente) polinomio. Por tanto: Tiene una raíz entera a. P(a) = 0 P(a) = 2a 2 10a +12 = 0 ( 2a +10) a =12 ( 2a +10) = 12 a

81 EJERCICIO EJERCICIO

82 EJERCICIO

83 EJERCICIO 37 EJERCICIO 38

84 EJERCICIO

85 Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios de menor grado, de forma que su producto sea el polinomio dado. Cuando un polinomio no se puede descomponer en factores se dice que es un polinomio irreducible.

86 A qué debemos atender para factorizar un polinomio? 1 Extraer factor común 2 Buscar las raíces enteras Buscar factores comunes entre los términos del polinomio Probamos mediante ruffini con aquellos candidatos a raíces enteras del polinomio. Que como sabemos, son aquellos valores enteros divisores del término independiente. 3 Usar las identidades notables Comprobar si el polinomio es el resultado de desarrollar alguna identidad notable: (a+b) 2, (a-b) 2, (a-b)(a+b)

87 Ejercicio: Factoriza 1 Extraer factor común 2 Buscar las raíces enteras P(x) = 2x 4 14x x 2 18x Buscar factores comunes entre los términos P(x) = 2x (x 3 7x 2 +15x 9) del polinomio Probamos mediante ruffini con aquellos candidatos a raíces enteras del polinomio Que como sabemos, son aquellos valores enteros 1 divisores -6 del término +9 independiente. 0 3 Usar las identidades notables Comprobar si el polinomio es el resultado de desarrollar (x 2 6x alguna + 9) identidad = (x 3) 2 notable: (a+b) 2, (a-b) 2, (a-b)(a+b) P(x) = 2x (x 1)(x 3)(x 3)

88 EJERCICIO Factoriza: P(x) = 3x 5 24x x 3 84x x P(x) = 3x (x 4 8x x 2 28x +12) (x 2 4x + 4) = (x 2) 2 P(x) = 3x (x 1)(x 3)(x 2) 2

89 41 EJERCICIO

90 41 EJERCICIO

91 42 EJERCICIO

92 EJERCICIO Escribe en cada apartado un polinomio que cumpla: 1) Tenga grado 2 y como factor (x-5) 2) Tenga una raíz doble y grado 3

93 EJERCICIO Escribe un polinomio P(x) con las siguientes características: x 1 Es factor de P(x) Tiene una raíz doble Tiene grado 3 Término independiente 12 ( x 1) ( x 1) = x 2 2x +1 (x 2 2x +1) (x +1) = x 3 x 2 x +1 ( ) =12x 3 12x 2 12x x 3 x 2 x +1 Hacemos que (x-1) sea factor y que tenga una solución doble. Grado 3 Si multiplicamos por 12, el polinomio es diferente pero tiene las mismas soluciones.

94 43 EJERCICIO 45 EJERCICIO

95 49 EJERCICIO

96 50 EJERCICIO

97 52 EJERCICIO

98 53 EJERCICIO

99 54 EJERCICIO

100 55 EJERCICIO

101 61 EJERCICIO k = 3 k = 6 k = 7

102 62 EJERCICIO

103 63 EJERCICIO

104 64 EJERCICIO

105 69 EJERCICIO

106 73 EJERCICIO

107 75 EJERCICIO

108 MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA Polinomios