EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomios, Polinomios

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1 EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomios, Polinomios CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Se denomina expresión algebraica a toda combinación de números reales y letras ligadas por las operaciones aritméticas de, adición, sustracción, multiplicación, división, y, potenciación. P(x,y,z,t)= 3x y + 4zt Expresión algebraica de 4 variables Las letras que constituyen una expresión algebraica reciben el nombre de variables. Se llama valor numérico de una expresión algebraica al número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar la operación combinada que resulta de dicha expresión. P(x=1, y=, z= -1, t= -3)= (-1).(-3)= (-1).(-3)= 6 + 1= 18 Dos expresiones algebraicas son equivalentes si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor que se le asigne a las letras que la forman. Se llama monomio entero a toda expresión algebraica en la que las únicas operaciones que intervienen con letras son la multiplicación y la potenciación de exponente natural. -9ab x 3 Todo monomio tiene los siguientes elementos: Parte numérica o coeficiente -9 Parte literal Formada por las letras junto con sus exponentes ab x 3 Grado del monomio Es la suma de todos los exponentes de las letras o variables que forman su parte literal. -9 a 1 b x 3 grado 6= Grado del monomio respecto de una variable coincide con el exponente de dicha variable -9ab x 3 grado 3 para la letra, x -9x 1 ab x 3 grado 4= 1+3 para la letra, x, pues se puede escribir -9ab x 4 Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Dos monomios semejantes que tengan el mismo coeficiente se dicen iguales o equivalentes. Dos monomios semejantes que tengan coeficientes opuestos se dicen opuestos. -9ab x 3 + 9ab x 3 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 89

2 Con los monomios se definen las operaciones de: Sumar La suma de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los monomios sumados. xy + 3xy= ( + 3)xy= 5xy La suma de dos monomios no semejantes es un binomio o en general un polinomio formado por la suma de dichos monomios. xy + 3x y Restar La resta de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la diferencia de los coeficientes de los monomios sumados. xy - 3xy= ( - 3)xy= -1xy= -xy La resta de dos monomios no semejantes es un binomio formado por la diferencia de dichos monomios. xy - 3x y Multiplicar El producto de dos monomios es otro monomio que tiene: Como coeficiente el producto de sus coeficientes. Como parte literal las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la suma de los exponentes que dichas letras tienen en los monomios factores. xy. 3x yz=.3 x.x.y.y.z= 6x 1+ y 1+1 z= 6x 3 y z Dividir El cociente de dos monomios es otro monomio que tiene: Como coeficiente el cociente de sus coeficientes. Como parte literal las letras que aparecen en el dividiendo cada una con exponente igual a la diferencia del exponente de dicha letra en el dividendo y en el divisor. 8x yz xy = 8 x y.. x y.z= 4.x-1.y 1-1.z= 4x 1 y 0 z= 4xz Un polinomio entero es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios enteros, pudiendo tener una o más variables. Se denomina polinomio de una variable a una expresión algebraica de la forma P(x)= a n x n + a n-1 x n a i x i a x + a 1 x + a 0 a i Coeficiente del polinomio en grado, i a n Coeficiente principal a 0 Término independiente polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 90

3 Todos los exponentes de la variable, x, son números naturales En todo polinomio se distingue: Término Cada uno de los sumandos o monomios que forman su expresión. xy + 3yt + 5x y Grado Es el mayor de los grados de los monomios que forman al polinomio. xy + 3yt + 5x y Polinomio de 3 variables de grado 3 xy grado 1 + 1= 3yt grado 1 + 1= El polinomio xy + 3yt + 5x y tiene grado 3 5x y grado + 1= 3 Si el polinomio es de una variable es el mayor exponente al que aparece elevado la misma. 5x 3 4x + x 7 5x 3 grado 3-4x grado El polinomio 5x 3 4x + x 7 tiene grado 3 x grado 1-7 grado 0 Se llama valor numérico del polinomio, P(x), en, x= b, al número real definido de la forma: P(b)= a n b n + a n-1 b n a b + a 1 b + a 0 que es el número que se obtiene al sustituir las variable, x, del polinomio por el valor, x= b, y efectuar la operación combinada que resulta. P(x)= 5x 3 4x + x 7 P(-1)= 5.(-1) 3 4.(-1) +.(-1) - 7= 5.(-1) - 4.(1) +.(-1) - 7= = -18 Con los polinomios se definen las operaciones de: Sumar La suma de polinomios de una misma variable da como resultado otro polinomio de esa misma variable, cuyos términos se obtienen por la suma de los monomios semejantes que constituyen los términos de los polinomios sumados. (6x 4-5x 3-7x - 3x + ) + (-x 3 + x x - ) 6x 4-5x 3-7x - 3x + + -x 3 + x x - 6x 4-6x 3-5x - 4x +0 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 91

4 Restar La resta de dos polinomios de una misma variable da como resultado otro polinomio de esa misma variable, cuyos términos se obtienen por la resta de los monomios semejantes que constituyen los términos de los polinomios restados. (6x 4-5x 3-7x - 3x + ) - (-x 3 + x x - ) 6x 4-5x 3-7x - 3x + - -x 3 + x x - 6x 4-4x 3-9x - x + 4 La suma y resta de polinomios da como resultado un polinomio de grado menor o igual al mayor de los polinomios sumados o restados. Multiplicar La multiplicación o producto de dos polinomios de una misma variable da como resultado otro polinomio de esa misma variable resultado de sumar los polinomios que resultan al multiplicar todos los monomios ó términos del primer polinomio por cada uno de los monomios ó términos del segundo polinomio. Basta pues multiplicar cada monomio de uno de ellos por cada uno de los monomios del otro reduciendo después los monomios semejantes obtenidos mediante las operaciones de sumar y restar. (6x 4 + 5x 3-7x + 3x + ). (x + 3x - 1) 6x 4 + 5x 3-7x - 3x + x + 3x - 1-6x 4-5x 3 + 7x + 3x - 18x 5 +15x 4-1x 3-9x + 6x 1x x 5-14x 4-6x 3 + 4x. 1x 6 + 8x 5-5x 4-3x 3 + x + 9x - El producto de dos polinomios da como resultado un polinomio de grado igual a la suma de los grados de los polinomios multiplicados. Si se suman dos polinomios del mismo grado. Cuál es el grado del polinomio resultante?. de grado menor o igual al grado de los polinomios sumados Dados los polinomios, P= (1,-4,3,3,-3,), Q= (1,-1,-9,-1), R= (,0,3,-4,5), S= 5x -3x+4. Hallar P+R-Q ( 1, -4, 3, 3, -3, ) (, 0, 3, -4, 5) (1,-1,-9,-1) ( 1, -,, 7,, 19) R.S x 4 + 0x 3 + 3x - 4x + 5 5x - 3x + 4 8x 4 + 0x 3 +1x -16x+0-6x 5 + 0x 4-9x 3 +1x -15x 10x 6 +0x 5 +15x 4-0x 3 + 5x. 10x 6-6x 5 +3x 4-9x x 31x+0 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 9

5 Dados los polinomios, P(x)= -7x 4 +6x +6x+5, Q(x)= 3x 5 -x +, R(x)= -x 5 +x 3 +3x. Hallar: P(x)+Q(x)+R(x)= (-7x 4 +6x +6x+5)+(3x 5 -x +)+(-x 5 +x 3 +3x )= x 5-7x 4 +x 3 +7x +6x+7 P(x)-Q(x)= (-7x 4 +6x +6x+5)-(3x 5 -x +)= -3x 5-7x 4 +8x +6x+3 P(x).Q(x)= (-7x 4 +6x +6x+5).(3x 5 -x +)= -1x 9 +18x 7 +3x 6 +15x 5-6x 4-1x 3 +x +1x+10 [P(x)-Q(x)].R(x)= [(-7x 4 +6x +6x+5)-(3x 5 -x +)].(-x 5 +x 3 +3x )= (-3x 5-7x 4 +8x +6x+3).(-x 5 +x 3 +3x )= x 10 +7x 9-3x 8-4x 7-7x 6 +5x 5 +30x 4 +1x 3 +9x [P(x)-R(x)].Q(x)= [(-7x 4 +6x +6x+5)- (-x 5 +x 3 +3x )].(3x 5 -x +)= (x 5-7x 4 -x 3 +3x +6x+5).(3x 5 -x +)= 3x 10-1x 9-3x 8 +7x 7 +3x 6 +19x 5-0x 4-14x 3-4x +1x+10 Dados los polinomios, P(x)= x 3 +6x, Q(x)= x -x+3, R(x)= -x 5 +x -1. Hallar: P(x)+Q(x)-R(x)= (x 3 +6x)+(x -x+3)-(-x 5 +x -1)= x 5 +x 3 +4x+4 P(x)-[Q(x)-R(x)]= (x 3 +6x)-[(x -x+3)-(-x 5 +x -1)]= (x 3 +6x)-(x 5 -x+4)= -x 5 +x 3 +8x-4 -[P(x)-[Q(x)+R(x)]]= -P(x)+Q(x)+R(x)= -(x 3 +6x)+(x -x+3)+(-x 5 +x -1)= -x 5 -x 3 +x -8x+ Restar al polinomio, 6x 4-5x 3-7x - 3x +, el polinomio, -x 3 + x x - 6x 4-5x 3-7x - 3x + -x 3 + x x - 6x 4-4x 3-9x - x + 4 Hallar: (-x 3 +x +x-1) (x 3 +x -x-1)= -x 3 +x +x-1 x 3 -x +x+1= -3x 3 +x Multiplicar los polinomios, (6x 4 + 5x 3-7x + 3x + ), y, (x + 3x - 1). 6x 4 + 5x 3-7x - 3x + x + 3x - 1-6x 4-5x 3 + 7x + 3x - 18x 5 +15x 4-1x 3-9x + 6x 1x 6 +10x 5-14x 4-6x 3 + 4x. 1x 6 +8x 5-5x 4-3x 3 + x + 9x - Hallar: (x 3 -x +3x-1). (x-1)= x 4 -x 3 +3x -x x 3 +x -3x+1= x 4 -x 3 +4x -4x+1 Sabiendo que el grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios, di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: El grado de la suma de dos polinomios es la suma de sus grados Falsa El grado del producto de dos polinomios es igual al producto de sus grados Falsa El grado de un producto de polinomios coincide con la suma de los grados Verdadera polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 93

6 Hallar y simplificar la expresión señalando su grado y su término independiente (x 3-3x+).(x+1) (x+).(x +x+3)= (x 4 +x 3-3x -x+)-(x 3 +3x +5x+6)= x 4 +x 3-6x -6x-4 Dividir Para dividir dos polinomios de una misma variable es preciso que ambos sean: Polinomios no nulos. El polinomio dividendo tenga un grado mayor o igual que el polinomio divisor. entonces existen dos polinomio de esa misma variable uno llamado polinomio cociente, C(x), y el otro llamado polinomio resto, R(x), que junto con los polinomios dividendo, D(x), y divisor, d(x), verifican la regla de la división que permite comprobar que ésta es correcta. D(x) d(x). R(x) C(x) D(x)= d(x).c(x) + R(x) Si el polinomio resto, r(x), es nulo, r(x)= 0, la división es exacta y entonces se dice que el polinomio dividendo es divisible o múltiplo del polinomio divisor, y éste a su vez se dice que es un factor del polinomio dividendo. x 4 +3x -4x+5 : x -3x+4 x 4 + 3x -4x +5 x -3x+4. -x 4 + 6x 3-8x x + 6x x 3-5x -4x +5-6x 3 +18x -4x. 13x -8x x +39x -5 11x - 47 Dividir los polinomios x 4 +3x -4x+5 : x -3x+4 x 4 +3x -4x +5 x -3x+4 -x 4 +6x 3-8x x +6x+13 6x 3-5x -4x +5-6x 3 +18x -4x. 13x -8x+5-13x +39x-5 11x-47 6x 5 + 7x 4 + 8x 3 + 8x + 7x 9 3x x + 4 6x 5 + 7x 4 + 8x 3 + 8x + 7x 9 3x x x 5 + x 4 8x 3 x 3 + 3x + x 1 9x 4 +8x + 7x 9-9x 4 +3x 3 1x. 3x 3-4x + 7x 9-3x 3 +x - 4x. -3x + 3x -9 3x - x + 4 x 5 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 94

7 Dividir los polinomios x 3 -x -9x-1 : x -x- x 3 -x -9x-1 x -x- -x 3 +x +x x -7x-1 x 3-3x - 5x - 5 x - x - 1 x 3-3x - 5x - 5 x - x - 1 -x 3 + 4x +x +x+1 x - 3x - 5 -x +x +1 -x -4 x 3-3x + 4x - 3 x 1 x 4 +1 x +1 x 3-3x + 4x - 3 x 1 -x 3 + x x-3-3x + 6x -3 +3x -3 6x 6 x 4 +1 x +1 -x 4 -x x -1 -x +1 x +1 x 4-3x + 3x - 4 x + x + 1 x 9-1 x + 1 x 4-3x + 3x - 4 x + x + 1 -x 4 -x 3 - x +x -x-3 -x 3-5x + 3x - 4 x 3 +x + x. -3x +5x x +3x x - 1 x 9-1 x + 1 -x 9 -x 7. x 7 -x 5 +x 3 -x -x 7-1 x 7 +x 5. x 5-1 -x 5 -x 3. -x 3-1 x 3 +x. x -1 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 95

8 x 6 -x 5-4x 4 + 5x 3 x - x 6 -x 5-4x 4 + 5x 3 x - -x 6 +4x 4 +x 4 -x 3 +3x -x 5 +5x 3 x 5 -x 3 +3x 3-3x 3 +6x +6x x 5-5x 4 + 0x - 16x x x 8 x 5-5x 4 + 0x - 16x x x 8 -x 5 +x 4 + 8x 3 x 3-3x +x -3x 4 + 8x 3 + 0x 16x +3x 4 6x 3-4x + x 3 4x 16x - x 3 + 4x + 16x 0 x 5-4x 4 + 3x 3 + 3x - 3x + : x x - x 5-4x 4 + 3x 3 3x + x x -x 5 + x 4 + x 3 x 3-3x +x-4-3x 4 + 5x 3-3x - +3x 4 3x 3-6x. + x 3 6x 3x - - x 3 + x + 4x. - 4x + x - + 4x - 4x 8-3x - 10 x 5-4x 3 + x - 5x - 7 : x 3-5x + 1 x 5-4x 3 + x - 5x - 7 x 3 5x + 1 -x 5 +5x 3 - x x +1 x 3 + x 5x - 7 x 3 + 5x - 1 x 8 6x 4 + 5x 3-7x + 3x + : x + 3x - 1 6x 4 + 5x 3-7x + 3x + x + 3x 1-6x 4-9x 3 + 3x 3x -x+1-4x 3-4x + 3x + +4x 3 +6x - x. + x x + - x - 3x + 1-4x + 3 Si un polinomio de grado 5 se divide un polinomio de grado 3. De qué grado es el polinomio cociente y el polinomio resto?. el polinomio cociente es de grado y el polinomio resto es de grado menor que 3. polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 96

9 Si el polinomio divisor, d(x), es un polinomio de grado, 1, es decir de la forma d(x)= x±a ar entonces la división entre el polinomio dividendo, D(x), y el polinomio divisor, d(x), puede hacerse de forma más rápida utilizando la regla de Ruffini Se escribe los términos del polinomio dividendo, D(x), en orden decreciente de grado. Se escriben sus coeficientes así ordenados con su signo correspondiente. Si alguno de ellos faltase en su lugar se pondría un cero. Se escribe a un lado el término independiente del polinomio divisor, Q(x), con su signo cambiado. Se opera siguiendo las flechas con las operaciones por ellas indicadas. D(x)= -x 4 -x 3 +x +x Polinomio dividendo d(x)= x- Polinomio divisor de grado, C(x)= -x 3-4x -7x-13 Polinomio dividendo x R(x)= 6 Polinomio resto Para que valor de p es divisible por, x - 5, el polinomio, 3x px p p 3 15-p 85-5p 85-5p= 0; p= 85= 17 5 Hallar m para que sea divisible por, x + 1, el polinomio, 5x 3 + 4x mx m m m m+= 0; m= - Hallar, m, para que el polinomio 3x 3-7x - 9x - m sea divisible por, x= m m-9= 0; m= -9 Para que valor de m el polinomio 5x 4-7x 3 + x + 4x + m al dividirlo por (x + ) tiene de resto m m+144= 130; m= -14 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 97

10 Hallar, b, para que sea exacta la división 5x 4-3x + 7x + b : x b b+13= 0; b= -13 Hallar, m, para que el resto sea 184 en la división 3x 6 + mx - : x m m m m= 184; m= 6; m= 3 Hallar el resto de la división 5x 4-3x + 6x 1 : x Hallar m para que x+ sea un factor del polinomio x 3-7x-m -7 -m m+6= 0; m= 6 Hallar b para que el resto de la división de los polinomios x 3 -bx +x-1 : x+1 sea 4 1 -b b+1 -b- 1 -b-1 b+ -b-3= 4; -b= 7; b= -7 Hallar a y b para que el polinomio x +ax+b sea divisible por x+1 y tenga de resto, 6, al dividirlo por x-1 1 a b 1 a b a a+1 1 a-1 -a+b+1= 0 1 a+1 a+b+1= 6 resolviendo el sistema -a + b= -1 a + b= 5 b= 4; b= a+= 5; a= 3 Hallar m para que x+ sea un factor del polinomio x 3-7x-m -7 -m m+6= 0; m= 6 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 98

11 Hallar b para que el resto de la división de los polinomios x 3 -bx +x-1 : x+1 sea 4 1 -b b+1 -b- 1 -b-1 b+ -b-3= 4; -b= 7; b= -7 Hallar el cociente y el resto de la división x 3-7x+6 : x Resto, 1 Cociente, x -x+-3 Hallar el valor de k sabiendo que es 8 el resto de la división 4x 3 kx + 8 : x k k k k k= 8 3k= 8+100= 108 k= = 36 Hallar los valores de los coeficientes a y b para que el polinomio x 3 + x - ax + b sea divisible por x-3 y x a b a a 45+b-3a b-3a= -45 -b+3a= 45 b+a= -1 b + a= a b 4a= 44 a= a b+11= -1 b= a 1+b+a Dividir los polinomios: x 6 +1 : x x x x x + 1 x + 1 x 3 +x +x-3 : x x + 0 x x 4-3x +x-5 : x x x + 4 x +6 1 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 99

12 -x 3 +5x-6 : x x +4 x x 4-5x 3 +x -x+7 : x x 3-9 x 11 x x 3-3x -5x-5 : x x +1 x x 3-3x +4x-3 : x x -1 x 3 0 x 4 +x 3 -x +x+1 : x x 3 0 x -1 x -1 4x 5-3x 4 +x 3 -x -x+1 : x x 4-11 x 3 +4 x -49 x Hallar el valor que debe tomar a para que x 5-4x -x+a sea divisible por x a a-4 a-4= 0 a= 4 Dividir los polinomios 4x 4-5x 3 +x -x+7 : x x 3-9 x 11 x x 3-3x -5x-5 : x x +1 x polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 100

13 x 3-3x +4x-3 : x x -1 x 3 0 x 4 +x 3 -x +x+1 : x x 3 0 x -1 x -1 4x 5-3x 4 +x 3 -x -x+1 : x x 4-11 x 3 +4 x -49 x La regla de Ruffini permite deducir: Teorema del resto El resto de la división de un polinomio, D(x), por el binomio, x-a, coincide con el valor numérico de dicho polinomio, D(x), para, x= a. D(x) x-a R c(x) R= D(a) Se verifica la prueba de la división D(x)= (x-a).c(x)+r c(x) R Polinomio cociente Número real o polinomio resto de grado, 0, por ser el polinomio divisor, d(x), de grado 1 El valor numérico del polinomio, P(x), en, x= a, viene dado por la expresión D(a)= (a-a).c(a)+r= 0.c(a)+R= 0+R= R Este teorema permite obtener el resto de la división de un polinomio por, x-a, sin necesidad de realizar la división. Raíces o ceros de un polinomio Un número real, ar, es una raíz o un cero del polinomio, D(x), si su valor numérico para, x= a, es cero, es decir, D(a)= 0 Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado, n, tiene a lo sumo, n-raíces reales. Teorema de Ruffini Las raíces enteras del polinomio, D(x), dividen a su término independiente. polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 101

14 Sea D(x)= a n x n +...+a x +a 1 x+a 0 b Polinomio de coeficientes enteros Raíz del polinomio, D(x) se verifica D(b)= a n b n +...+a b +a 1 b+a 0 = 0 despejando de dicha expresión el término independiente, a 0 a 0 = -a n b n -...-a b +a 1 b sacando, -b, factor común es esta expresión a 0 = -b.(a n b n a b+a 1 ) de donde se deduce que la raíz, b, divide al término independiente, a 0 a 0 = -(a n b n a b+a 1 ) b Factorización de un polinomio Factorizar un polinomio, D(x), es descomponerlo en producto de dos o más polinomios de menor grado que el suyo, llamados factores. Un polinomio, D(x), de grado mayor o igual a la unidad se dice irreducible si no se puede descomponer en producto de factores de grado mayor o igual a la unidad. Un polinomio, D(x), de grado mayor a la unidad que tenga alguna raíz, no es irreducible, y por lo tanto se puede descomponer en producto de polinomios irreducibles. Sea D(x)= a n x n +...+a x +a 1 x+a 0 a 1 a... a n Polinomio de grado n Raíz de D(x) Raíz de D(x) Raíz de D(x) Dado que, a 1, es una raíz del polinomio, D(x), el valor numérico del polinomio en, x= a 1, es cero D(a 1 )= 0 Por el teorema del resto se puede escribir D(x)= (x-a 1 ).c 1 (x)+r= (x-a 1 ).c 1 (x) R= 0 al ser, a 1, una raíz del polinomio, D(x) Comparando los grados de los polinomios, D(x), y, c 1 (x), se deduce que el polinomio, c 1 (x), tiene un grado una unidad inferior al grado del polinomio, D(x). Dado que, a, es otra raíz del polinomio, D(x), el valor numérico del polinomio en, x= a, es cero polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 10

15 D(a )= 0= (a -a 1 ).c 1 (a ) como en general a a 1 para que se cumpla la expresión anterior ha de ser c 1 (a )= 0 es decir, a, es una raíz del polinomio, c 1 (x), por lo que se puede aplicar a este polinomio, c 1 (x), el teorema del resto c 1 (x)= (x-a ).c (x)+r R = 0 al ser, a, una raíz del polinomio, c 1 (x) El grado del polinomio, c (x), es una unidad inferior al grado del polinomio, c 1 (x), y dos grados inferiores al grado del polinomio, D(x). Se tiene pues D(x)= (x-a 1 ).(x-a ).c (x) Generalizando el resultado para, n-raíces, en general distintas D(x)= (x-a 1 ).(x-a )...(x-a n ).c n (x) Por simple comparación de los grados de los polinomios a ambos lados de la igualdad se deduce que el grado del polinomio, c n (x), es nulo, es decir dicho polinomio es una constante. Es, (x-), un factor del polinomio, x 4 - x 3 + x - 3x x 4 -x 3 +x -3x+= (x-)(x 3 +x-1) sí lo es Factorizar el polinomio: x 4 - x 3-16x + x x 4 -x 3-16 x +x+15= (x-1)(x+1)(x+3)(x-5) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 103

16 x 4 + x 3 - x x 4 +x 3 -x-1= (x-1)(x+1) x 3 + x x x 3 +x x-= (x-1).(x+1).(x+) x 3 - x - 4x x 3 x -4x+4= (x-1).(x-).(x+) x 3-7x x 3 7x+6= (x-1).(x-).(x+3) x 4 +x 3-1 x -18x x 4 +x 3-1 x -18x+7= (x-1)(x-3)(x+3) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 104

17 x 4 +x 3-1x -18x x 4 +x 3-1 x -18x+7= (x-1)(x-3)(x+3) x 3 3x - 6x x 3 3x - 6x + 8= (x-1).(x+).(x-4) x 3 -x -x x 3 -x -x+= (x-1).(x+1).(x-) x 4 -x 3-13x +x x 4 +x 3-1 x -18x+7= (x-1).(x+1).(x+3).(x-4) x 5 -x 4 -x 3 +x x 5 -x 4 -x 3 +x = (x-0)(x-0)(x-1)(x+1)(x-)1= x.x.(x-1).(x+1).(x-).1= x.(x-1).(x+1).(x-) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 105

18 x 5-1x 4 +36x 3 x x 5-1x 4 +36x 3 = (x-0).(x-0).(x-0)(x-6).(x-6).1= x.x.x.(x-6).(x-6).1= x 3.(x-6) x 3-1= (x-1).(x +x+1) x + 1 x + x x 5-1= (x-1).(x 4 +x 3 +x +x+1) x x 3 +1 x +1 x + x x 6-1= (x-1).(x+1).(x 4 +x +1) x x 3 +1 x + 0 x + x 4 +x x 4 +x -3= (x-1).(x+1).(x +3) x + 0 x +3 0 x 3 -x -61x x 3 -x -61x-30= (x+5).(x-6).(x+1) x + polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 106

19 x 3-1x +41x-30 los divisores del término independiente son: 1,,3,5,6,10, x 3-1x +41x-30= (x-1).(x-5).(x-6) x 3-8x -x+ los divisores del término independiente son: 1, x 3-8x -x+= (x-).(4x -1) x + 0 x - 8x 4-30x 3 +13x +18x-9 los divisores del término independiente son: 1,,3, x 4-30x 3 +13x +18x-9= (x-1).(x-3).(8x +x-3) x + x -3 0 x 4 +3x 3-7x -7x-18 los divisores del término independiente son: 1,,3,6,9, x 4 +3x 3-7x -7x-18= (x+1).(x+).(x+3).(x-3) x 3 +11x-6 los divisores del término independiente son: 1,,3,6 ninguno de los divisores del término independiente es raíz del polinomio este polinomio no se puede factorizar. x 3 +11x-6= x 3 +11x-6 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 107

20 x 3-3x -4x+1 los divisores del término independiente son: 1,,3,4,6, x 3-3x -4x+1= (x-).(x+).(x-3) máximo.común.divisor. de dos polinomios Sea P(x), Q(x) Polinomios factorizados en sus factores irreducibles El m.c.d. de los polinomios, P(x), y, Q(x), está formado por el producto de todos los factores comunes a ambos polinomios cada uno con el mínimo exponente con que aparece. mínimo.común.múltiplo. de dos polinomios Sea P(x), Q(x) Polinomios factorizados en sus factores irreducibles El m.c.m. de los polinomios, P(x), y, Q(x), está formado por el producto de todos los factores presentes, comunes o no, a ambos polinomios cada uno con el máximo exponente con que aparece. Cuando los polinomios, P(x), y, Q(x), no estén factorizados en sus factores irreducibles el m.c.m. se obtiene a partir de la expresión: m.c.m.[p(x),q(x)]= P(x).Q(x). m.c.d.[p(x),q(x)] De la división de dos polinomios también se deduce una teoría que determina quienes son sus divisores comunes Los divisores comunes de los polinomios, P(x), y, Q(x), son los mismos que los divisores comunes de los polinomios, Q(x), y, R(x), siendo el polinomio, R(x), el polinomio resto de la división de los polinomios, P(x), y, Q(x). Sea P(x), Q(x) b(x) Polinomios tales que, grado P(x) > grado Q(x) Divisor común de los polinomios, P(x), y, Q(x) Si se divide el polinomio, P(x), entre el polinomio, Q(x), y se aplica la prueba de la división se escribe P(x)= Q(x).C(x)+R(x) de donde R(x)= P(x)-Q(x).C(x) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 108

21 Como el polinomio, b(x), es divisor del polinomio, Q(x), también es divisor del polinomio, Q(x).C(x). Asimismo al ser divisor del polinomio, P(x), lo es también de la diferencia y por ello del polinomio resta, R(x) Recíprocamente si el polinomio, b(x), es divisor común de los polinomios, Q(x), y, R(x), también lo es de los polinomios, Q(x).C(x), y, R(x), y por lo tanto es divisor del polinomio, P(x) P(x)= Q(x).C(x)+R(x) Este resultado permite desarrollar el algoritmo de Euclides, para la obtención del máximo.común.divisor. de dos polinomios, P(x), y, Q(x). P(x)= Q(x).C(x)+R(x) m.c.d.[p(x),q(x)]= m.c.d.[q(x),r(x)] la aplicación reiterada de esta propiedad permite escribir Q(x)= R(x).c 1 (x)+r 1 (x) m.c.d[q(x),r(x)]= m.c.d.[r(x),r 1 (x)] si el polinomio, R 1 (x), no es un número real se sigue el proceso R(x)= R 1 (x).c (x)+r (x) m.c.d[r(x),r 1 (x)]= m.c.d.[r 1 (x),r (x)] este proceso se continua hasta encontrar un polinomio resto, R n+1 (x), nulo, en cuyo caso el máximo común divisor de los polinomios, P(x), y, Q(x), es el polinomio resto, R n (x). C 1 (x) c (x) C 3 (x)... P(x) Q(x) R 1 (x) R (x)... R 1 (x) R (x) R 3 (x) R 4 (x)... Hallar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los polinomios, P(x)= x 4 -x 3 +x -x, y, Q(x)= x 4 -x 3 -x +x se factorizan P(x)= x 4 -x 3 +x -x= x.(x-1).(x +1) Q(x)= x 4 -x 3 -x +x= x.(x-1).(x+1) m.c.m.(p(x),q(x))= x.(x-1).(x+1).(x +1) M.c.d.(P(x),Q(x))= x.(x-1) Potencia de un polinomio La potencia, n-ésima, de un polinomio es otro polinomio que se obtiene al multiplicar por si mismo dicho polinomio tantas veces como indica el exponente de la potencia. P n (x)= P(x).P(x)... n...p(x) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 109

22 Algunas potencias notables de polinomios son: Cuadrado de un binomio suma El cuadrado de un binomio suma es igual al cuadrado del primer monomio, más el cuadrado del segundo monomio, más el doble del primer monomio por el segundo. (a+b) = a +b +ab Cuadrado de un binomio resta El cuadrado de un binomio resta es igual al cuadrado del primer monomio, más el cuadrado del segundo monomio, menos el doble del primer monomio por el segundo. (a-b) = a +b -ab Suma por diferencia de dos binomios conjugados La suma de dos monomios por su diferencia es igual al cuadrado del primer monomio menos el cuadrado del segundo monomio. (a+b).(a-b)= a -ab+ab-b = a -b Cubo de un binomio suma El cubo de un binomio suma es igual al cubo del primer monomio, más tres veces el cuadrado del primer monomio por el segundo, más el triple del primer monomio por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo monomio. (a+b) 3 = (a+b).(a+b) = (a+b).(a +b +ab)= a 3 +ab +a b+ba +b 3 +ab = a 3 +3a b+3ab +b 3 Cubo de un binomio resta El cubo de un binomio resta es igual al cubo del primer monomio, menos tres veces el cuadrado del primer monomio por el segundo, más el triple del primer monomio por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo monomio. (a-b) 3 = (a-b).(a-b) = (a-b).(a +b -ab)= a 3 +ab -a b-ba -b 3 +ab = a 3-3a b+3ab -b 3 Binomio de Newton En general una expresión del tipo (a+b) n puede desarrollarse haciendo uso del binomio de Newton. Según éste los términos del desarrollo de esta expresión siguen la secuencia dada por n n n n! a b. a. b. a. b r 0 r r 0 r! n r! n n r r n r r n n! r r! n r! número combinatorio Los números combinatorios del desarrollo de un binomio se pueden obtener de forma sencilla mediante el triángulo de Tartaglia, donde cada número de una fila se obtiene como suma de los números de la fila superior que están a ambos lados de dicho número. polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 110

23 Los número del triángulo que se aplican a un binomio dado se corresponden con la fila cuyo lugar coincide con el valor del exponente del binomio, empezando a contar la filas por el valor Efectúa las siguientes operaciones (x+a).(x-b)= x +ax-bx-ab= x +(a-b)x-ab (x+1).(x-1)= (x) -1 = 4x -1 (x+y) -(x-y) = (x +xy+y )-(x -xy+y )= 4xy (3x-y) +(3x+y) = (9x -1xy+4y )+(9x +1xy+4y )= 18x +8y (-x) 3 = 3-3..x+3..x -x 3 = 8-1x+6x -x 3 Hallar y simplificar las expresiones 5x +(x -x+1) -x 4 -(x-1) +x= 5x +(4x 4-4x 3 +5x -x+1)-x 4 -(x -x+1)+x= x 4-4x 3 +9x +x (x -x+1) = (x +A)= 4x 4 +4x A+A = 4x 4 +4x (-x+1)+(-x+1) = 4x 4-4x 3 +4x +x -x+1= 4x 4-4x 3 +5x -x+1 (x-1) = x -x+1 (x+y) 3 +(x-y) = (x 3 +3x y+3xy +y 3 )+(x -xy+y )= x 3 +3x y+3xy +y 3 +x -xy+y (a-b) 3 -(a+b) (a-b)= (a 3-3a b+3ab -b 3 )-(a 3 +a b-ab -b 3 )= -4a b+4ab (a+b).(a-b)= (a +ab+b ).(a-b)= a 3 +a b-ab -b 3 (x-y).(x+y)+(x+y).(x-y)= (x 3 -x y-xy +y 3 )+(x 3 +x y-xy -y 3 )= x 3 +x y-xy (x-y).(x+y)= (x -xy+y ).(x+y)= x 3 -x y-xy +y 3 (x+y).(x-y)= (x +xy+y ).(x-y)= x 3 +x y-xy -y 3 Hallar el volumen del cubo cuya arista mide, (a+b) V= (a+b) 3 = a a b + 3.ab + b 3 polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 111

24 Hallar las potencias (x+y) 6 = x 6 +6x 5 y+15x 4 y +0x 3 y 3 +15x y 4 +6xy 5 +y 6 (x-y) 6 = x 6 +6x 5 (-y)+15x 4 (-y )+0x 3 (-y 3 )+15x (-y 4 )+6x(-y 5 )+(-y 6 )= x 6-6x 5 y+15x 4 y -0x 3 y 3 +15x y 4-6xy 5 +y 6 (x +x+1) 5 = [(x+1) ] 5 = (x+1) 10 = x x 9 +45x 8 +10x 7 +10x 6 +5x 5 +10x 4 +10x 3 +45x +10x+1 (x -6x+9) 3 = [(x-3) ] 3 = (x-3) 6 = x 6 +6x 5.(-3)+15x 4.(-3) +0x 3.(-3) 3 +15x.(-3) 4 +6x.(-3) 5 +(-3) 6 = x 6-18x x 4-540x x -1458x+79 Obtener el desarrollo de estas potencias (y+x) 5 = 1x 5 y 0 +5x 4 y 1 +10x 3 y +10x y 3 +5x 1 y 4 +1x 0 y 5 = x 5 +5x 4 y+10x 3 y +10x y 3 +5xy 4 +y 5 (x+1) 4 = x 4 + 4x 3 + 6x + 4x + 1 (x-3) 3 = 1.(x) 3.(-) 0 +3.(x).(-) 1 +3.(x) 1.(-) +1.(x) 0.(-) 3 = 1.8x x.(-)+3.x (-8)= 8x 3-4x + 4x - 8 (3x -y) 4 = 1.(3x ) 4.(-y) (3x ) 3.(-y) (3x ).(-y) + 4.(3x ) 1.(-y) (3x ) 0.(-y) 4 = 1.81x x 6.(-y) + 6.9x 4.y + 4.3x.(-y 3 ) y 4 = 81x 8 108x 6 y + 54x 4 y 1x y 3 + y 4 (x y ) 5 = 1.(x ) 5.(-y ) 0 +5.(x ) 4.(-y ) (x ) 3.(-y ) +10.(x ).(-y ) 3 +5.(x ) 1.(-y ) 4 +1.(x ) 0.(-y ) 5 = 1.x x 8.(-y ) + 10.x 6.y x 4.(-y 6 ) + 5.x.y (-y 10 )= x 10 5x 8 y + 10x 6 y 4 10x 4 y 6 + 5x y 8 y 10 (x-x ) 4 = 1.(x) 4.(-x ) (x) 3.(-x ) (x).(-x ) + 4.(x) 1.(-x ) (x) 0.(-x ) 4 = 1.x x 3.(-x ) + 6.x.x x.(-x 6 ) x 8 = x 4 4x 5 + 6x 6 4x 7 + x 8 Factorizar las expresiones aplicando productos notables x -4= (x+).(x-) b -100= (b+10).(b-10) 49-x = (7+x).(7-x) a 4-1= (a +1).(a -1) Sacar factor común en las expresiones 8b 5-1b 3 +4b = 4b.(b 3-3b+1) 10x -5x= 5x.(x-1) 1b 3 +8b = 4b.(3b+) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 11

25 Factorizar las expresiones aplicando productos notables 4x +4x+1= (x) +.(x).1+1 = (x+1) 49x -14x+1= (7x) -.(7x).1+1 = (7x-1) 16x 4-5x = x.(16x -5)= x.((4x) -5 )= x.(4x+5).(4x-5) 9x -4x+49= (3x) -.(3x).7+7 = (3x-7) 9x 4-48x 3 +64x = x.(9x -48x-64)= x.[(3x) -.(3x).8+8 )]= x.(3x-8) x 4-16= (x +4).(x -4)= (x +4).(x+).(x-) x -16=.(x -91)=.(x+9).(x-9) b -5c = (b+5c).(b-5c) x 4-5y = (x +5y).(x -5y) x + 1x + 36= x +.6.x+6 = (x+6) 4x 0x + 5= (x).(x) = (x-5) 5x 16= (5x) -4 = (5x+4).(5x-4) 6x 5 6x= 6x.(x 4 1)= 6x.[(x ) -1 ]= 6x.[(x +1)(x -1)]= 6x.(x +1)[(x -1 )]= 6x.(x +1).(x+1).(x-1) Reducir a común denominador las fracciones algebraicas 3a a 5a a 3a 1 4a 4 Se factorizan los denominadores de las fracciones algebraicas a+=.(a+1) 3a-1= 3a-1 4a -4= 4.(a -1)= 4.(a+1).(a-1) m.c.m.(a+, 3a-1, 4a -4)= 4.(a+1).(a-1).(3a-1) 3a 3 a.( a 1)(3a 1) a 4( a 1)( a 1)(3a 1) 5x x 4, x 1 x, 5x 5 x 4x 4 a a.4( a 1)( a 1) 3a 1 4( a 1)( a 1)(3a 1) 5a 5 a.(3a 1) 4a 4 4( a 1)( a 1)(3a 1) se factorizan los denominadores de las fracciones algebraicas x -4= (x+).(x-) x-= x- m.c.m.(x -4, x-, (x-) )= (x+).(x-) x -4x+4= (x-) 5x 5 x.( x ) x 4 ( x 1)( x ) x 1 ( x 1)( x )( x ) x ( x 1)( x ) 5x 5 (5x 5)( x ) x 4x 4 ( x 1)( x ) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 113

26 x 5x 4x 4, x x, x 5 se factorizan los denominadores de las fracciones algebraicas x +4x+4= (x+) x+= x+ x-= x- m.c.m.(x +4x+4, x+, x-)= (x+).(x-) 5x 5 x.( x ) x 4x 4 ( x )( x ) x x( x )( x ) x ( x )( x ) 5 5( x ) x ( x )( x ) 3a a 1, a a 1, 5a a 1 se factorizan los denominadores de las fracciones algebraicas a-1= a-1 a+1= a+1 a -1= (a+1).(a-1) m.c.m.(a-1, a+1, a -1)= (a+1).(a-1) 3a 3 a.( a 1) a 1 ( a 1)( a 1) 5x x 1, x 1 x 1, 5x 5 4x 4 a a.( a 1) a 1 ( a 1)( a 1) 5a 5a 1 ( 1)( 1) a a a se factorizan los denominadores de las fracciones algebraicas x-1= x-1 x+1= x+1 4x -4= 4.(x -1)= 4.(x+1).(x-1) m.c.m.(x-1, x+1, x -4)= 4.(x-1).(x+1) 5x 5 x.4.( x 1) x 1 4.( x 1)( x 1) x 5x 4x 4, x x, x 5 x 1 4.( x 1)( x 1) x 1 4.( x 1)( x 1) 5x 5 5x 5 4x 4 4.( x 1)( x 1) se factorizan los denominadores de las fracciones algebraicas x +4x+4= (x+) x+= x+ x-= x- m.c.m.(x +4x+4, x+, x-)= (x+).(x-) 5x 5 x.( x ) x 4x 4 ( x )( x ) x x( x )( x ) x ( x )( x ) 5 5( x ) x ( x )( x ) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 114

27 5x x 1, x 1 x 1, 5 4x 1 se factorizan los denominadores de las fracciones algebraicas x-1= x-1 x+1= x+1 4x -1= (x-1).(x+1) m.c.m.(x-1, x+1, 4x -1)= (x+1).(x-1) 5x 5 x.(x 1) x 1 (x 1)( x 1) x 1 ( x 1)( 1) x 1 (x 1)( x 1) 5 5 4x 1 (x 1)( x 1) Realizar la operación de las fracciones algebraicas x x 1 x.( x 1). x 1 x ( x 1). x 1 x x 3 x ( x ). x x x : x.( x ) x ( x ) 3 4.( x ) x 4 3 4x 8 6x 7 x x 4 x ( x ) ( x ) ( x )( x ) x 4 se factorizan los denominadores para calcular su m.c.m. x-= x- x -4= (x+).(x-) x+= x+ m.c.m.(x-, x -4, x+)= (x+).(x-) 3 4.( x 1) 3 4.( x 1) x 3 4x 4 6x 5 x 1 x 1 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 1) x 1 se factorizan los denominadores para calcular su m.c.m. x-1= x-1 x -1= (x+1).(x-1) x+1= x+1 m.c.m.(x-1, x -1, x+1)= (x+1).(x-1) x x x 1 3 ( x 1)( x 1) x( x ) (x 3) x 1 x x x 3 x x 1 x x x( x 1) x( x 1) x x se factorizan los denominadores para calcular su m.c.m. x= x x+1= x+1 x +x= x.(x+1) m.c.m.(x, x+1, x +x)= x.(x+1) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 115

28 x x 1 1 x ( x 1) x ( x 1) ( x 1) ( x 1) x x x x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) ( x 1)( x 1) x 1 se factorizan los denominadores para calcular su m.c.m. x-1= x-1 x+1= x+1 m.c.m.(x+1, x-1)= (x+1).(x-1) 1 1.( x ).( x 3) x x 6 3x 8 ( x 3)( x 4 ) ( x )( x 4) ( )( 3)( 4) 1 x ( x 3)( x 4) x x x x 3 x x x ( x 1).( x 1). x x. 3 3 x x x x ( x 3) x. ( x x 1 6.( 3).( x 1).. 1) x se factorizan los polinomios que forman las fracciones algebraicas para simplificar la misma x -1= (x+1).(x-1) x 3 +3x = x.(x+3) x 3 +6x = x.(x+3) x +x= x.(x+1) x 6 x 8.( x 3). ( x 3).( x 3) ( x 3) : x 3 x 9.( x 4). ( x 3) x 4 se factorizan los polinomios que forman las fracciones algebraicas para simplificar la misma x-6=.(x-3) x+3= x+3 x+8=.(x+4) x -9= (x+3).(x-3) x x 1 x x x x x x x ( x 1) x x x : x x 1 x x ( x x ).( x x 1) x.( x ).( x 1) ( x ).( x ( 1).( ) ( 1)..( ) ( 1).( ) ( 1) 1) se factorizan los polinomios que forman las fracciones algebraicas para simplificar la misma x -x+1= (x-1) x +x+1= (x+1) x +x-= (x-1).(x+) x -x-= (x+1).(x-) 3 x x 1 x x ( x x 1).( x ) ( x x ).( x 1) x x 4x 4 x x 1 x x ( x 1).( x ) ( x 1).( x ) se factorizan los denominadores para calcular su m.c.m. x +x+1= (x+1) x -x-= (x+1).(x-) m.c.m.(x +x+1, x -x-)= (x+1).(x-) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 116

29 3 x x x 6 ( x x ).(x 6) x.( x 1)..( x 3). x. 6x 9 x ( x 6x 9).( x 1) ( x 3).( x 1). ( x 1) ( x 3).( x 1 x 1) se factorizan los polinomios que forman las fracciones algebraicas para simplificar la misma x 3 -x = x.(x-1) x +6x+9= (x+3) x+6=.(x+3) x -1= (x+1).(x-1) 3 x x x 6 ( x x ).( x 1).( x 1) (x 6).( x 3) x.( x 1).( x 3) ( x 3).( x 1).( x 1) ( x 3).( x 1).( x 1) x x x se factorizan los denominadores para calcular su m.c.m. x +6x+9= (x+3) x -1= (x+1).(x-1) m.c.m.(x +6x+9, x -1)= (x+3).(x+1).(x-1) Simplificar las fracciones algebraicas x.( x 1) x 1 4 x 4 4.( x 1). ( x 1) 4x 4 4.( x 1) 4.( x 1).( x 1) 4.( x 1) 5x 10 x 5 5.( x x 1) 5.( x 1) 5.( x 1) 9x 9 9.( x 1) 9.( x 1).( x 1) 3.( x 1) 3x 6x 3 3.( x x 1) 3.( x 1) x 1 Realizar las siguientes operaciones x x 3 ( x ).( x 3) ( x 3) x x x x ( x ).( x ).( x 4) ( x ).( x 4) x 4x x x 1 x 1 : x x x x ( x 1).( x x) ( x 1). x.( x ) x.( x 1) ( x x ).( x 1) ( x 1).( x ).( x 1) ( x 1) polinomios Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 117